九年級數(shù)學上學期期末試卷（含解析） 新人教版 (8)

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2015-2016學年江西省吉安市朝宗實驗學校九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題 1．下列命題正確的是（　　） A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 2．下面四個幾何體中，俯視圖是圓的幾何體共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD上一點，且AE=2ED，EC交對角線BD于點F，則=（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，直線y=﹣x+3與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象交于點C，過點C作CB⊥x軸于點B，AO=3BO，則反比例函數(shù)的解析式為（　?。? A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣ 5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則△CEF的面積為（　　） A． B． C．2 D．4 　 二、填空題 7．若2m﹣n2=4，則代數(shù)式10+4m﹣2n2的值為______． 8．若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為______( 9．若矩形的長和寬是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的兩根，則矩形的周長為______． 10．如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A=50，∠B=30，則∠ADC的度數(shù)為______． 11．如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=______cm． 12．如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE．若BE=9，BC=12，則cosC=______． 13．如圖，在平面直角坐標系中，過點M（﹣3，2）分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，則四邊形MAOB的面積為______． 14．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，點P從A點出發(fā)，以2cm/S的速度沿AB方向向B運動，同時點Q從C點出發(fā)，以1cm/S的速度沿CA方向向點A運動，當一點到達終止，當一點也停止，連接PQ．設運動時間為ts，當t=______S時，△ABC與△APQ相似． 　 三、解答題 15．計算： +﹣4sin60+|﹣| 16．解方程 （1）x2+4x+2=0 （2）（x﹣2）2+2=x． 17．如圖，△ABC三個定點坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1； （2）以原點O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在第三象限內(nèi)畫出△A2B2C2，并求出的值． 18．有三張卡片（形狀、大小、顏色、質(zhì)地都相等），正面分別寫上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．將這三張卡片背面向上洗勻，從中任意抽取一張卡片，記卡片上的整式為A，再從剩下的卡片中任意抽取一張，記卡片上的整式為B，于是得到代數(shù)式． （1）請用畫樹狀圖或列表的方法，寫出代數(shù)式所有可能的結(jié)果； （2）求代數(shù)式恰好是分式的概率． 　 四、解答題 19．已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|． （1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根． 20．某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？ 21．一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A（﹣1，4），B（2，n）兩點，直線AB交x軸于點D． （1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式； （2）過點B作BC⊥y軸，垂足為C，連接AC交x軸于點E，求△AED的面積S． 22．如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在直線AC上（點E在F左側(cè)，）BE∥DF （1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形； （2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，當四邊形BEDF為矩形時，求線段AE的長． 　 五、解答題 23．如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（﹣1，0），B（4，），點D是拋物線A、B兩點間部分上的一個動點（不與點A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD． （1）求拋物線的表達式； （2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標． 　 六、解答題 24．如圖，已知∠MON=90，A是∠MON內(nèi)部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒（t＞0）． （1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由； （2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？ （3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S△AEF=S四邊形AEOF？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學年江西省吉安市朝宗實驗學校九年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列命題正確的是（　　） A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 【考點】命題與定理． 【分析】直接利用平行四邊形以及菱形、矩形、正方形的判定方法分析得出答案． 【解答】解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形，錯誤； B、對角線互相垂直的四邊形是菱形，錯誤； C、對角線相等的四邊形是矩形，錯誤； D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確． 故選：D． 【點評】此題主要考查了命題與定理，正確把握平行四邊形以及菱形、矩形、正方形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 2．下面四個幾何體中，俯視圖是圓的幾何體共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】簡單幾何體的三視圖． 【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看所得到的圖形判斷即可． 【解答】解：從上面看，三棱柱的俯視圖為三角形；圓柱的俯視圖為圓；四棱錐的俯視圖是四邊形；球的俯視圖是圓；俯視圖是圓的幾何體共有2個． 故選：B． 【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖． 　 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD上一點，且AE=2ED，EC交對角線BD于點F，則=（　?。? A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形對邊平行且相等得到AD與BC平行且相等，由平行得到兩對內(nèi)錯角相等，由兩對角相等的三角形相似得到三角形EDF與三角形CBF相似，由相似得比例即可求出所求式子的值． 