矩形、菱形和正方形.ppt

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1、典型例題,例、如圖，已知平行四邊形ABCD:,（1）請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形，并加以證明；,（2）在（1）中的全等三角形中的一個(gè)可以由另一個(gè)由怎樣的變換得到？,（3）求證：OMOE=ONOF,（4）若直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則EF將平行四邊形分成的兩個(gè)圖形的面積相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。,特殊平行四邊形,,一、知識(shí)概要,(矩形),一、知識(shí)概要,(菱形),二、知識(shí)概要,(正方形),平行四邊形,四邊形,,矩形,菱形,正方形,有一個(gè)內(nèi)角是直角,對(duì)角線相等,有一組鄰邊相等,對(duì)角線互相垂直,四條邊都相等,有三個(gè)角是直角,有一組鄰邊相等,對(duì)角線互相垂直,有一個(gè)內(nèi)角是直角,對(duì)角線相等,特殊的平行四 邊形的關(guān)系圖,,,,平

2、行四邊形,矩形,菱形,正方形,,四邊形,特殊的平行四邊形的關(guān)系圖,例1 工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行:,（1）先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料，如圖，使AB=CD，EF=GH. （2）擺成如圖所示的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是 ， 理由是： 。 （3）將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的 兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)，說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是 形， 根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是 。,平行四邊形,兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形,矩,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,,還有什么方法可以說(shuō)明這個(gè)鋁合金窗框是合格的?,

3、想一想:,A,B,C,D,,例2將一張矩形的紙對(duì)折再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開(kāi)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么四邊形？你能解釋其中的道理嗎？,,,若展開(kāi)后的菱形紙片ABCD中，兩條對(duì)角線 AC= ,BD= 4 。,（1）求菱形ABCD的面積；,（3） 求ADC的度數(shù)。,（2）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；,在矩形ABCD中,有一個(gè)菱形BFDE(點(diǎn)E,F分別在線段AB,CD上)，記它們的面積分別為 則下列命題中真命題有： . 若 ,則 若 則 ,,如果想得到一個(gè)正方形，該怎么剪？并解釋你這樣做的道理。,想一想：,,例3,鋁合金窗框ABCD兩條對(duì)角線的夾角AOB=60 AOB的周長(zhǎng)

4、為3 m。,,求：（1）窗框?qū)蔷€AC長(zhǎng)； （2）求窗框ABCD的面積。,例4如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，猜想重疊部分的四邊形ABCD是什么形狀？說(shuō)說(shuō)你的理由。,例5：已知四邊形ABCD是正方形。,(1)若一條對(duì)角線BD長(zhǎng)為2cm,求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)、面積。,,,,E,,,,,M,N,(2)若E為對(duì)角線上一點(diǎn),作EMBC于M,ENDC于N,連接 EA、MN。求證：EAMN,(3)若ABBE，求AED的大小。,如圖,邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2,則S1+S2的值為 .,例6,如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一

5、點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AMBE，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F （1）求證OE=OF （2）如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AMEB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由,,,,,,,,,,,A,B,C,D,O,F,E,M,A,B,C,D,F,E,M,O,例7:如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=C=90, AEBC于E,且四邊形ABCD的面積是16,求AE的長(zhǎng).,已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2 （1）求證：ABBC （2）當(dāng)BEAD于E時(shí)，試證明：BEA

6、ECD,8.已知，正方形ABCD中，MAN=45, MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H（1）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系： ； （2）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖，已知MAN=45，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)（可利用（2）得到的結(jié)論）,例9.如圖,在ABC中,ACB=90,BC的中垂線DE交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線上，并且AF=CE. (1)證明：

7、四邊形ACEF是平行四邊形. (2)當(dāng)B的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論. (3)四邊ACEF有可能是正方形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。,10.探究下列問(wèn)題： （1）如圖，在ABC中，CPAB于點(diǎn)P. 求證:AC2-BC2=AP2-BP2； （2）如圖,在四邊形ABCD中,ACBD,垂足為P,猜一猜AB,BC,CD,DA之間有何數(shù)量關(guān)系，用式子表示出來(lái)（不必說(shuō)明理由）； （3）如圖,在矩形ABCD中,P為內(nèi)部任意一點(diǎn)，請(qǐng)猜想出AP,BP,CP,DP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明。,例11.已知正方形ABCD,MEBD，MFAC,垂足分別為E、F,(1)M是AD的中點(diǎn),若對(duì)角線

