中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型四 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題試題
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題型四 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 針對(duì)演練 1. 如圖,一次函數(shù)y=kx+1(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象有公共點(diǎn)A(1,2),直線l⊥x軸于點(diǎn)N(3,0),與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)B,C,連接AC. (1)求k和m的值; (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo); (3)求△ABC的面積. 第1題圖 2. 已知正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P,已知△OAP的面積為1. (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2)有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,且在反比例函數(shù)圖象上,則在x軸上是否存在一點(diǎn)M,使得MA+MB最???若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 第2題圖 3. 如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1、-2,一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D. (1)求一次函數(shù)的解析式; (2)對(duì)于反比例函數(shù),當(dāng)y<-1時(shí),寫出x的取值范圍; (3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得S△ODP= 2S△OCA?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 第3題圖 4. (2016巴中10分)已知,如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù), k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂足為D.若OB=2OA=3OD=6. (1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式; (2)求兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo); (3)直接寫出不等式:kx+b≤的解集. 第4題圖 5. 如圖,點(diǎn)A(-2,n),B(1,-2)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn). (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; (2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍; (3)若C是x軸上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)t=CB-CA,求t的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo). 第5題圖 6. 如圖,直線y1=x+1與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B,且AC=BC. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和反比例函數(shù)y2的解析式; (2)請(qǐng)直接寫出y1>y2時(shí),x的取值范圍; (3)反比例函數(shù)y2圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形?如果存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,說明理由. 第6題圖 7. 如圖,直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)C(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,并與雙曲線y=(x<0)交于點(diǎn)A(-1,n). (1)求直線與雙曲線的解析式; (2)連接OA,求∠OAB的正弦值; (3)若點(diǎn)D在x軸的正半軸上,是否存在以點(diǎn)D、C、B構(gòu)成的三角形△OAB相似?若存在求出D點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由. 第7題圖 8. (2016金華8分)如圖,直線y=x-與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,與反比例函數(shù)y=(k>0)圖象交于點(diǎn)C,D,過點(diǎn)A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E. (1)求點(diǎn)A的坐標(biāo); (2)若AE=AC. ①求k的值; ②試判斷點(diǎn)E與點(diǎn)D是否關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱?并說明理由. 第8題圖 9. 如圖,已知雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)D(6,1),點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CA⊥x軸,過點(diǎn)D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連接AB,BC. (1)求k的值; (2)若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式; (3)判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由. 第9題圖 10. 如圖,點(diǎn)B為雙曲線y=(x>0)上一點(diǎn),直線AB平行于y軸,交直線y=x于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)D,雙曲線y=與直線y=x交于點(diǎn)C,若OB2-AB2=4. (1)求k的值; (2)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4時(shí),求△ABC的面積; (3)雙曲線上是否存在點(diǎn)P,使△APC∽△AOD?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 第10題圖 【答案】 1.解:(1)∵點(diǎn)A(1,2)是一次函數(shù)y=kx+1與反比例函數(shù)y=的公共點(diǎn), ∴k+1=2,=2,∴k=1,m=2; (2)∵直線l⊥x軸于點(diǎn)N(3,0),且與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B, ∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3, 將x=3代入y=x+1,得y=3+1=4, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4); (3)如解圖,過點(diǎn)A作AD⊥直線l,垂足為點(diǎn)D, 由題意得,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3, ∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上, ∴y==, ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,), ∴BC=BN-CN=4-=, 又∵AD=3-1=2, ∴S△ABC=BCAD=2=. 第1題解圖 2.解:(1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則OP=x,PA=y(tǒng), ∵△OAP的面積為1, ∴xy=1, ∴xy=2,即k=2, ∴反比例函數(shù)的解析式為; (2)存在,如解圖,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,交x軸于點(diǎn)M,此時(shí)MA+MB最小, ∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2, ∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y==1, 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1). 又∵兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限交于A點(diǎn), ∴, 解得x1=1,x2=-1(舍去). ∴y=2, ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2), ∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(1,-2), 設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b,代入A′(1,-2),B(2,1)得, ∴直線A′B的解析式為y=3x-5, 令y=0,得x=, ∴直線y=3x-5與x軸的交點(diǎn)為(,0), 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0). 第2題解圖 3.解:(1)∵反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo) 分別為1、-2, ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-1), ∵點(diǎn)A(1,2)、B(-2,-1)在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上, ∴ ∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1; (2)由圖象知,對(duì)于反比例函數(shù),當(dāng)y<-1時(shí),x的取值范圍是-2<x<0; (3)存在. 對(duì)于y=x+1,當(dāng)y=0時(shí),x=-1,當(dāng)x=0時(shí),y=1, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1), 設(shè)點(diǎn)P(m,n), ∵S△ODP=2S△OCA, ∴1(-n)=211, ∴n=-2, ∵點(diǎn)P(m,-2)在反比例函數(shù)圖象上, ∴-2= , ∴m=-1, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-2). 4.解:(1)∵OB=2OA=3OD=6, ∴OA=3,OD=2. ∴A(3,0),B(0,6),D(-2,0). 