高三數(shù)學第3周教學設計（第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)）

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函數(shù)與導數(shù) 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù) 考點： 1．二次函數(shù) 掌握二次函數(shù)的圖象與性質，會求二次函數(shù)的最值(值域)、單 調區(qū)間． 2．冪函數(shù) (1)了解冪函數(shù)的概念． (2)結合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況． 主干知識： 知識點一　五種常見冪函數(shù)的圖象與性質 五種常見冪函數(shù)的圖象與性質 函數(shù)特征性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 (－∞，0]減，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)減 公共點 (1,1) 易誤提醒　形如y＝xα(α∈R)才是冪函數(shù)，如y＝3x不是冪函數(shù)． [自測練習] 1．已知冪函數(shù)f(x)＝kxα的圖象過點，則k＋α＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：因為函數(shù)f(x)＝kxα是冪函數(shù)，所以k＝1，又函數(shù)f(x)的圖象過點，所以α＝，解得α＝，則k＋α＝. 答案：C 知識點二　二次函數(shù) 1．二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函數(shù)的圖象和性質 a>0 a<0 圖象 定義域 x∈R 值域 單調性 在上遞減，在上遞增 在上遞增，在上遞減 奇偶性 b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點 ①對稱軸：x＝－； ②頂點： 易誤提醒　研究函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的性質，易忽視a的取值情況而盲目認為f(x)為二次函數(shù)． 必備方法　 1．函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 (1)對于二次函數(shù)y＝f(x)，如果定義域內有不同兩點x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關于x＝對稱． (2)二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 2．與二次函數(shù)有關的不等式恒成立兩個條件 (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是 [自測練習] 2.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的解析式可能是(　　) A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x－1 C．y＝－x2－2x＋1 D．y＝x2＋2x＋1 解析：設二次函數(shù)的解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題圖得：a<0，b<0，c>0.選C. 答案：C 3．若二次函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋c的值域為[0，＋∞)，則a，c滿足的條件是________． 解析：由已知得? 答案：a>0，ac＝4 4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解：因為函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調遞增區(qū)間為，所以≤2，即m≤16. 答案：(－∞，16] 考點練習： 考點一　冪函數(shù)的圖象與性質| 1．(2015濟南二模)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝3f(2)，則f的值為(　　) A. B. C. D. 解析：設f(x)＝xa，又f(4)＝3f(2)，∴4a＝32a，解得a＝log23，∴f＝log23＝. 答案：A 2.若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 解析：冪函數(shù)a＝2，b＝，c＝－，d＝－1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內，x＝1的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d.故選B. 答案：B 3．(2015安慶三模)若(a＋1)－<(3－2a)－，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等價于a＋1>3－2a>0或3－2a0，若在(0，＋∞)上單調遞減，則α<0. (3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較． 考點二　二次函數(shù)的圖象與性質| 　(1)為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成二次函數(shù)圖象的形狀(如圖所示)．若對應的兩條曲線關于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4 cm，最低點C在x軸上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，則右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝(x＋3)2　　 B．y＝－(x－3)2 C．y＝－(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 [解析]　由題圖可知，對應的兩條曲線關于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4 cm，最低點C在x軸上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以點C的縱坐標為0，橫坐標的絕對值為＋＝3，即C(－3,0)，因為點F與點C關于y軸對稱，所以F(3,0)，因為點F是右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)圖象的頂點，所以設該二次函數(shù)為y＝a(x－3)2(a>0)，將點D(1,1)代入得，a＝，即y＝(x－3)2，故選D. [答案]　D (2)函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是(　　) A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)>25 [解析]　函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5的增區(qū)間為，由已知可得≤－2?m≤－16，所以f(1)＝412－m1＋5＝9－m≥25. [答案]　A 解決二次函數(shù)圖象與性質問題時兩個注意點 (1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論； (2)要注意數(shù)形結合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍． 　　 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a，若a>0，則f(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù)． 則有 解得 若a<0，則f(x)在區(qū)間[2,3]上是減函數(shù)， 則有解得 綜上可知，a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3. (2)由b<1知，a＝1，b＝0，則f(x)＝x2－2x＋2， 所以g(x)＝x2－(m＋2)x＋2. 