【解答】解：∵平行四邊形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF， ∴△EDF∽△CBF， ∴=， ∵AE=2ED， ∴==， 則=， 故選A 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，直線y=﹣x+3與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象交于點C，過點C作CB⊥x軸于點B，AO=3BO，則反比例函數(shù)的解析式為（　?。? A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣ 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【專題】壓軸題． 【分析】先求出點A的坐標，然后表示出AO、BO的長度，根據(jù)AO=3BO，求出點C的橫坐標，代入直線解析式求出縱坐標，用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式． 【解答】解：∵直線y=﹣x+3與y軸交于點A， ∴A（0，3），即OA=3， ∵AO=3BO， ∴OB=1， ∴點C的橫坐標為﹣1， ∵點C在直線y=﹣x+3上， ∴點C（﹣1，4）， ∴反比例函數(shù)的解析式為：y=﹣． 故選：B． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題意確定點C的橫坐標并求出縱坐標是解題的關(guān)鍵． 　 5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下得到a＜0，再根據(jù)對稱軸確定出b，根據(jù)與y軸的交點確定出c＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解． 【解答】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下， ∴a＜0， ∵對稱軸為直線x=﹣＞0， ∴b＞0， ∵與y軸的正半軸相交， ∴c＞0， ∴y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限， 反比例函數(shù)y=圖象在第一三象限， 只有C選項圖象符合． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則△CEF的面積為（　?。? A． B． C．2 D．4 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，在圖②中得到DB=8﹣6=2，∠EAD=45；在圖③中，得到AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到BF=AB=4，CF=BC﹣BF=6﹣4=2，EC=DB=2，最后根據(jù)三角形的面積公式計算即可． 【解答】解：∵AB=8，AD=6，紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上， ∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45， 又∵△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F， ∴AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF為等腰直角三角形， ∴BF=AB=4， ∴CF=BC﹣BF=6﹣4=2， 而EC=DB=2，22=2． 故選：C． 【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后的兩個圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)． 　 二、填空題 7．若2m﹣n2=4，則代數(shù)式10+4m﹣2n2的值為　18?。? 【考點】代數(shù)式求值． 【分析】觀察發(fā)現(xiàn)4m﹣2n2是2m﹣n2的2倍，進而可得4m﹣2n2=8，然后再求代數(shù)式10+4m﹣2n2的值． 【解答】解：∵2m﹣n2=4， ∴4m﹣2n2=8， ∴10+4m﹣2n2=18， 故答案為：18． 【點評】此題主要考查了求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是找出代數(shù)式之間的關(guān)系． 　 8．若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為　m＞0　( 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】直接利用頂點形式得出頂點坐標，結(jié)合第一象限點的特點列出不等式組解答即可． 【解答】解：∵拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）， ∴頂點坐標為（m，m+1）， ∵頂點在第一象限， ∴m＞0，m+1＞0， ∴m的取值范圍為m＞0． 故答案為：m＞0． 【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），以及各個象限點的坐標特征． 　 9．若矩形的長和寬是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的兩根，則矩形的周長為　16?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；矩形的性質(zhì)． 【分析】設矩形的長和寬分別為x、y，由矩形的長和寬是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的兩個根，根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性質(zhì)易求得到它的周長． 【解答】解：設矩形的長和寬分別為x、y， 根據(jù)題意得x+y=8； 所以矩形的周長=2（x+y）=16． 故答案為：16． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了矩形的性質(zhì)． 　 10．如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A=50，∠B=30，則∠ADC的度數(shù)為　110　． 【考點】圓周角定理． 【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠BOC=100，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得∠BDC=70，然后根據(jù)鄰補角求得∠ADC的度數(shù)． 【解答】解：∵∠A=50， ∴∠BOC=2∠A=100， ∵∠B=30，∠BOC=∠B+∠BDC， ∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100﹣30=70， ∴∠ADC=180﹣∠BDC=110， 故答案為110． 【點評】本題考查了圓心角和圓周角的關(guān)系及三角形外角的性質(zhì)，圓心角和圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=　　cm． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90， ∴AC===6， ∴OC=3， ∴OB===； 故答案為：． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE．若BE=9，BC=12，則cosC=　?。? 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出CE=BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CD=BD，從而得出CD：CE，即為cosC． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線， ∴CE=BE， ∴CD=BD， ∵BE=9，BC=12， ∴CD=6，CE=9， ∴cosC===， 故答案為． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用． 　 13．如圖，在平面直角坐標系中，過點M（﹣3，2）分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，則四邊形MAOB的面積為　10?