2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一單元 選考內(nèi)容 第81講 極坐標(biāo)系練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第81講　極坐標(biāo)系 1．在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)M(2，－)，N(2,0)，P(2，)． (1)將M，N，P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； (2)判斷M，N，P三點(diǎn)是否在一條直線上． (1)由公式得M，N，P的直角坐標(biāo)分別為M(1，－)，N(2,0)，P(3，)． (2)因?yàn)閗MN＝＝，kNP＝＝， 所以kMN＝kNP，所以M，N，P三點(diǎn)在一條直線上． 2．在極坐標(biāo)系中，畫出下列方程表示的圖形． (1)(ρ－3)(θ－)＝0(ρ≥0)； (2)ρ＝5cos θ－5sin θ. (1)表示圓心在極點(diǎn)，半徑為3的圓和射線θ＝組成的圖形(如圖(1))． (2)將方程化為直角坐

2、標(biāo)方程x2＋y2＝5x－5y， 即(x－)2＋(y＋)2＝25， 圓心為(，－)，化為極坐標(biāo)為(5，－)， 即方程表示圓心為(5，－)，半徑為5的圓． 圖形如圖(2)所示． (1)　　　　　　　　　(2) 3．(2018·廣東七校聯(lián)考)已知曲線C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)l1：θ＝，l2：θ＝，若l 1 、l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A、B，求△AOB的面積． (1)曲線C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 將代入并化簡(jiǎn)得：ρ＝4cos θ＋2s

3、in θ. 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在極坐標(biāo)系中，C：ρ＝4cos θ＋2sin θ， 所以由 得|OA|＝2＋1，同理|OB|＝2＋. 又因?yàn)椤螦OB＝， 所以S△AOB＝·sin ∠AOB＝. 即△AOB的面積為. 4．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2

4、的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以＝2， 故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l2與

5、C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以＝2， 故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 5．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. (1)消去參數(shù)t得到C1

6、的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 又ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上． 所以a＝1. 6．(2017·山西太原一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)

7、方程為(φ為參數(shù))，曲線C2：x2＋y2－2y＝0，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于A，B(均異于原點(diǎn)O)． (1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)0<α<時(shí)，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍． (1)C1的普通方程為＋y2＝1， C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ－2＝0， C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (2)聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2＝， 聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2＝4sin2α. 則|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4. 令t＝1＋sin2α，因?yàn)?<α<，所以t∈(1,2)． 所以|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4，t∈(1,2)， 設(shè)f(t)＝＋4t－4，t∈(1,2)， 易知f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增， 所以|OA|2＋|OB|2∈(2,5)． 4