高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 習題課1 求通項公式高效測評 新人教A版必修5

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第二章　習題課　求通項公式 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－2(a為常數(shù)，且a≠0，a≠1)，則數(shù)列{an}(　　) A．是等比數(shù)列　　　　　　 B．從第二項起的等比數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D．從第二項起的等差數(shù)列 解析：　當n≥2時，an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1－an ∴an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，則＝a. 又∵a2＝S2－S1＝a2－2－(a－2) ＝a2－a＝a(a－1) a1＝S1＝a－2. 當a＝2時，a1＝0， 當a≠2時，＝≠a. 答案：　B 2．如果數(shù)列{an}滿足a1，，，…，，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則a6＝(　　) A．21 008 B．29 968 C．25 050 D．32 768 解析：　a6＝a1…＝1222…25＝215＝32 768. 答案：　D 3．若數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，則a6＝(　　) A． B． C． D．2 解析：　a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝36， ① a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5＝25， ② ①－②得6a6＝11，所以a6＝. 答案：　B 4．在數(shù)列{an}中，已知an＋1＝an＋，且a1＝2，則a99的值是(　　) A．2 477 B．2 427 C．2 427.5 D．2 477.5 解析：　∵an＋1－an＝， ∴an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝[1＋2＋…＋(n－1)]＝(n－1)n， ∴a99＝2＋9899＝2 427.5. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且＝ (n≥2)，則an＝______. 解析：　an＝a1… ＝2… ＝. 答案：　 6．數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝________. 解析：　an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)． 又a1＋1＝2. ∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列． ∴an＋1＝23n－1. ∴an＝23n－1－1. 答案：　23n－1－1 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 解析：　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設知a1＝1. 當n＞1時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2， an＝an－1. 將以上n－1個等式中等號兩端分別相乘， 整理得an＝. 綜上可知，{an}的通項公式an＝. 8．設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝， ① ∴當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝. ② ①－②，得3n－1an＝，∴an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝.∴an＝(n∈N*)．  ☆☆☆ 9.(10分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：　(1)當n＝1時，T1＝2S1－12. 因為T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)當n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1， ① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1， ② ②－①得an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)． 當n＝1時，a1＋2＝3，a2＋2＝6，則＝2， 所以當n＝1時也滿足上式． 所以{an＋2}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋2＝32n－1，所以an＝32n－1－2.