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1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡的相應位置上。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后
2、，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，則=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題【詳解】由題意得，則故選C【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2.設復數(shù)z滿足，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題考點為復數(shù)的運算，為基礎題目，難度偏易此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之
3、間的距離為1，可選正確答案C【詳解】則故選C【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)采取公式法或幾何法，利用方程思想解題3.已知，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則故選B【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為10
4、5cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B【解析】【分析】理解黃金分割比例的含義，應用比例式列方程求解【詳解】設人體脖子下端至腿根的長為x cm，肚臍至腿根的長為y cm，則，得又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為4207+515+105+26=17822，接近175cm故選B【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題5.函數(shù)f(x)=在，的圖像大致為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，
5、得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱又故選D【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦
6、恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算【詳解】由題知，每一爻有2中情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題7.已知非零向量a，b滿足=2，且（ab）b，則a與b的夾角為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)先
7、由得出向量的數(shù)量積與其模的關系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為8.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入A. A=B. A=C. A=D. A=【答案】A【解析】【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇【詳解】執(zhí)行第1次，是，因為第一次應該計算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，是，因為第二次應該計算=，=3，循環(huán)，執(zhí)行第3次，否
8、，輸出，故循環(huán)體為，故選A【點睛】秒殺速解 認真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為9.記為等差數(shù)列的前n項和已知，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式本題還可用排除，對B，排除B，對C，排除C對D，排除D，故選A【詳解】由題知，解得，故選A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷10.已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，則C的方程為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可以運用
9、下面方法求解：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有在和中，由余弦定理得，又互補，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，故選B【詳解】如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有在中，由余弦定理推論得在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)11.關于函數(shù)有下述四個結(jié)論：f(x)是偶函數(shù) f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增f(x)在有4個零點 f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案【詳解】為偶函數(shù)，故
10、正確當時，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯誤當時，它有兩個零點：；當時，它有一個零點：，故在有個零點：，故錯誤當時，；當時，又為偶函數(shù)，的最大值為，故正確綜上所述， 正確，故選C【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得正確，故選C12.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，CEF=90，則球O的體積為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，又，分別為、中點，又，平面，平面，為正方體
11、一部分，即 ，故選D解法二:設，分別為中點，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，為中點，又，兩兩垂直，故選D.【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點處的切線方程為_【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤求導要“慢”
12、，計算要準，是解答此類問題的基本要求14.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若，則S5=_【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以【點睛】準確計算，是解答此類問題基本要求本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤15.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各
13、場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以41獲勝的概率是_【答案】0.216.【解析】【分析】本題應注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應用獨立事件的概率的計算公式求解題目有一定的難度，注重了基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算16.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C
14、的兩條漸近線分別交于A，B兩點若，則C的離心率為_【答案】2.【解析】【分析】通過向量關系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為【點睛】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.的內(nèi)角A，B，C的對
15、邊分別為a，b，c，設（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關系解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關系的應用，解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的
16、關系.18.如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點（1）證明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角坐標系，通過取中點，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，分別為，中點 為的中位線且又為中
17、點，且 且 四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形 則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則：，D（0，-1,0）取中點，連接，則四邊形為菱形且 為等邊三角形 又平面，平面 平面，即平面為平面一個法向量，且設平面的法向量，又，令，則， 二面角的正弦值為：【點睛】本題考查線面平行關系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關鍵是能夠利用垂直關系建立空間直角坐標系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19.已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P（1）若|AF|+
18、|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設直線：，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理可構(gòu)造關于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達定理可求得；根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設直線方程為：，由拋物線焦半徑公式可知： 聯(lián)立得：則 ，解得：直線的方程為：，即：（2）設，則可設直線方程為：聯(lián)立得：則 ， ， 則【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應用問題，涉及到平面向量、弦長公式的應用.關鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過
19、韋達定理構(gòu)造等量關系.20.已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）求得導函數(shù)后，可判斷出導函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在定理可判斷出，使得，進而得到導函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點；當時，首先可判斷出在上無零點，再利用零點存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點；當時，利用零點存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個零點；當，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：定義域為：且令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，使得當時，；時，即上單
20、調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.（2）由（1）知：，當時，由（1）可知在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又 在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時不存在零點當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點當時，即在上不存在零點綜上所述：有且僅有個零點【點睛】本題考查導數(shù)與函數(shù)極值之間的關系、利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺
21、一不可.21.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X（1）求的分布列；
22、（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中，假設，(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累加的方式，結(jié)合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，；則的分布列如下：（2），（i）即整理可得： 是以為首
23、項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.本題綜合性較強，要求學生能夠熟練掌握數(shù)列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)
24、方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為（1）求C和l直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據(jù)極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數(shù)方程表示出上點的坐標，根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.【詳解】（1）由得：，又整理可得的直角坐標方程為：又，的直角坐標方程為：（2）設上點的坐標為：則上的點到直線的距離當時，取最小值則【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢
25、圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題.23.選修4-5：不等式選講已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1證明：（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【詳解】（1） 當且僅當時取等號，即：（2），當且僅當時取等號又，（當且僅當時等號同時成立）又 【點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學生對于基本不等式的變形和應用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.
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