相關(guān)性、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸線(xiàn)及最小二乘法概念

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. 平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸線(xiàn)及最小二乘法 相關(guān)性 線(xiàn)性相關(guān) 數(shù)據(jù)在一條直線(xiàn)附近波動(dòng)，則變量間是線(xiàn)性相關(guān) 非線(xiàn)性相關(guān) 數(shù)據(jù)在一條曲線(xiàn)附近波動(dòng)，則變量間是非線(xiàn)性相關(guān) 不相關(guān) 數(shù)據(jù)在圖中沒(méi)有顯示任何關(guān)系，則不相關(guān) 平均值 N個(gè)數(shù)據(jù) 的平均值計(jì)算公式： 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差表示了所有數(shù)據(jù)與平均值的平均距離，表示了數(shù)據(jù)的散度，如果標(biāo)準(zhǔn)差小，表示數(shù)據(jù)集中在平均值附近，如果標(biāo)準(zhǔn)差大則表示數(shù)據(jù)離標(biāo)準(zhǔn)差比較遠(yuǎn)，比較分散。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式： x、y兩個(gè)變量組成了笛卡爾坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)(x,y)，這個(gè)坐標(biāo)標(biāo)識(shí)了一個(gè)點(diǎn)的位置。 各包含n個(gè)常量的X,Y兩組數(shù)據(jù)在笛卡爾坐標(biāo)系中以n個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行表示。 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)用字母r來(lái)表示，表示兩組數(shù)據(jù)線(xiàn)性相關(guān)的程度（同時(shí)增大或減小的程度），從另一方面度量了點(diǎn)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差的散布情況，它沒(méi)有單位。包含n個(gè)數(shù)值的X、Y兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算方法： 簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是r=[(以標(biāo)準(zhǔn)單位表示的 x )X(以標(biāo)準(zhǔn)單位表示的 y )]的平均數(shù) 根據(jù)上面點(diǎn)的定義，將X、Y兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系以點(diǎn)的形式在笛卡爾坐標(biāo)系中畫(huà)出，SD線(xiàn)表示了經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)（以數(shù)據(jù)組X、Y平均值為坐標(biāo)的點(diǎn)），當(dāng)r>0時(shí)，斜率=X的標(biāo)準(zhǔn)差/Y的標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)r<0時(shí)，斜率=-X的標(biāo)準(zhǔn)差/Y的標(biāo)準(zhǔn)差；的直線(xiàn)。通常用SD線(xiàn)來(lái)直觀(guān)的表示數(shù)據(jù)的走向： 1、當(dāng)r<0時(shí),SD線(xiàn)的斜率小于0時(shí)，則說(shuō)明數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，即當(dāng)x增大時(shí)y減少。 2、當(dāng)r>0時(shí)，SD線(xiàn)的斜率大于0時(shí)，則說(shuō)明數(shù)據(jù)正相關(guān)，此時(shí)當(dāng)x增大時(shí)y增大。 3、相關(guān)系數(shù)r的范圍在[-1,1]之間，當(dāng)r=0時(shí)表示數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)為0(不相關(guān))。當(dāng)r=正負(fù)1時(shí)，表示數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，此(x,y)點(diǎn)數(shù)據(jù)都在SD線(xiàn)上。 4、r的值越接近正負(fù)1說(shuō)明(x,y)越靠攏SD線(xiàn)，說(shuō)明數(shù)據(jù)相關(guān)性越強(qiáng)，r的值越接近0說(shuō)明(x,y)點(diǎn)到SD線(xiàn)的散度越大（越分散），數(shù)據(jù)相關(guān)性越小。 