8、AC=12cm，求ME+MF的長(zhǎng)。,(2)若M是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), ME+MF的長(zhǎng)度是否會(huì)改變？,(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD延長(zhǎng)線上時(shí),是否存在類似(2)中不變的值？求出其值.,(4)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形MFOE的面積最大？,12.如圖,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直線BE、DG交于H,且HEHB4-22，BD、AF交于M，當(dāng)E在線段CD（不與C、D重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論:BEGD;AF、GD所夾的銳角為45;GD=2AM；若BE平分DBC，則正方形ABCD的面積為4。其中正確的結(jié)論是_____,,,例13.如圖，在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、

9、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為 菱形 ，并說(shuō)明理由。 解：添加的條件 __________,ACBD,我想到：,三角形中位線定理,如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為 矩形 ，并說(shuō)明理由。 解：添加的條件 __________,ACBD,我想到：,三角形中位線定理,如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為 正方形 ，并說(shuō)明理由。 解：添加的條件 __________,ACBD,我想到：,三角形中位線定理,且ACBD,(1)順次

10、連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得 (2)順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得 (3)順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得 (4)順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn) 得,我發(fā)現(xiàn)：,平行四邊形；,菱形；,矩形；,正方形.,新四邊形的周長(zhǎng)、面積與原四邊形有何聯(lián)系？,1.矩形的“中點(diǎn)四邊形”是 形； 2.菱形的“中點(diǎn)四邊形”是 形； 3.正方形的“中點(diǎn)四邊形”是 形。,矩,菱,正方,那么，特殊平行四邊形的“中點(diǎn)四邊形”會(huì)是怎樣的圖形呢？,解:四邊形CODP是菱形 DPOC, DP=OC 四邊形CODP是平行四邊形,四邊形ABCD是矩形 CO=DO 四邊形CODP是菱形,如果題目中

11、的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗?如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁矗?如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DPOC，且 DP=OC， 連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.,如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形,例9.在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE. （1）如圖，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；,（2）如圖，當(dāng)EFGH時(shí)，四邊形E

12、GFH的形狀是 ； （3）如圖，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是 ； （4）如圖，在（3）的條件下，ACBD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由.,例.如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形片， O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=6 (1)如圖,在OA上選取一點(diǎn)G,將COG沿CG翻折,使點(diǎn) O落在BC邊上，設(shè)為E，求折痕CG所在直線的解析式。,(2)如圖,在OC上任取一點(diǎn)D,將AOD沿AD翻折， 使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E。 求折痕AD所在直線的解析式； 再作EF//AB，交AD于點(diǎn)F，若拋物線: 過(guò)點(diǎn)F，求此拋物線的解析式,

13、并判斷它與直線AD的交 點(diǎn)的個(gè)數(shù)。,(3)如圖,在OC,OA上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，G，使紙 片沿DG翻折后,點(diǎn)O落在BC邊上,記為E。 請(qǐng)你猜想：折痕DG所在直線與中的拋物線會(huì)用什 么關(guān)系？用（1）中的情形驗(yàn)證你的猜想。,三、基本練習(xí) (填空題),1.如圖，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性制作邊長(zhǎng)為16cm的可活動(dòng)的菱形衣架，若墻上釘子間的距離AB=BC=16 cm，則1=_____度。 2. 已知，矩形ABCD的長(zhǎng)AB=4，寬AD=3，按如圖放置在直線AP上，然后不滑動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)它轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)（AA），頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)等于________。,120,6,三、基本練習(xí) (填空題),3.如圖，已知正方形紙片AB

14、CD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，把BC向上翻折，使點(diǎn)C恰好落在MN上的P點(diǎn)處，BQ為折痕，則PBQ=________度。,30,4.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，如果將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上的D處，那么tanBAD等于（ ） (A) 1 (B) (C) (D) 2 5.矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D按照順時(shí)針?lè)较蚺帕?，若在平面直角坐?biāo)系中，B，D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別是（2，0），（0，0），且A，C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是（ ） (A)(1,1)(B) (1,-1) (C) (1,-2) (D) ( ,- ),B,B,,7 已知：如圖所示，矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，使BE=BD,F是DE中點(diǎn)，連接AF、CF.求證：AFCF.,,解：連接BF. BD=BE，F(xiàn)是DE中點(diǎn) BFDE 1+3=90 四邊形ABCD是矩形 AD=BC,ADC=BCD=90 F是DE中點(diǎn) FC=FD 4=5 ADF=BCF ADFBCF(SAS),【分析】 由F是等腰BED底邊中點(diǎn)，如連接BF， 則BFDE，即1+3=90，則只要再證1=2， 想到三角形全等.,,