2020高考數(shù)學二輪復習 分層特訓卷 熱點問題專練（十四） 新定義新背景新情境 文

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1、熱點(十四)　新定義，新背景，新情境 1．定義集合A，B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B(　　) A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5} C．{2,3,4} D．{1,3,4,5} 答案：B 解析：當x1＝1時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝2或3； 當x1＝2時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝3或4； 當x1＝3時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝4或5. ∴A*B＝{2,3,4,5}． 2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那

2、么函數(shù)解析式為y＝x2，值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有(　　) A．7個 B．8個 C．9個 D．10個 答案：C 解析：由題意知，問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)．函數(shù)解析式為y＝x2，值域為{1,4}，當x＝±1時，y＝1；當x＝±2時，y＝4，則定義域可以為{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函數(shù)”共有9個． 3．[2017·鄭州調(diào)研]規(guī)定記號“⊙”表示一種運算，定義a⊙b＝＋a＋b(a，b為正實數(shù))，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是(　　

3、) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0,2) 答案：A 解析：因為定義a⊙b＝＋a＋b(a，b為正實數(shù))， 1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3， 化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1， 所以－1

4、k，因為b1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝. 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1. 5．定義一種運算：＝ad－bc.已知函數(shù)f(x)＝，為了得到函數(shù)y＝sin x的圖象，只需要把函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有的點(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向上平移個單位長度 D．向下平移個單位長度 答案：A 解析：由題設(shè)知，f(x)＝si

5、n xcos－cos xsin＝sin，所以為了得到函數(shù)y＝sin x的圖象，只需要把函數(shù)f(x)＝sin的圖象上所有的點向左平移個單位長度．故選A. 6．定義d(a，b)＝|a－b|為兩個向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿足：①|(zhì)b|＝1；②a≠b；③對任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)⊥(a－b) C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 答案：C 解析：由題意知d(a，tb)≥d(a，b)?|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2， 又|b|＝1，所以展開整理得t2－2a·bt＋2a·b－1≥0. 因為

6、上式對任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故選C. 7．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬；將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A．8π B．12π C．20π D．24π 答案：C 解析： 在如圖中的長方體中可找到適合題意的三棱錐P－ABC， 則BC＝＝

7、2，所以球O的直徑2R＝＝＝2，所以R＝. 故球O的表面積S＝4πR2＝20π.故選C. 8．定義為n個正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2 019項和為(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由題意得數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，＝＝－，故數(shù)列的前2 019項和為＋＋＋…＋＝1－＝.故選B. 9．[2019·陜西咸陽?？糫設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果對任意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)＝－f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的

8、是(　　) A．f(x)＝sin xcos x＋cos2x B．f(x)＝ln x＋ex C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x 答案：B 解析：由題意知，“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點對稱． 選項A中，因為f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin＋， 所以函數(shù)f(x)的值域為，該函數(shù)的值域不關(guān)于原點對稱，故選項A中的函數(shù)不是“H函數(shù)”； 選項B中，函數(shù)f(x)＝ln x＋ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的值域為R，關(guān)于原點對稱，故選項B中的函數(shù)是“H函數(shù)”； 選項C中，函數(shù)f(x)＝2x的值域為(0，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，故選項C中的

9、函數(shù)不是“H函數(shù)”； 選項D中，因為f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以該函數(shù)的值域為[－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，故選項D中的函數(shù)不是“H函數(shù)”． 綜上，選B. 10．[2019·陜西渭南二模]定義一種運算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(，2sin x)?(cos x，cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由新運算可知f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos，所以將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到

10、函數(shù)y＝2cos的圖象，即y＝－2cos 2x的圖象，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)．經(jīng)檢驗知選項A，B，D錯誤，選C. 11．定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)叫作單位分數(shù)，我們可以把1拆分成多個不同的單位分數(shù)之和．例如：1＝＋＋，1＝＋＋＋，1＝＋＋＋＋，…，依此拆分方法可得，1＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋，其中m，n∈N*，則m－n＝(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 答案：C 解析：由題易知，1＝＋＋＝＋＋，1＝＋＋＋＝＋＋＋，1＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋.依此類推，得1＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋…＋，易知＝，＝－＝，解得m＝14，n＝20，所以m－n＝－6

11、.故選C. 12．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，則稱該函數(shù)為滿足約束條件K的一個“K函數(shù)”．下列為“K函數(shù)”的是(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x3 C．f(x)＝ D．f(x)＝x|x| 答案：D 解析：選項A中，函數(shù)f(x)＝x＋1不是奇函數(shù)，故選項A中的函數(shù)不是“K函數(shù)”． 選項C中，函數(shù)f(x)＝的定義域不是R，故選項C中的函數(shù)不是“K函數(shù)”． 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，等價于奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．選項B中，函數(shù)f(x)＝－x3在R上單調(diào)遞

12、減，故選項B中的函數(shù)不是“K函數(shù)”． 選項D中，函數(shù)f(x)＝x|x|＝在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，故選項D中的函數(shù)是“K函數(shù)”．故選D. 13．集合A＝{a1，a2，a3，…，an，n≥2}，如果A中的元素滿足a1a2…an＝a1＋a2＋…＋an，就稱A為“復活集”，給出下列結(jié)論： ①集合是“復活集”； ②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“復活集”，則a1a2>4； ③若a1，a2∈N*，則{a1，a2}不可能是“復活集”． 其中正確的結(jié)論是________．(填序號) 答案：①③ 解析：①×＝＋＝－1，故①正確； ②不妨設(shè)a1＋a2＝a1a2＝t，則由根與系數(shù)的關(guān)系知a

13、1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的兩個根，由Δ＝(－t)2－4t>0，可得t<0或t>4，故②錯； ③不妨設(shè)a1

14、＋…＋a12＝________. 答案：28 解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 15．[2019·陜西西安交大附中模考]在平面斜坐標系xOy中，∠xOy＝60°，若＝xe1＋ye2，其中e1，e2分別為x軸、y軸正方向的單位向量，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫作向量在平面斜坐標系xOy中的坐標，即點P的斜坐標為(x，y)．在平面斜坐標系xOy中，若點P(x，y)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，則x＋y的取值范圍是________． 答案： 解析：由題設(shè)得||＝1，所

15、以|xe1＋ye2|＝1，又向量e1，e2的模均為1，且夾角為60°，所以兩邊平方化簡得x2＋y2＋xy＝1. 方法一　變形得(x＋y)2－1＝xy≤2，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，所以(x＋y)2≤1，解得－≤x＋y≤.故所求x＋y的取值范圍是. 方法二　變形得2＋＝1，所以可設(shè)(參數(shù)θ∈R)， 即(參數(shù)θ∈R)，所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin. 故所求x＋y的取值范圍是. 16．[2019·陜西西安模考]高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達100多個，其中的一個成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}＝x－[x]表示x的非負純小數(shù)．若方程{x}＝1－kx(k>0)有且僅有4個實數(shù)根，則正實數(shù)k的取值范圍為________． 答案： 解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝x－[x]，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1－kx(k>0)有且僅有4個交點，如圖，先畫出函數(shù)f(x)的圖象，又直線y＝1－kx(k>0)恒過定點P(0,1)，設(shè)點A，B的坐標分別為(3,0)，(4,0)，要使函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝1－kx(k>0)有且僅有4個不同的交點，易知應(yīng)滿足－＝kPA≤－k