將點(diǎn)A(3,0)和B(0,6)代入y=kx+b得, ∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6. ……………………(3分) 將x=-2代入y=-2x+6,得y=-2(-2)+6=10, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,10). 將點(diǎn)C(-2,10)代入y=,得 10=,解得n=-20, ∴反比例函數(shù)的解析式為;………………………(5分) (2)將兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組,得 解得x1=-2,x2=5. ………………………………………(7分) 將x=5代入 ∴兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(5,-4); …………… (8分) (3)-2≤x<0或x≥5. …………………………………… (10分) 【解法提示】不等式kx+b≤的解集,即是直線位于雙曲線下方的部分所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍,也就是-2≤x<0或x≥5. 5.解:(1)∵點(diǎn)A(-2,n),B(1,-2)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn), ∴m=-2, ∴反比例函數(shù)解析式為, ∴n=1, ∴點(diǎn)A(-2,1), 將點(diǎn)A(-2,1),B(1,-2)代入y=kx+b,得 ∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-1; (2)結(jié)合圖象知:當(dāng)-2<x<0或x>1時(shí),一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值; (3)如解圖,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接BA′延長交x軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求, ∵A(-2,1), ∴A′(-2,-1), 設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n, ∴y=-x-, 令y=0,得x=-5, 則C點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0), ∴t的最大值為A′B==. 第5題解圖 6.解:(1)∵一次函數(shù)y1=x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與 y軸交于點(diǎn)C, ∴A(-4,0),C(0,1), 又∵AC=BC,CO⊥AB, ∴O為AB的中點(diǎn),即OA=OB=4,且BP=2OC=2, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2), 將點(diǎn)P(4,2)代入y2=,得m=8, ∴反比例函數(shù)的解析式為y2=; (2)x>4; 【解法提示】由圖象可知,當(dāng)y1>y2時(shí),即是直線位于雙曲線上方的部分,所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍是x>4. (3)存在.假設(shè)存在這樣的D點(diǎn),使四邊形BCPD為菱形,如解圖,連接DC與PB交于點(diǎn)E, ∵四邊形BCPD為菱形, ∴CE=DE=4, ∴CD=8, ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,1), 將D(8,1)代入反比例函數(shù),D點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式, 即反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形,此時(shí) D點(diǎn)坐標(biāo)為(8,1). 第6題解圖 7.解:(1)∵直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)C(4,0), ∴把點(diǎn)C(4,0)代入y=x+b,得b=-4, ∴直線的解析式為y=x-4, ∵直線也過A點(diǎn), ∴把點(diǎn)A(-1,n)代入y=x-4,得n=-5, ∴A(-1,-5), 將A(-1,-5)代入y=(x<0),得m=5, ∴雙曲線的解析式為; (2)如解圖,過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M, ∵點(diǎn)B是直線y=x-4與y軸的交點(diǎn), ∴令x=0,得y=-4, ∴點(diǎn)B(0,-4),∴OC=OB=4, ∴△OCB是等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45, ∴在△OMB中,sin45==,∴OM=2, ∵AO==, ∴在△AOM中,sin∠OAB===; 第7題解圖 (3)存在. 如解圖,過點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N,則AN=1,BN=1, ∴AB==, ∵OB=OC=4, ∴BC==4, 又∵∠OBC=∠OCB=45, ∴∠OBA=∠BCD=135, ∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB, ∴=或=, 即=或=, ∴CD=2或CD=16, ∵點(diǎn)C(4,0), ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(6,0)或(20,0). 8.解:(1)當(dāng)y=0時(shí),得0=x-,解得x=3. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0); ……………………………………(2分) (2)①如解圖,過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F. 設(shè)AE=AC=t, 點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3,t). 在Rt△AOB中, tan∠OAB==, ∴∠OAB=30. 在Rt△ACF中,∠CAF=30, ∴CF=t,AF=ACcos30=t, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3+t,t). ∵點(diǎn)C、E在y=的圖象上, ∴(3+t)t=3t, 解得t1=0(舍去),t2=2, ∴k=3t=6; …………………………………………… (5分) ②點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱,理由如下: 由①知,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2), 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(x,x-), ∴x(x-)=6,解得x1=6(舍去),x2=-3, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-3,-2), ∴點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱.…………………(8分) 第8題解圖 9.解:(1)∵雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)D(6,1), ∴=1,解得k=6; (2)設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h, ∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,1),DB⊥y軸, ∴BD=6, ∴S△BCD=6h=12, 解得h=4, ∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1, ∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3, ∴=-3,解得x=-2, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,-3), 設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,則 ∴直線CD的解析式為y=x-2; (3)AB∥CD.理由如下: ∵CA⊥x軸,DB⊥y軸,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,1), 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c,), ∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(c,0),B(0,1), 設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則 ∴直線AB的解析式為y=-+1, 設(shè)直線CD的解析式為y=ex+f,則 ∴直線CD的解析式為y=-+, ∵AB、CD的解析式中k都等于, ∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD. 10.解:(1)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0), ∵AB∥y軸,點(diǎn)A在直線y=x上,B為雙曲線y=(x>0)上一點(diǎn), ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a),B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,), ∴AB=a-,BD=, 在Rt△OBD中,OB2=BD2+OD2=()2+a2, ∵OB2-AB2=4, ∴()2+a2-(a-)2=4, ∴k=2; (2)如解圖,過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M, ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(,), ∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4, ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,), ∴AB=4-=,CM=4-, ∴S△ABC=CMAB =(4-) =7-; 第10題解圖 (3)不存在,理由如下: 若△APC∽△AOD, ∵△AOD為等腰直角三角形, ∴△APC為等腰直角三角形,∠ACP=90, ∴CM=AP, 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a), ∴AP=|a-|, ∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(,), ∴CM=|a-|, ∴|a-|=|a-|, ∴(a-)2=, 即(a-)2=, ∴4a2-(a+)2=0,解得a=或a=-(舍去), ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,),則此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合,所以不能構(gòu)成三角形,故不存在.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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