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1、課時作業(yè)39 數學歸納法
[基礎達標]
一、選擇題
1．用數學歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個取值應是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵n＝1時，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2時，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3時，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一個取值應是3.
答案：C
2．用數學歸納法證明“當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(其中k∈N*)
B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時
2、正確(其中k∈N*)
C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(其中k∈N*)
D．假使n＝k時正確，再推n＝k＋2時正確(其中k∈N*)
解析：因為n為正奇數，根據數學歸納法證題的步驟，第二步應先假設第k個正奇數也成立，即假設n＝2k－1時正確，再推第k＋1個正奇數，即n＝2k＋1時正確．
答案：B
3．利用數學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變成“n＝k＋1”時，左邊應增乘的因式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：當n＝k(k∈N*)時，
左式為(k＋1)(k＋
3、2)·…·(k＋k)；
當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
則左式應增乘的式子是＝2(2k＋1)．
答案：B
4．用數學歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設當n＝k時，公式成立，則Sk＝( )
A．a1＋(k－1)d B.
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
解析：假設當n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.
答案：C
5．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的角數f(n＋1)為( )
A．
4、f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：邊數增加1，頂點也相應增加1個，它與和它不相鄰的n－2個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n－1條．
答案：C
二、填空題
6．用數學歸納法證明＋＋…＋>(n>1且n∈N*)時，第一步要證明的不等式是________．
解析：∵n>1，∴第一步應證明當n＝2時不等式成立，即＋＋＋>.
答案：＋＋＋>
7．用數學歸納法證明＋＋…＋>－.假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是________．
解析：觀察不等式左邊的分母可知，由n＝k到n＝
5、k＋1左邊多出了這一項．
答案：＋＋…＋＋>－
8．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數a＝________.
解析：當n＝1時，36＋a3能被14整除的數為a＝3或5；當a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
三、解答題
9．證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
證明：①當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，等式成立．
②假設當n＝k(k∈N*，且k≥1)時等式成立．
即1－＋…＋－＝＋＋…，則當n＝k＋1時，
左邊＝1－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
∴當n＝k＋1時等
6、式也成立，
由①②知，對一切n∈N*等式都成立．
10．求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
證明：(1)當n＝2時，左邊＝＋＝>，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時成立，
即＋＋…＋>.
則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋－>＋＋－
＝＋－＝＋>.
∴當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)可知，對一切n≥2，n∈N*均成立，故原不等式成立．
[能力挑戰(zhàn)]
11．已知數列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表達式．
(2)用數學歸納法證明{an}的通項公式．
解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.
猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)
(2)①當n＝2時，a2＝5×22－2＝5成立.
②假設當n＝k時猜想成立，即ak＝5×2k－2(k≥2且k∈N*)
則n＝k＋1時，
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1.
故當n＝k＋1時，猜想也成立．
由①②可知，對n≥2且n∈N*，
都有an＝5×2n－2，
于是數列{an}的通項公式為
an＝
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