數(shù)學(xué) 選講部分 不等式選講 文 新人教A版選修4-5

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1、選修45不等式選講-2-3-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.|a|+|b|ab0|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)0-4-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不

2、等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想;通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c-5-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2ab-6-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)-7-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)對(duì)|a-b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a

3、+2b,n=a+b2+1,則nm.()-8-知識(shí)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.(2017江蘇南通模擬)若|a-c|b|,則下列不等式正確的是()A.ac-bC.|a|b|-|c|D.|a|b|+|c|解析解析:|a|-|c|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故選D.D3.若不等式 對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.2a3B.1a2C.1a3D.1aa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無(wú)解f(x)maxa;f(x)a無(wú)解f(x)mina.-18-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1

4、|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)-1,且當(dāng) 時(shí),f(x)g(x),求a的取值范圍.-19-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-20-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四不等式的證明不等式的證明例3(2017全國(guó),文23)已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.-21-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí),主要是運(yùn)用基本不等式證明,與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式.證明過(guò)程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.-2

5、2-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-23-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-24-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四求最值求最值(多考向多考向)考向1利用基本不等式求最值例4若a0,b0,且(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.解題心得如果題設(shè)條件有(或者經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)題設(shè)條件得到)兩個(gè)正數(shù)和或兩個(gè)正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)積的最大值或兩個(gè)正數(shù)和的最小值.-25-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017遼寧大連一模,23)已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實(shí)數(shù)t

6、的最大值.-26-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-27-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考向2利用柯西不等式求最值例5(2017四川成都二診,23)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.-28-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-29-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得利用柯西不等式求最值時(shí),一定要滿足柯西不等式的形式,有時(shí)需要變形才能利用柯西不等式.-30-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2017河南洛陽(yáng)一模,23)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.(1)求m的最大值;(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時(shí)a,b,c的值.-31-考點(diǎn)

7、一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解(1)因?yàn)閨x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|.當(dāng)-3x-m或-mx-3時(shí)取等號(hào),令|m-3|2m,所以m-32m或m-3-2m.解得m-3或m1.故m的最大值為1.(2)a+b+c=1,考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用例6設(shè)函數(shù)(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得絕對(duì)值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用,無(wú)論運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式還是運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2017湖南長(zhǎng)

8、沙一模,文23)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)1x3時(shí)取得最小值.(2)xR時(shí),恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,又不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問(wèn)題.(2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等

9、式f(x)g(x)恒成立問(wèn)題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,則通過(guò)圖象的位置關(guān)系可直觀解決問(wèn)題.2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.不等式求解和證明中應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)作差比較法適用的主要是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結(jié)構(gòu).(2)利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類(lèi)討論不全面的問(wèn)題.若用零點(diǎn)分段法求解,要掌握分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.2.在利用算術(shù)-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí),要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,特別是多次使用不等式時(shí),必須使等號(hào)同時(shí)成立.