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1、第五節(jié) 兩個(gè)重要極限,一,于是得到第一個(gè)重要極限：,顯然,例1:求下列極限,解:,二第二個(gè)重要極限,都稱(chēng)為第二個(gè)重要極限,第二個(gè)重要極限可以推廣為以下形式:,為了計(jì)算的方便，上述推廣的結(jié)果還可以進(jìn)一步推廣為：,例2 ： 求下列極限,解:,（1）這里,這里,這里,課堂練習(xí),求下列極限,等價(jià)無(wú)窮小代換法則：若 為 型未定式極限,三利用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算 未定式的極限,兩個(gè)無(wú)窮小量 ， 之比的極限 稱(chēng)為 型未定式極限,例如,需要記住的等價(jià)無(wú)窮小量有：,例3 ： 求下列極限,課堂練習(xí),利用等價(jià)無(wú)窮小代換求下列極限,第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性,許多變量的變化都是連續(xù)的。如氣溫隨著時(shí)間的變化，一般地，氣溫不會(huì)在
2、極其短暫的時(shí)間內(nèi)由2C突變到20C。由2C變到20C必然要經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間過(guò)程，并且不是一個(gè)很短的過(guò)程。,自然界中連續(xù)的現(xiàn)象還有很多，抽象到數(shù)學(xué)上來(lái)可以描述為：對(duì)函數(shù) ，當(dāng)自變量 的改變量非常微小時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于零，函數(shù)值的改變量也趨于零。,從幾何上講，函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)，就是曲線(xiàn) 在點(diǎn) 不間斷，即當(dāng)橫坐標(biāo) 從 的左右兩側(cè)無(wú)限趨于 時(shí)，縱坐標(biāo) 無(wú)限趨于 處的縱坐標(biāo) ，如下圖所示,一函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)必須同時(shí)成立以下三個(gè)條件：,1在點(diǎn) 有定義，即 存在；,2 存在，即在 有極限；,3極限值等于函數(shù)值，即 ,如果函數(shù) 在點(diǎn) 不能同時(shí)滿(mǎn)足以上三個(gè)條件
3、，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 間斷，或稱(chēng)函數(shù)在 不連續(xù)。,例1：討論函數(shù) 在 的連續(xù)性,解：,因?yàn)楹瘮?shù) 在 沒(méi)有定義,所以函數(shù) 在 不連續(xù)。,例2: 討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性,解：,故該函數(shù)在 處不連續(xù),有定義,例3: 討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性,解：,有定義,故該函數(shù)在 處連續(xù),有時(shí)還需要用到函數(shù)在某一點(diǎn)單側(cè)連續(xù)的概念,例4:,解,例5:證明,證,二間斷點(diǎn)及其分類(lèi),函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱(chēng)為間斷點(diǎn)。,如函數(shù) 在 不連續(xù)，所以間斷點(diǎn)為,一般地，函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)，極限不存在的點(diǎn) 也是間斷點(diǎn)，極限值不等于函數(shù)值的點(diǎn)仍是間斷點(diǎn)。,三初等函數(shù)的連續(xù)性,定理：,例如,即由連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的（分
4、母為零的點(diǎn)除外）。,定理,即由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的。,例如,定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及復(fù)合運(yùn)算得到的并且由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)。,根據(jù)這一結(jié)論，求初等函數(shù) 在某點(diǎn) 的極限時(shí)，如果 在 的定義區(qū)間內(nèi)，則函數(shù) 在該點(diǎn)的極限值等于 在該點(diǎn)的函數(shù)值 ,即 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,對(duì)初等函數(shù)求其間斷點(diǎn)或連續(xù)區(qū)間時(shí)，只要求出其無(wú)定義的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，在定義域內(nèi)去除間斷點(diǎn)便得到連續(xù)區(qū)間。,例8：求函數(shù) 的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間,解：,間斷點(diǎn)為：,連續(xù)區(qū)間：,作業(yè)布置,
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