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1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式,觀察數(shù)列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16， 即a1=2，從第2項開始，每一項是它前一項的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出：,a1=2， an=2an－1，(n=2，3，4，…),再如數(shù)列，由操作計算器給出：,a1=1， an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…),如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。,數(shù)列的遞推公式,a1=a， an=f(an－1)，(n=2，3，4，…),,
2、例1．已知數(shù)列{an}的第1項是2，以后各項由公式 給出，寫出這個數(shù)列的前5項.,解：a1=2，,,,,,例2. 已知直線l：y=x與曲線c： （如圖所示），過曲線c上橫坐標(biāo)為1的一點P1作x軸的平行線交l于Q2，過Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過P2作x軸的平行線交l于Q3，過Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，……，設(shè)點P1，P2，…，Pn，…的縱坐標(biāo)分別為a1，a2，…，an，…，試求數(shù)列{an}的遞推公式。,,,解：由題意，點P1的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為a1= ，,點Qn+1與Pn的縱坐標(biāo)相同，都是an， 同時點Pn+1與Qn+1的橫坐標(biāo)相等，,,點Pn+1在曲線c：
3、 上，,,由橫坐標(biāo)得它的縱坐標(biāo)為,即,,這就是數(shù)列{an}的遞推公式。,,例3. 根據(jù)下列各個數(shù)列{an}的首項及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項，并歸納出通項公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； （2）a1=1， , n∈N+；,解：（1）因為a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 歸納出它的通項公式是an=(n－1)2 。,（2）a1=1， , n∈N+；,,解:,,,,,歸納出它的通項公式是,,,,例4. 數(shù)列{an}中，a1=1，對于所有的n≥2且n∈N+，都有 （1）求a3+a5； （2） 是此數(shù)列中的項嗎？,解法1：（1）因為,,,,所以，兩式相除得 n≥2，n∈N+，,所以,,,,解法2：（1）因為 ，,,所以,,解得a2=4，,又,,解得,,同理可得,,,解：（2）令,,則,,解得n=16.,,所以 是此數(shù)列中的一項。,（2） 是此數(shù)列中的項嗎？,,,,
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