2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.2 奇偶性課后課時精練 新人教A版必修第一冊

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1、3.2.2 奇偶性 A級：“四基”鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(　　) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù) 答案　B 解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)關(guān)于原點對稱，得F(x)是偶函數(shù). 2.函數(shù)f(x)＝－x的圖象(　　) A.關(guān)于y軸對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱 C.關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 D．關(guān)于直線y＝－x對稱 答案　C 解析　∵f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝－－(－

2、x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱. 3.若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a等于(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　函數(shù)f(x)的定義域為. 又f(x)為奇函數(shù)，定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱，∴a＝. 4.已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝(　　) A.1 B．2 C．－1 D．－2 答案　D 解析　因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選D. 5.若函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)

3、f(x)的圖象上的是(　　) A.(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a)) C.(－a，f(a)) D．(－a，－f(a)) 答案　D 解析　因為－f(a)＝f(－a)，所以點(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的圖象上．故選D. 二、填空題 6.已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(2x－1)>f成立，則x的取值范圍是________． 答案?。?x< 解析　由題可知f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f(2x－1)>f成立，則－<2x－1<，即－

4、上的解析式為________． 答案　f(x)＝ 解析　設(shè)x＜0，則－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x， 又∵y＝f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x， 故f(x)＝ 8.已知奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，?m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是________． 答案　 解析　因為奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以由f(mx－2)＋f(x)<0，得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，所以(m＋1)x<2.當(dāng)m＝－1時，不等式(m＋1)x

5、<2恒成立；當(dāng)－1恒成立，此時0時，f(x)＝x|x－2|，求當(dāng)x<0時，f(x)的解析式． 解　設(shè)x<0，則－x>0， ∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|. 又f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|， ∴當(dāng)x<0時，f(x)＝x|x＋2|. 10.已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，當(dāng)a，b∈(－∞，0)時，總有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范圍． 解　當(dāng)a，b∈(－∞

6、，0)時，總有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，因為f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因為f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－. B級：“四能”提升訓(xùn)練 1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2020)的值． 解　∵f(2－x)＋f(x－2)＝0， 令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0， ∴f(x)為奇函數(shù)，則有f(0)＝0. 又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，

7、 ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0， ∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝0. 2.(1)已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對于任意實數(shù)x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)． 求證：f(x)為偶函數(shù)； (2)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(－l，l)上，證明：f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)，f(x)－f(－x)是奇函數(shù)． 證明　(1)令x1＝0，x2＝x，得 f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝

8、2f(0)f(x)，② 由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù). (2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)． 可見，f(－x)的定義域也是(－l，l)． 令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)， 則F(x)與G(x)的定義域也是(－l，l)，顯然是關(guān)于原點對稱的． ∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)， ∴F(x)為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)，即f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)，f(x)－f(－x)是奇函數(shù). - 4 -