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d），根據(jù)反比例函數(shù)y=的圖象過A，B兩點，所以ab=4，cd=4，進而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， S矩形MCDO=32=6，根據(jù)四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答． 【解答】解：如圖， 設點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（c，d）， ∵反比例函數(shù)y=的圖象過A，B兩點， ∴ab=4，cd=4， ∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， ∵點M（﹣3，2）， ∴S矩形MCDO=32=6， ∴四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10， 故答案為：10． 【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的對稱性和k的幾何意義，根據(jù)條件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解題的關(guān)鍵，注意k的幾何意義的應用． 　 14．如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，點P從A點出發(fā)，以2cm/S的速度沿AB方向向B運動，同時點Q從C點出發(fā)，以1cm/S的速度沿CA方向向點A運動，當一點到達終止，當一點也停止，連接PQ．設運動時間為ts，當t=　或　S時，△ABC與△APQ相似． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】動點型． 【分析】根據(jù)題意得：AP=2tcm，CQ=tcm，則AQ=（5﹣t）cm，分兩種情況：①當時，，解方程即可； ②當時，，解方程即可；即可得出結(jié)果． 【解答】解：根據(jù)題意得：AP=2tcm，CQ=tcm，則AQ=（5﹣t）cm， ∵∠A=∠A， ∴分兩種情況： ①當時，， 解得：t=； ②當時，， 解得：t=； 綜上所述：t=s或s時，△ABC與△APQ相似； 故答案為：或． 【點評】本題考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩邊成比例得出方程是解決問題的關(guān)鍵；注意分類討論． 　 三、解答題 15．計算： +﹣4sin60+|﹣| 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】本題涉及負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、二次根式化簡幾個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果． 【解答】解： +﹣4sin60+|﹣| =﹣3+1﹣4+2 =﹣3+1﹣2+2 =﹣2． 【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算． 　 16．解方程 （1）x2+4x+2=0 （2）（x﹣2）2+2=x． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）根據(jù)配方法可以解答此方程； （2）根據(jù)提公因式法可以解答此方程． 【解答】解：（1）x2+4x+2=0 x2+4x=﹣2 x2+4x+4=﹣2+4 （x+2）2=2， ∴x+2=， ∴，； （2）（x﹣2）2+2=x （x﹣2）2+（2﹣x）=0 （x﹣2）[（x﹣2）﹣1]=0 （x﹣2）（x﹣3）=0， ∴x﹣2=0或x﹣3=0， 解得，x1=2，x2=3． 【點評】本題考查解一元二次方程﹣﹣因式分解法（配方法），解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程選取合適的方法進行解答． 　 17．如圖，△ABC三個定點坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1； （2）以原點O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在第三象限內(nèi)畫出△A2B2C2，并求出的值． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可； （2）連接A1O并延長至A2，使A2O=2A1O，連接B1O并延長至B2，使B2O=2B1O，連接C1O并延長至C2，使C2O=2C1O，然后順次連接即可，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示； （2）△A2B2C2如圖所示， ∵△A1B1C1放大為原來的2倍得到△A2B2C2， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比為， ∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=． 【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵，還利用了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)． 　 18．有三張卡片（形狀、大小、顏色、質(zhì)地都相等），正面分別寫上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．將這三張卡片背面向上洗勻，從中任意抽取一張卡片，記卡片上的整式為A，再從剩下的卡片中任意抽取一張，記卡片上的整式為B，于是得到代數(shù)式． （1）請用畫樹狀圖或列表的方法，寫出代數(shù)式所有可能的結(jié)果； （2）求代數(shù)式恰好是分式的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；分式的定義． 【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果； （2）由（1）中的樹狀圖，可求得抽取的兩張卡片結(jié)果能組成分式的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）畫樹狀圖： 列表： 第一次 第二次 x2+1 ﹣x2﹣2 3 x2+1 ﹣x2﹣2 3 （2）代數(shù)式所有可能的結(jié)果共有6種，其中代數(shù)式是分式的有4種：，，，， 所以P （是分式）=． 【點評】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 四、解答題 19．已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|． （1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根． 【考點】根的判別式；一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】（1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0即可； （2）將x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，進而得出方程的解． 【解答】（1）證明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|， ∴x2﹣5x+6﹣|m|=0， ∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|， 而|m|≥0， ∴△＞0， ∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）解：∵方程的一個根是1， ∴|m|=2， 解得：m=2， ∴原方程為：x2﹣5x+4=0， 解得：x1=1，x2=4． 即m的值為2，方程的另一個根是4． 【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解的定義． 　 20．某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】銷售問題． 【分析】設降價x元，表示出售價和銷售量，列出方程求解即可． 【解答】解：降價x元，則售價為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件， 根據(jù)題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080， 解得x1=1，x2=4， 又顧客得實惠，故取x=4，即定價為56元， 答：應將銷售單價定位56元． 