（福建專用）2013年高考數學總復習 第二章第9課時 函數與方程課時闖關（含解析）

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1、 （福建專用）2013年高考數學總復習 第二章第9課時 函數與方程課時闖關（含解析） 一、選擇題 1．如圖所示的函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案：B 2．若函數f(x)唯一的零點在區(qū)間(1,3)、(1,4)、(1,5)內，則下列說法錯誤的是(　　) A．函數f(x)在(1,2)或[2,3)內有零點 B．函數f(x)在(3,5)內無零點 C．函數f(x)在(2,5)內有零點 D．函數f(x)在(2,4)內不一定有零點 解析：選C.函數f(x)的零點在(1,3)、(1,

2、4)、(1,5)內，且零點的個數是唯一的，所以f(x)的零點一定在(1,3)內，而不在(3,5)內． 3．函數f(x)＝lnx－的零點所在的大致區(qū)間是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(e，＋∞) 解析：選B.因為f(1)＝－2＜0 ，f(2)＝ln2－1＜0，故在(1,2)內沒有零點，非A.又f(3)＝ln3－＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以f(x)在(2,3)內有一個零點，選B. 4．已知函數f(x)＝log2x－()x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0

3、為正 D．不小于零 解析：選A.由題意知f(x0)＝0，f(x)＝log2x－()x在(0，＋∞)為增函數，又0

4、f(－x)，所以f(x)為偶函數．又f(x)＝0有2013個實數解，f(x)與x軸的交點關于y軸對稱且f(0)＝0，所以所有零點之和為0. 答案：0 7．(2012·廈門質檢)函數f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)，則n＝________. 解析：∵f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0， ∴f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)，∴n＝2. 答案：2 8．已知函數f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數g(x)＝f(x)＋x的零點的個數為________． 解析：f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2； f(－1)

5、＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4. 故f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＝ 令g(x)＝0，則－2＋x＝0，即x＝2，或－x2－3x－2＝0， 即x＝－2或－1，故有3個零點． 答案：3 三、解答題 9．已知關于x的二次函數f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求證：對于任意t∈R，方程f(1)＝1必有實數根； (2)若＜t＜，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,0)及上各有一個實數根． 解：(1)證明：由題知f(x)＝1得：x2＋(2t－1)x－2t＝0. 因為Δ＝(2t－1)2＋8t＝(2t＋1)2≥0，故方程f(x)＝1必有實數根.

6、 (2)當＜t＜時，因為f(－1)＝3－4t＝4＞0， f(0)＝1－2t＝2＜0， f＝＋(2t－1)＋1－2t＝－t＞0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,0)及上各有一個實數根． 10．已知二次函數f(x)＝x2＋2bx＋c(b、c∈R)． (1)若f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤1}，求實數b、c的值； (2)若f(x)滿足f(1)＝0，且函數g(x)＝f(x)＋x＋b分別在區(qū)間(－3，－2)，(0,1)內有兩個零點，求實數b的取值范圍． 解：(1)依題意，x1＝－1，x2＝1是方程x2＋2bx＋c＝0的兩個根． 由根與系數關系，得即 所以b＝0，c＝－1.

7、 (2)由題知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b. ∵g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1， 則?＜b＜，即b∈. 一、選擇題 1．(2012·南平調研)設函數f(x)＝x－lnx(x＞0)，則y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內均有零點 B．在區(qū)間，(1，e)內均無零點 C．在區(qū)間內有零點，在區(qū)間(1，e)內無零點 D．在區(qū)間內無 零點，在區(qū)間(1，e)內有零點 解析：選D.∵函數f′(x)＝－， ∴x∈(3，＋∞)時，y＝f(x)單調遞增；x∈(0,3)時，y＝f(x)單調遞減．而0＜＜

8、1＜e＜3， 又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0， ∴在區(qū)間內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點． 2．(2010·高考浙江卷)已知x0是函數f(x)＝2x＋的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 解析：選B.法一：設y1＝2x，y2＝，在同一坐標系中作出其圖象，如圖， 在(1，x0)內y2＝的圖象在y1＝2x圖象的上方，即＞2x1， 所以2x1＋＜0，即f(x1)＜0，同理f(x2)＞

