（魯京津瓊專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）

《（魯京津瓊專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（魯京津瓊專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)練習(xí)（含解析）（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 一、選擇題 1.(2015·浙江卷)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　) A.若l⊥β，則α⊥β B.若α⊥β，則l⊥m C.若l∥β，則α∥β D.若α∥β，則l∥m 解析　由面面垂直的判定定理，可知A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，l與m可能平行；C選項(xiàng)中，α與β可能相交；D選項(xiàng)中，l與m可能異面. 答案　A 2.(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為(　　) A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面β B.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α

2、內(nèi) C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi) D.過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β 解析　由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確. 答案　B 3.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是(　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 解析　因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF， BC

3、?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確. 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， ∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確. 答案　D 4.(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l∥α，l⊥β，則α⊥β C.若α⊥β，l⊥α，則l∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析　A中，α∥β或α與β相交，不正確.B中，過(guò)直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從

4、而α⊥β，B正確.C中，l∥β或l?β，C不正確.D中，l與β的位置關(guān)系不確定. 答案　B 5.(2017·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論： ①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形； ③三棱錐D－ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是(　　) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 解析　由題意知，BD⊥平面ADC，且AC?平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以

5、AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò). 答案　B 二、填空題 6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而B(niǎo)C⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 答案　4 7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)

6、，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可). 解析　由定理可知，BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)). 解析　對(duì)于①，α

7、，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤. 對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確. 對(duì)于③，因?yàn)棣痢桅?，所以α，β沒(méi)有公共點(diǎn).又m?α，所以m，β沒(méi)有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確. 對(duì)于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確. 答案?、冖邰? 三、解答題 9.(2017·青島質(zhì)檢)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC

8、，AD的中點(diǎn). (1)求證：EF⊥平面BCG； (2)求三棱錐D－BCG的體積. (1)證明　由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 又G為AD的中點(diǎn)，所以CG⊥AD. 同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG. 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. (2)解　在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于O，如圖由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO?平面ABC，知AO⊥平面BDC. 又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長(zhǎng)度的一半. 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝， 所以VD－BCG＝VG－BCD＝S△DB

9、C·h＝×BD·BC· sin 120°·＝. 10.(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由. (1)證明　因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)锳C⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因?yàn)锳B∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB

10、，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF，且EF?平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 11.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面.則下列說(shuō)法正確的是(　　) A.若m⊥n，n∥α，則m⊥α B.若m∥β，β⊥α，則m⊥α C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α 解析　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m

11、?α，錯(cuò)誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤. 答案　C 12.(2017·貴陽(yáng)模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 解析　由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF

12、，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， ∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O為△AEF的垂心. 答案　A 13.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上). 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE， 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC

13、，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確. 答案?、佗? 14.(2016·四川卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說(shuō)明理由. (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. (1)解　取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下： 因?yàn)锳D∥BC，BC＝A

14、D.所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB. 又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說(shuō)明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD， 所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD. 又BD?平面ABCD， 從而PA⊥BD.因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD， M為AD的中點(diǎn)，連接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 6