回歸方法主要描述一個(gè)變量如何依賴(lài)于另一個(gè)變量。y對(duì)應(yīng)于x的回歸線(xiàn)描述了在不同的x值下y的平均值情況，它是這些平均值的光滑形式，如果這些平均值剛好在一條直線(xiàn)上，則這些平均值剛好和回歸線(xiàn)重合。通過(guò)回歸線(xiàn)，我們可以通過(guò)x值來(lái)預(yù)測(cè)y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y對(duì)應(yīng)于x的回歸線(xiàn)方程： 簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是當(dāng)x每增加1個(gè)SD，平均而言，相應(yīng)的y增加r個(gè)SD。 從方程可以看出： 1、回歸線(xiàn)是一條經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，斜率為 的直線(xiàn)。 2、回歸線(xiàn)的斜率比SD線(xiàn)小，當(dāng)r=1或-1時(shí)，回歸線(xiàn)和SD線(xiàn)重合。 當(dāng)用回歸線(xiàn)從x預(yù)測(cè)y時(shí)，實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之間的差異叫預(yù)測(cè)誤差。而均方根誤差就是預(yù)測(cè)誤差的均方根。它度量回歸預(yù)測(cè)的精確程度。y關(guān)于x的回歸線(xiàn)的均方根誤差用下面的公式進(jìn)行計(jì)算: 由公式可以看出，當(dāng)r越接近1或-1時(shí)，點(diǎn)越聚集在回歸線(xiàn)附近，均方根誤差越??；反之r越接近0時(shí)，點(diǎn)越分散，均方根誤差越大。 最小二乘法尋找一條直線(xiàn)來(lái)擬合所有的點(diǎn)，使得這條直線(xiàn)到所有的點(diǎn)之間的均方根誤差最小。可以看到，當(dāng)求兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，最小二乘法求出的直線(xiàn)實(shí)際上就是回歸線(xiàn)。只不過(guò)表述的側(cè)重點(diǎn)不同： 1、最小二乘法強(qiáng)調(diào)求出所有點(diǎn)的最佳擬合直線(xiàn)。 2、回歸線(xiàn)則是在SD線(xiàn)的基礎(chǔ)上求出的線(xiàn)，表示了樣本中已知變量x的情況下變量y的平均值。 由以上可知，一個(gè)散點(diǎn)圖可以用五個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述： 1、所有點(diǎn)x值的平均數(shù)，描述了所有點(diǎn)在x軸上的中心點(diǎn)。 2、所有點(diǎn)x值的SD,描述了所有點(diǎn)距離x中心點(diǎn)的散度。 3、所有點(diǎn)y值的平均數(shù)，描述了所有點(diǎn)在y軸上的中心點(diǎn)。 4、所有點(diǎn)y值的SD,描述了所有點(diǎn)距離y中心點(diǎn)的散度。 5、相關(guān)系數(shù)r，基于標(biāo)準(zhǔn)單位，描述了所有點(diǎn)x值和y值之間的關(guān)系。 相關(guān)系數(shù)r將平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、回歸線(xiàn)這幾個(gè)概念聯(lián)系起來(lái)： 1、r描述了相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差，點(diǎn)沿SD線(xiàn)的群集程度。 2、r說(shuō)明了y的平均數(shù)如何的依賴(lài)于x --- x每增加1個(gè)x標(biāo)準(zhǔn)差，平均來(lái)說(shuō)，y將只增加r個(gè)y標(biāo)準(zhǔn)差。 3、r通過(guò)均方根誤差公式，確定了回歸預(yù)測(cè)的精確度。 注意：以上相關(guān)系數(shù)、回歸線(xiàn)、最小二乘法的計(jì)算要在以下兩個(gè)條件下才能成立： 1、x、y兩組樣本數(shù)據(jù)是線(xiàn)性的，如果不是線(xiàn)性的先要做轉(zhuǎn)換。 2、被研究的兩組樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系必須有意義。 R平方值=回歸平方和/總平方和 其中： 回歸平方和=總平方和-殘差平方和 總平方和=y的實(shí)際值的平方和 假設(shè)，實(shí)際測(cè)的值是yi，擬合曲線(xiàn)計(jì)算出的值分別是Yi 殘差平方和: 總平方和： 相關(guān)系數(shù)的平方為判定系數(shù) 分布區(qū)間(0, 1)，越小說(shuō)明擬合得越差，越大說(shuō)明擬合得越好， 取對(duì)數(shù)： .