9、0. 法二：易判斷f(x)在(1，＋∞)上為增函數且f(x0)＝0， 所以x1∈(1，x0)時，f(x1)＜f(x0)＝0，x2∈(x0，＋∞)時，f(x2)＞f(x0)＝0. 二、填空題 3．已知關于x的方程|x|＝ax＋1有一個負根，但沒有正根，則實數a的取值范圍是________． 解析：令f(x)＝|x|，g(x)＝ax＋1，在同一坐標系中畫出它們的圖象，如圖所示，由圖可以看出，直線y＝ax＋1應以y＝x＋1為基礎逆時針旋轉才能保證方程|x|＝ax＋1有一個負根，而沒有正根，故a≥1. 答案：[1，＋∞) 4．已知方程x3＝4－x的解在區(qū)間內，k是的整數倍，則實數k的

10、值是________． 解析：令f(x)＝x3＋x－4，則它的導函數f′(x)＝3x2＋1>0，所以函數f(x)在定義域上是單調增函數．如果有零點，只能有一個． 又f(1)＝－2<0，f＝＋－4＝>0，故函數f(x)必然有一個根在 上，即k＝1. 答案：1 三、解答題 5．已知函數f(x)＝－1＋loga(x＋2)(a>0，且a≠1)，g(x)＝x－1. (1)函數y＝f(x)的圖象恒過定點A，求A點坐標； (2)若函數F(x)＝f(x)－g(x)的圖象過點，證明：方程F(x)＝0在x∈(1,2)上有唯一解． 解：(1)∵f(x)恒過定點，∴f(x)＝－1，loga(x＋2)＝

11、0， 即x＝－1.∴A的點坐標為(－1,1)． (2)證明：∵F(x)＝－1＋loga(x＋2)－x－1過， ∴a＝2，∴F(x)＝－1＋log2(x＋2)－x－1 ∵y＝log2(x＋2)，y＝x－1分別為(－2，＋∞)上的增函數和減函數 ∴F(x)為(－2，＋∞)上的增函數， ∴F(x)在－2，＋∞上至多有一個零點 又(1,2)?(－2，＋∞)， ∴F(x)在(1,2)上至多有一個零點 而F(2)＝－1＋2－＋1＝＞0，F(1)＝－1＋log23－0＝log23－2＜0， ∴F(x)＝0在(1,2) 上有唯一解 6．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈

12、R，a≠0)，f(－2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值為－1. (1)求函數f(x)的解析式； (2)設g(x)＝f(－x)－mf(x)＋1，若g(x)在[－1,1]上是減函數，求實數m的取值范圍； (3)設函數h(x)＝log2[n－f(x)]，若此函數在定義域范圍內不存在零點，求實數n 的取值范圍． 解：(1)由題設f(x)＝ax(x＋2)， ∵f(x)的最小值為－1，∴a＞0，且f(－1)＝－1， ∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x. (2)∵g(x)＝(1－m)x2－2(1＋m)x＋1， ①當m＝1時，g(x)＝－4x＋1在[－1, 1]上減， ∴m＝1符合題意．

13、 ②當m≠1時，對稱軸方程為：x＝， ⅰ)當1－m＞0，即m＜1時，拋物線開口向上，由≥1， 得1＋m≥1－m，∴0≤m＜1； ⅱ)當1－m＜0，即m＞1時，拋物線開口向下，由≤－1，得1＋m≥－1＋m，∴m≥1. 綜上知，實數m的取值范圍為(0，＋∞). (3)∵ 函數h(x)＝log2[n－f(x)]在定義域內不存在零點， 必須且只須有n－f(x)＞0有解，且n－f(x)＝1無解． ∴n＞fmin(x)，且n不屬于f(x)＋1的值域， 又∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴f(x)的最小值為－1， f(x)＋1的值域為(0，＋∞)， ∴n＞－1，且n＜0，∴n的取值范圍為(－1,0)． 5