2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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1、一二維形式的柯西不等式,第三講柯西不等式與排序不等式,,學習目標1.認識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導學,,知識點二維形式的柯西不等式,,,,,思考1(a2＋b2)(c2＋d2)與4abcd的大小關系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)與(ac＋bd)2的大小關系又如何？,答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.,思考2當且僅當a＝b且c＝d時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝

2、4abcd，那么在什么條件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?,答案當且僅當ad＝bc時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.,思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？,梳理(1)二維形式的柯西不等式①定理1：若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥，當且僅當ad＝bc時，等號成立.②二維形式的柯西不等式的推論：,(ac＋bd)2,|ac＋bd|,|ac|＋|bd|,(2)柯西不等式的向量形式定理2：設α，β是兩個向量，則，當且僅當β是，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立.(3)二維

3、形式的三角不等式,零向量,當且僅當三點P1，P2與原點O在同一直線上，并且P1，P2點在原點O兩旁時，等號成立.,|αβ|≤|α||β|,②推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有,事實上，在平面直角坐標系中，設點P1，P2，P3的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)△P1P2P3的邊長關系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，當且僅當三點P1，P2，P3在同一直線上，并且點P1，P2在P3點的兩旁時，等號成立.,題型探究,,類型一利用柯西不等式證明不等式,證明∵a1，a2，b1，b2∈R＋，,證明,反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不

4、等式時，有時需要將待證不等式進行變形，以具備柯西不等式的運用條件，這種變形往往要認真分析題目的特征，根據(jù)題設條件，利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法.,跟蹤訓練1已知θ為銳角，a，b∈R＋，,證明,例2若實數(shù)x，y，z滿足x2＋4y2＋z2＝3，求證：|x＋2y＋z|≤3.,證明因為x2＋4y2＋z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2,整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.,證明,反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構造使用柯西不等式的條件.(2)此類題也可以用三角不等式，把△ABO的三個頂點

5、分別設為O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.,將上面三個同向不等式相加，,證明,,類型二利用柯西不等式求最值,例3若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點.,解由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，,解答,反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構特征，是利用柯西不等式求解的前提條件；(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；(3)有些最值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號

6、成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤.多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟蹤訓練3已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.,解由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴|3a＋2b|≤6.,解答,達標檢測,1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為A.4B.2C.8D.9,1,2,3,4,解析(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，當且僅當3b＝2a時取等號，所以(3a＋2b)2≤413.所以3a＋2b的最大值為,解析,答案,5,√,2.已知a≥

7、0，b≥0，且a＋b＝2，則A.ab≤B.ab≥C.a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3,答案,√,1,2,3,4,5,解析∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.,解析,1,2,3,4,5,9,∴最小值為9.,解析,答案,1,2,3,4,5,解析∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，∴m2＋n2≥5.當且僅當an＝bm時取等號.,解析,答案,證明∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.,1,2,3,4,5,證明,5.已知a2＋b2＝1，求證：|acosθ＋bsinθ|≤1.,1.利用柯西不等式的關鍵是找出相應的兩組數(shù)，應用時要對照柯西不等式的原形，進行多角度的嘗試.2.柯西不等式取等號的條件也不容易記憶，如(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等號成立的條件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，則ad＝bc來聯(lián)想記憶.,規(guī)律與方法,本課結(jié)束,,