因為g(x)在區(qū)間[2,4]上是單調函數(shù)，所以 ≥4或≤2， 解得m≥6或m≤2. 考點三　二次函數(shù)的綜合應用| 設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)滿足條件：①f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x只有一個公共點． (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式πf(x)>2－tx在t∈[－2,2]時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)∵由①知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸是直線x＝－1，∴b＝2a. ∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x只有一個公共點，∴方程組有且只有一個解，即ax2＋(b－1)x＝0有兩個相同的實根，∴Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1，∴a＝.∴f(x)＝x2＋x. (2)∵π>1，∴πf(x)>2－tx等價于f(x)>tx－2，即x2＋x>tx－2在t∈[－2,2]時恒成立?函數(shù)g(t)＝xt－<0在t∈[－2,2]時恒成立， ∴即解得x<－3－或x>－3＋，故實數(shù)x的取值范圍是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)． 不等式恒成立的求解方法 由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉化為求函數(shù)最值問題，其依據是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 2．設函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍． 解：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)， 得a>－＋在(1,4)上恒成立． 令g(x)＝－＋＝－22＋， ∈，∴g(x)max＝g(2)＝， 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立， 只要a>即可. 3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應用 【典例】　已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． [思路分析]　參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a≠0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸位置． [解]　(1)當a＝0時，f(x)＝－2x在[0,1]上遞減， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)當a>0時，f(x)＝ax2－2x圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝. ①當≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x圖象的對稱軸在[0,1]內， ∴f(x)在上遞減，在上遞增． ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②當>1，即01時，函數(shù)在[－2,1]上單調遞減，在[1，a]上單調遞增，則當x＝1時，y取得最小值，即ymin＝－1. 綜上，g(x)＝ 練習 A組　考點能力演練 1．當ab>0時，函數(shù)y＝ax2與f(x)＝ax＋b在同一坐標系中的圖象可能是下列圖象中的(　　) 解析：因為ab>0，所以，當a<0，b<0時，函數(shù)y＝ax2的圖象開口向下，函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象在x，y軸上的截距均為負值，顯然D項滿足條件；而當a>0，b>0時，函數(shù)y＝ax2的圖象開口向上，函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象在x軸上的截距為負值，在y軸上的截距為正值，沒有符合條件的選項，故選D. 答案：D 2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)>0，f(p)<0，則必有(　　) A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)<0 C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符號不能確定 解析：函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c的圖象的對稱軸為直線x＝－，又∵f(0)>0，f(p)<0，∴－10，∴f(p＋1)>0. 答案：A 3．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不過原點，則m的取值是(　　) A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 解析：由冪函數(shù)性質可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又冪函數(shù)圖象不過原點，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1. 答案：B 4．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是(　　) A．[0,4] B. C. D. 解析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由圖得m∈. 答案：D 5．(2015滄州質檢)如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么(　　) A．f(－2)0)，易知x∈(0，＋∞)時為減函數(shù)，又f(a＋1)1)． (1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值； (2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是減函數(shù)． 又定義域和值域均為[1，a]． ∴即解得a＝2. (2)∵f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)， ∴a≥2. 又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， ∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. ∵對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3. 故實數(shù)a的取值范圍是[2,3]． B組　高考題型專練 1．(2014高考浙江卷)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) 解析：函數(shù)y＝xa(x≥0)與y＝logax(x>0)，選項A中沒有冪函數(shù)圖象，不符合；對于選項B，y＝xa(x≥0)中a>1，y＝logax(x>0)中00)中a>1，不符合，對于選項D，y＝xa(x≥0)中00)中，00，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于________． 解析：依題意有a，b是方程x2－px＋q＝0的兩根，則a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由題意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a， 將a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此時a＋b＝5，將b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此時a＋b＝5，則p＝5，故p＋q＝9. 答案：9