2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程4．1曲線與方程,,第三章圓錐曲線與方程,學(xué)習(xí)導(dǎo)航,,,第一章常用的邏輯用語,1.曲線與方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點的坐標都是________________；(2)以這個方程的解為坐標的點都在____________，那么,這條曲線叫作方程的曲線，這個方程叫作曲線的方程．,這個方程的解,曲線上,2.求曲線方程(直接法)的一般步驟(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用__________表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出符合條件的點M的集合____________；(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程____________；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.簡記為：建系、列式、代換、化簡、證明．一般地，步驟(5)可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當說明，另外也可以省略(2)，直接列出曲線方程．,(x，y),D＝{M|p(M)},f(x，y)＝0,3．求曲線方程的方法(1)按動點的特點求軌跡方程一般有下列幾種方法：①條件直譯法(直接法)基本思想：根據(jù)形成軌跡的幾何條件和圖形性質(zhì)，直接寫出所求動點坐標滿足的關(guān)系，即題設(shè)中有明顯的等量關(guān)系的，或可用平面幾何知識推出等量關(guān)系的，可用直譯法．②定義法定義法求軌跡有兩種類型，一是若能確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出軌跡方程；二是動點的軌跡與圓錐曲線有關(guān)，則可運用圓錐曲線定義求出動點的軌跡方程．,③相關(guān)點代入法基本思想：如果所求軌跡中的動點，隨著另一動點的運動而運動,而另一動點又在某一條已知曲線C：f(x，y)＝0上運動．此類問題常設(shè)法利用軌跡中的動點坐標(x，y)，表示已知曲線上的動點坐標(x1，y1)，再將它代入已知曲線C的方程f(x，y)＝0即可．④參數(shù)法基本思想：有時很難直接找出動點的坐標滿足的關(guān)系，可借助中間變量——參數(shù)，建立動點坐標x、y之間的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到曲線方程．使用參數(shù)法求軌跡方程的關(guān)鍵是選擇恰當?shù)膮?shù)和如何消去參數(shù)．解題的一般步驟為：引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù),得到一個等價的普通方程.,注意：設(shè)立參數(shù)的原則：突出主要矛盾，抓住問題的關(guān)鍵，使運算相對簡便，通常與圓有關(guān)的問題，設(shè)角為參數(shù)；與過定點的直線有關(guān)的問題，與兩條互相垂直的直線有關(guān)的問題,設(shè)直線的斜率為參數(shù)；與動點有關(guān)，與兩條直線或直線與曲線的交點有關(guān)的問題，設(shè)點的坐標為參數(shù)．,⑤交軌法在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題,這類問題常常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用．(2)求曲線的方程要注意以下幾點，這也是在求軌跡方程時需要注意的：①坐標系建立的不同，同一曲線的方程也不同．②一般地，求哪個點的軌跡方程,就設(shè)哪個點的坐標是(x，y),而不是設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等．,③化簡方程化簡到什么程度，課本沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化簡過程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點，找回屬于軌跡而遺漏的點．④“軌跡方程”是坐標關(guān)系式，是一個方程，有時要在方程后根據(jù)需要指明變量的取值范圍，而“軌跡”是點的集合，是曲線，是幾何圖形．故求點的軌跡除了寫出方程外，還必須指出這個方程所代表的曲線的形狀、位置、范圍、大小等.所以說，求軌跡方程和求軌跡是有所不同的．,1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”)(1)在求曲線方程時，如果點有了坐標或曲線有了方程，則說明已經(jīng)建立了平面直角坐標系()(2)求曲線的方程時，所建坐標系不同，則求得的方程也不同()(3)化簡方程“|x|＝|y|”為“y＝x”是恒等變形()(4)按照直接法求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(),√,,,√,C,解析：把點代入方程檢驗知點A、C、D成立，B點不成立．,3．如圖，方程x＋|y－1|＝0表示的曲線是()解析：方程可化為|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故選B.,B,,曲線與方程的概念,(1)如果曲線C上的點的坐標(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么()A．以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線上B．以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點，有些不在曲線C上C．不在曲線C上的點的坐標不是方程F(x，y)＝0的解D．坐標不滿足F(x，y)＝0的點不在曲線C上,D,(2)“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件,B,[解析](1)條件中曲線C上的點的坐標(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解．滿足定義中的純粹性，但是以方程的解為坐標的點是否都在曲線上，這是無法判斷的．故D正確．(2)根據(jù)曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點的坐標都是這個方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”的兩層含義，可知是必要不充分條件．,方法歸納解決此類問題要從兩方面入手：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．,1.設(shè)方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是不正確的，則下列命題正確的是()A．坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都不在曲線C上B．曲線C上的點的坐標都不滿足方程f(x，y)＝0C．坐標滿足方程f(x，y)＝0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上D．一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0,D,解析：本題考查命題形式的等價轉(zhuǎn)換．所給命題不正確，即“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點不都在曲線C上”是正確的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”兩種情況，故A、C錯，B顯然錯．,方程與曲線的判斷,方法歸納(1)判斷方程表示什么曲線，必要時要對方程適當變形，變形過程中一定要注意與原方程等價，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線．(2)判斷點是否在方程所表示的曲線上，只需將點的坐標代入方程，若方程成立，則點在曲線上；若方程不成立，則點不在曲線上．,C,求軌跡方程,設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程．,方法歸納求軌跡方程關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?已給的不需建系)，常見的建系方法有：①以已知定點為原點；②以已知定直線為坐標軸(x軸或y軸)；③以已知線段所在的直線為坐標軸(x軸或y軸)，以已知線段的中點為原點；④以已知互相垂直的兩定直線為坐標軸；⑤讓盡量多的已知點在坐標軸上．總之一句話：遵循垂直性和對稱性原則．,3.已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點A(－1，0)，點B(1，0)，求滿足條件的點C的軌跡方程．,求曲線2y2＋3x＋3＝0與曲線x2＋y2－4x－5＝0的公共點．,兩曲線的交點問題,方法歸納曲線與曲線的交點問題需要解方程組．,4．已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個公共點，求b的取值范圍．,(2014安陽高二檢測)已知點Q(2，0)和圓x2＋y2＝1，動點M到圓O的切線長等于圓O的半徑與|MQ|的和，求動點M的軌跡方程．,[錯因與防范](1)本例易對方程平方后，忽略去掉增解而致誤．(2)求曲線方程要注意兩個等價：一是所列方程與題目要求是否等價；二是對方程化簡變形是否等價變形．,5．已知等腰三角形的頂點是A(4，2)，底邊一個頂點是B(3，5)，求另一個頂點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？,