高中數(shù)學 第1章 不等關系與基本不等式 1.4 第3課時 不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法學案 北師大版選修4-5

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第3課時　不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法 1．了解放縮法、反證法、幾何法的概念；理解用反證法、放縮法、幾何法證明不等式的步驟．(重點) 2．會用反證法、放縮法、幾何法證明一些簡單的不等式．(難點) [基礎初探] 教材整理1　放縮法與幾何法 閱讀教材P18～P20，完成下列問題． 1．放縮法 證明命題時，有時可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法． 2．幾何法 通過構造幾何圖形，利用幾何圖形的性質來證明不等式的方法稱為幾何法． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)分式的放縮可以通過放大(或縮小)分子(或分母)來進行．(　　) (2)整式的放縮可以通過加減項來進行．(　　) (3)從<來看，這是通過擴大分子達到了放大的目的．(　　) 【解析】　根據放縮法的定義知(1)(2)正確，而(3)中，因m的符號不定，所以不一定達到放大的目的，故錯誤． 【答案】　(1)√　(2)√　(3) 教材整理2　反證法 閱讀教材P20～P21，完成下列問題． 通過證明命題結論的否定不能成立，來肯定命題結論一定成立的證明方法叫反證法．其證明的步驟是：(1)作出否定結論的假設；(2)進行推理，導出矛盾；(3)否定假設，肯定結論． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)反證法與同一法實質上是一致的．(　　) (2)證明“至少”“至多”“否定性命題”時宜用反證法．(　　) (3)證明結論“a，b，c至少一個為負數(shù)”時，提出假設可以是“a，b，c至多有兩個為負數(shù)”．(　　) 【解析】　(1)　從原理上分析，兩種方法截然不同． (2)√　反證法適合于證明這種類型． (3)　假設應為“a，b，c沒有一個為負數(shù)”． 【答案】　(1)　(2)√　(3) [質疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用反證法證明否定性結論 　已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于. 【導學號：94910023】 【精彩點撥】　當直接證明命題較困難時，可根據“正難則反”，利用反證法加以證明．凡涉及否定性、惟一性命題或含“至多”“至少”等語句的不等式時，常可考慮反證法． 【自主解答】　假設三式同時大于， 即b－ab>，c－bc>，a－ac>， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>. ① ∵01. ① 同理>1， ② >1. ③ ①＋②＋③得3>3，矛盾．所以原命題得證. 反證法證明“至少”“至多” 型命題 　已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 【精彩點撥】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結論． (2)假設結論不成立，推出矛盾，得結論． 【自主解答】　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)用反證法證明． 假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 又∵|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 互相矛盾，∴假設不成立，∴|f(1)|，|f(2)|， |f(3)|中至少有一個不小于. 1．當證明的題目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，常使用反證法證明，在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設不成立． 2．在用反證法證明的過程中，由于作出了與結論相反的假設，相當于增加了題設條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾． [再練一題] 2．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，求證：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點． 【證明】　假設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點． 不妨設x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個零點，且x11)，>，<(k>1)，>(k>1)等． 探究2　在整式放縮中，常用到哪些性質？ 【提示】　在整式的放縮中，常用到不等式的性質．絕對值不等式、平均值不等式等．如a＋b≥2(a，b為正數(shù))，a2＋b2≥2ab，|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|等． 　已知an＝2n2，n為正整數(shù)，求證：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 【精彩點撥】　針對不等式的特點，對其通項進行放縮、列項． 【自主解答】　∵當n≥2時，an＝2n2＞2n(n－1)， ∴＝＜＝＝， ∴＋＋…＋＜1＋ ＝1＋ ＝1＋＝－＜， 即＋＋…＋＜. 放大或縮小時注意要適當，必須目標明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，謹慎地添或減是放縮法的基本策略. [再練一題] 3．求證：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈為正整數(shù))． 【證明】　∵k2>k(k－1)， ∴<＝－(k為正整數(shù)，且n≥2)， 分別令k＝2,3，…，n得 <＝1－，<＝－，… <＝－， 因此1＋＋＋…＋ <1＋＋＋…＋ ＝1＋1－＝2－， 故不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n為正整數(shù))成立． [構建體系] 1．