【點評】本題考查了一元二次方程應用，題找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解． 　 21．一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A（﹣1，4），B（2，n）兩點，直線AB交x軸于點D． （1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式； （2）過點B作BC⊥y軸，垂足為C，連接AC交x軸于點E，求△AED的面積S． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）把A（﹣1，4）代入反比例函數(shù)y=可得m的值，即確定反比例函數(shù)的解析式；再把B（2，n）代入反比例函數(shù)的解析式得到n的值；然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式； （2）先由BC⊥y軸，垂足為C以及B點坐標確定C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進一步求出點E的坐標，然后計算得出△AED的面積S． 【解答】解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函數(shù)y=得，m=﹣14=﹣4， 所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣； 把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4， 解得n=﹣2， 所以B點坐標為（2，﹣2）， 把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函數(shù)y=kx+b得， ， 解得， 所以一次函數(shù)的解析式為y=﹣2x+2； （2）∵BC⊥y軸，垂足為C，B（2，﹣2）， ∴C點坐標為（0，﹣2）． 設直線AC的解析式為y=px+q， ∵A（﹣1，4），C（0，﹣2）， ∴， 解， ∴直線AC的解析式為y=﹣6x﹣2， 當y=0時，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣， ∴E點坐標為（﹣，0）， ∵直線AB的解析式為y=﹣2x+2， ∴直線AB與x軸交點D的坐標為（1，0）， ∴DE=1﹣（﹣）=， ∴△AED的面積S=4=． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵． 　 22．如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在直線AC上（點E在F左側(cè)，）BE∥DF （1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形； （2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，當四邊形BEDF為矩形時，求線段AE的長． 【考點】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）通過全等三角形△BEC≌△DFA的對應邊相等推知BE=DF，則結(jié)合已知條件證得結(jié)論； （2）根據(jù)矩形的性質(zhì)計算即可． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAF=∠BCE． 又∵BE∥DF， ∴∠BEC=∠DFA． 在△BEC與△DFA中，， ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴BE=DF． 又∵BE∥DF， ∴四邊形BEDF為平行四邊形； （2）連接BD，BD與AC相交于點O，如圖： ∵AB⊥AC，AB=4，BC=2， ∴AC=6， ∴AO=3， ∴Rt△BAO中，BO=5， ∵四邊形BEDF是矩形， ∴OE=OB=5， ∴點E在OA的延長線上，且AE=2． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法． 　 五、解答題 23．如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（﹣1，0），B（4，），點D是拋物線A、B兩點間部分上的一個動點（不與點A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD． （1）求拋物線的表達式； （2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式； （2）設直線AB為：y=kx+b．將A、B的坐標代入可得到k，b的方程組，從而可求得k，b于是得到直線AB的解析式，記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F．設D（m，﹣ m2+2m+）則C（m， m+），依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，接下來由拋物線的對稱軸方程，可求得m的值，于是可得到點C的坐標． 【解答】解：（1）∵由題意得解得：， ∴y=﹣x2+2x+． （2）設直線AB為：y=kx+b．則，解得 直線AB的解析式為y=+． 如圖所示：記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F． 設D（m，﹣ m2+2m+）則C（m， m+）． ∵CD=（﹣m2+2m+）﹣（m+）=m2+m+2， ∴S=AE?DC+CD?BF=CD（AE+BF）=DC=m2+m+5． ∴S=m2+m+5． ∵﹣＜0， ∴當m=時，S有最大值． ∴當m=時， m+=+=． ∴點C（，）． 【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，用含m的式子表示出CD的長，從而得到S與m的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵． 　 六、解答題 24．如圖，已知∠MON=90，A是∠MON內(nèi)部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒（t＞0）． （1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由； （2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？ （3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S△AEF=S四邊形AEOF？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由． 【考點】相似形綜合題． 【專題】動點型． 【分析】（1）運用=和夾角相等，得出△EOF∽△ABO． （2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，進而證明EF⊥OA． （3）根據(jù)S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四邊形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE可得到S△AEF與S四邊形AEOF關(guān)于t的表達式，進而可求出t的值． 【解答】解：（1）∵t=1， ∴OE=1.5厘米，OF=2厘米， ∵AB=3厘米，OB=4厘米， ∴==， == ∵∠MON=∠ABE=90， ∴△EOF∽△ABO． （2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t． ∵AB=3，OB=4． ∴． 又∵∠EOF=∠ABO=90， ∴Rt△EOF∽Rt△ABO． ∴∠AOB=∠EFO． ∵∠AOB+∠FOC=90， ∴∠EFO+∠FOC=90， ∴EF⊥OA． （3）如圖，連接AF， ∵OE=1.5t，OF=2t， ∴BE=4﹣1.5t ∴S△FOE=OE?OF=1.5t2t=t2， S△ABE=（4﹣1.5t）3=6﹣t， S梯形ABOF=（2t+3）4=4t+6， ∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t， S四邊形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t， ∵S△AEF=S四邊形AEOF ∴﹣t2+t=t，（0＜t＜） 解得t=或t=0（舍去）． ∴當t=時，S△AEF=S四邊形AEOF． 【點評】本題主要考查了相似形綜合題，解題的關(guān)鍵是利用S△AEF=S四邊形AEOF求t的值．