2020版高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 課時3 簡單的線性規(guī)劃問題課后作業(yè) 文（含解析）新人教A版

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1、簡單的線性規(guī)劃問題 1．(2016·北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)．若點P(x，y)在線段AB上，則2x－y的最大值為(C) A．－1 B．3 C．7 D．8 　 作出線段AB，如圖所示． 作直線2x－y＝0并將其向下平移至直線過點B(4,1)時，2x－y取最大值，為2×4－1＝7. 2．(2017·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y 的最小值是(A) A．－15 B．－9 C．1 D．9 　 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 將目標函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－

2、6，－3)時，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15. 3．(2018·廣州一模)若x，y滿足約束條件 則z＝x2＋2x＋y2的最小值為(D) A. B. C．－ D．－ 　 畫出可行域，如圖： (方法一)因為z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1， 所以z表示可行域內(nèi)的點與點(－1,0)的距離的平方減去1. 所以zmin＝()2－1＝－. (方法二)z＝x2＋2x＋y2變形為(x＋1)2＋y2＝1＋z. 故目標函數(shù)可看作是以點(－1,0)為圓心，為半徑的圓． 當圓與區(qū)域的邊界相切時，取最小值． 所以d＝≤，所以1＋z≥，從而z≥－. 所以

3、zmin＝－. 4．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為(B) A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱 　 設甲車間加

4、工x箱原料，乙車間加工y箱原料，甲、乙兩車間每天總獲利為z元． 依題意，得z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，畫出可行域如圖陰影部分， 聯(lián)立解得 知z在A點處取得最大值，故選B. 5．(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為　9　. 　 由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)． 目標函數(shù)z＝x＋y取得最大值斜率為－1的平行直線x＋y＝z(z看作常數(shù))的截距最大， 由圖可得直線x＋y＝z過點C時z取得最大值． 由得點C(5,4)，所以zmax＝5＋4＝9. 6．若實數(shù)x，y滿足則 (1)的取值范圍為　[2，＋∞)　； (2)x2

5、＋y2的取值范圍為　(1,5]　. 　 作出可行域，其可行域是頂點分別為A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)的三角形及其內(nèi)部(但不包括AC邊)． (1)因為表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(0,0)連線的斜率，可知其取值范圍為[2，＋∞)． (2)因為x2＋y2表示可行域內(nèi)的點(x，y)到(0,0)的距離的平方，可知其取值范圍為(1,5]． 7．給定區(qū)域D：令點集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點}，問T中的點共確定多少條不同的直線？ 　 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如下圖所示)． 令z＝0，得直線l：x＋y＝

6、0，平移直線l，由圖象可知當直線經(jīng)過整點A(0,1)時，z取最小值，當直線經(jīng)過整點B(0,4)，C(1,3)，D(2,2)，E(3,1)，F(xiàn)(4,0)時，z取最大值． 所以T＝{(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}， 所以T中的點可確定的直線有AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線． 8．(2016·浙江卷)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(B) A. B. C. D. 　 根據(jù)約束條件作出可行域如圖陰影部分， 當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件， 聯(lián)立方程組求得A(

7、1,2)， 聯(lián)立方程組求得B(2,1)， 可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為x－y＋1＝0和x－y－1＝0， 由兩平行線間的距離公式得距離為＝，故選B. 9．(2018·深圳二模)已知a<0，實數(shù)x，y滿足若z＝x＋2y的最大值為5，則a＝?。?　. 　 畫出可行域(如圖)． 由z＝x＋2y，得y＝－＋. 平移y＝－經(jīng)過A(－1,1－a)時，z取最大值， 所以zmax＝－1＋2－2a＝5，所以a＝－2. 10．(2017·天津卷)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如

8、下表所示： 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘) 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 　 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分中的整數(shù)點． ① ② (2)設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一組平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大． 又因為x，y滿足約束條件，所以由圖②可知，當直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得則點M的坐標為(6,3)． 所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多． 6