實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為(　　) A．a，b，c均不為0 B．a，b，c中至多有一個為0 C．a，b，c中至少有一個為0 D．a，b，c中至少有一個不為0 【解析】　實數(shù)a，b，c不全為0的含義即是a，b，c中至少有一個不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D. 【答案】　D 2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時的假設為(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0 C．a，b，c不全是正數(shù) D．abc<0 【答案】　C 3．已知a，b，c，d都是正數(shù)，S＝＋＋＋，則有(　　) A．S<1 B．S>1 C．S>2 D．以上都不對 【解析】　S>(a＋b＋c＋d)＝1. 【答案】　B 4．已知a為正數(shù)，則，，從大到小的順序為__________. 【導學號：94910024】 【解析】　∵＋>＋＝2， ＋<＋＝2， ∴2<＋<2， ∴>>. 【答案】　>> 5．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R. (1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論． 【證明】　(1)∵a＋b≥0， ∴a≥－b. 由已知f(x)的單調性得：f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)． 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)命題(1)的逆命題為：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 逆命題成立．下面用反證法證之． 假設a＋b<0，那么： ?f(a)＋f(b) D．∠B＝ 【解析】　假設∠B≥，則b最大，有b>a，b>c， ∴>，>. ∴＋>，與題意中的＋＝矛盾． ∴∠B<. 【答案】　B 2．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用(　　) ①否定原結論的假設；②原命題的條件； ③公理、定理、定義等；④原結論． A．①②　　 B．①②④ C．①②③ D．②③ 【解析】　由反證法的推理原理可知，反證法必須把結論的相反情況作為條件應用于推理，同時還可應用原條件以及公理、定理、定義等． 【答案】　C 3．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時，假設的內容是(　　) A.＝ B．< C.＝且< D．＝或< 【解析】　應假設≤，即＝或<. 【答案】　D 4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，則(　　) A．p>q B．p0， ∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4， 根據a>2，可得q<4，∴p>q. 【答案】　A 5．設M＝＋＋＋…＋，則(　　) A．M＝1 B．M<1 C．M>1 D．M與1大小關系不定 【解析】　M＝＋＋＋…＋<＝＝1.故選B. 【答案】　B 二、填空題 6．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60”時，假設應為__________． 【解析】　“至少有一個不大于”的反面應是“都大于”． 【答案】　假設三內角都大于60 7．若a>b>0，m>0，n>0，則，，，，按由小到大的順序排列為________． 【解析】　由不等式a>b>0，m>0，n>0，知<<1，且<<1， 得>>1， 即1<<. 【答案】　<<< 8．設x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A，B的大小關系為__________. 【導學號：94910025】 【解析】　B＝＋>＋＝＝A，即A0，b>0，且a＋b>2， 求證：，中至少有一個小于2. 【證明】　假設，都不小于2， 則≥2，≥2. ∵a>0，b>0， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， ∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b， 這與a＋b>2矛盾． 故假設不成立．即，中至少有一個小于2. 10．已知△ABC三邊長是a，b，c，且m是正數(shù)，求證：＋>. 【證明】　設f(x)＝＝1－(x>0，m>0)． 易知函數(shù)f(x)(x>0)是增函數(shù)． 則f(a)＋f(b)＝＋ >＋ ＝ ＝f(a＋b)． 又在△ABC中，a＋b>c>0， ∴f(a＋b)>f(c)＝， ∴＋>. [能力提升] 1．已知x＝a＋(a>2)，y＝(b<0)，則x，y之間的大小關系是(　　) A．x>y B．x2)， 而b2－2>－2(b<0)， 即y＝<＝4. 所以x>y. 【答案】　A 2．若|a|<1，|b|<1，則(　　) A.＝1 B．<1 C.≤1 D．≥1 【解析】　假設≥1， 故|a＋b|≥|1＋ab| ?a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2 ?a2＋b2－1－a2b2≥0 ?a2(1－b2)－(1－b2)≥0 ?(a2－1)(1－b2)≥0. 由上式知a2－1≤0,1－b2≤0或a2－1≥0,1－b2≥0. 與已知矛盾，故<1. 【答案】　B 3．設a，b∈R，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出“a，b中至少有一個實數(shù)大于1”的條件是________． 【解析】　對于①，a，b均可小于1；對于②，a，b均可等于1；對于④⑤，a，b均可為負數(shù)；對于③，若a，b都不大于1，則a＋b≤2，與③矛盾．故若③成立，則“a，b中至少有一個實數(shù)大于1”成立． 【答案】?、? 4．若0

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