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1、
（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第4課時(shí) 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 課時(shí)闖關(guān)（含解析）
[A級(jí) 雙基鞏固]
一、填空題
1．(2011·高考遼寧卷改編)i為虛數(shù)單位，則＋＋＋＝________.
解析：原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.
答案：0
2．若(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝________.
解析：由已知得：1＋xi＝y(tǒng)＋2i，∴x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i.
答案：2＋i
3．a(chǎn)是正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，＝2，則a＝________.
解析：＝|1－ai|＝＝2，
∴a＝±，而a是正實(shí)數(shù)，∴a＝.
答案：
4．
2、i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝________.
解析：＝＝＝2－i.
答案：2－i
5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：＝＝，
∵是純虛數(shù)，故，∴a＝－6.
答案：－6
6．(2011·高考大綱全國(guó)卷改編)復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z·－z－1＝________.
解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
答案：－i
7．若復(fù)數(shù)(b∈R)在復(fù)平面上的點(diǎn)在直線x＋y＝0上，則b＝________.
解析：＝＝
＝
＝－i，
故此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
據(jù)題意：－＝0，∴b＝－.
答案：－
8．
3、(2012·揚(yáng)州質(zhì)檢)給出下列四個(gè)命題：
①若z∈C，|z|2＝z2，則z∈R；②若z∈C，＝－z，則z是純虛數(shù)；③z∈C，|z|2＝zi，則z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，則z1z2＝0.
其中真命題的個(gè)數(shù)為________．
解析：①是真命題，|z|2＝z·，所以z·＝z2，所以z＝0或z＝，故z∈R；②是假命題，假如z＝0時(shí)不成立；③是假命題，因?yàn)閨z|2＝z·＝zi，所以z(－i)＝0，故z＝0或z＝－i；④是假命題，假如z1＝1，z2＝i時(shí)z1z2≠0，但|z1＋z2|＝|z1－z2|.
答案：1
二、解答題
9．計(jì)算：(1)；(2).
4、
解：(1)法一：＝＝＝i.
法二：＝＝＝＝i.
(2)原式＝
＝＝
＝＝＝－1＋i.
10．求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z.
(1)z＋是實(shí)數(shù)，且1＜z＋≤6；
(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．
解：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈Z)．由z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.
由z＋∈R，得y－＝0.解得y＝0或x2＋y2＝10.
當(dāng)y＝0時(shí)，z＋＝x＋.由基本不等式可知：x＋≥2或x＋≤－2.
與已知1＜z＋≤6矛盾，故y≠0.
當(dāng)x2＋y2＝10時(shí)，z＋＝2x.
由1＜z＋≤6，得＜x≤3.
因?yàn)閤，y∈Z，所以或
所以z＝1±3i或z＝3±i.
[B級(jí) 能力提升
5、]
一、填空題
1．(2012·南通市、泰州市高三調(diào)研)已知集合A＝{2,7，－4m＋(m＋2)i}(其中i為虛數(shù)單位，m∈R)，B＝{8,3}，且A∩B≠?，則m的值為________．
解析：∵A∩B≠?，∴－4m＋(m＋2)i＝8或－4m＋(m＋2)i＝3，解得m＝－2.
答案：－2
2．若z2＝8＋6i，則z3－16z＋的值為________．
解析：z3－16z＋＝＝＝＝0.
答案：0
3．已知關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有實(shí)根，則純虛數(shù)m的值是________．
解析：方程有實(shí)根，不妨設(shè)其一個(gè)根為x0，設(shè)m＝ai，(a∈R且a≠0)
代入
6、，得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，
化簡(jiǎn)，得(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0.
由性質(zhì)可得解得a＝，∴m＝i.
答案：i
4．對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，以下四個(gè)命題都成立：
①a＋≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a2＝ab，則a＝b.那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是________．
解析：取a＝i，則a＋＝i＋＝0，可得命題①對(duì)非零復(fù)數(shù)不成立；
命題②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2為所有數(shù)均成立的恒等式，故命題②對(duì)非零復(fù)數(shù)也成立；
取a＝1，b＝i，可得|a|＝|b|，但a≠±b，∴命題③對(duì)非零復(fù)
7、數(shù)不成立；
若a2＝ab，則a(a－b)＝0，由于a，b為非零復(fù)數(shù)，∴a－b＝0，即a＝b，∴命題④對(duì)非零復(fù)數(shù)也成立．
綜上可得對(duì)非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是②④.
答案：②④
二、解答題
5．已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由題意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由題意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根據(jù)條
8、件，可知，解得2＜a＜6，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)．
6．設(shè)z是虛數(shù)，w＝z＋是實(shí)數(shù)，且－1＜w＜2.
(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
(2)設(shè)u＝，求證：u為純虛數(shù)；
(3)求w－u2的最小值．
解：(1)設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，
則w＝a＋bi＋＝＋i，
∵w是實(shí)數(shù)，b≠0，
∴a2＋b2＝1，即|z|＝1.
于是w＝2a，－1＜2a＜2，－＜a＜1，
∴z的實(shí)部的取值范圍是.
(2)證明：u＝＝＝＝－i.
∵a∈，b≠0，
∴u為純虛數(shù)．
(3)w－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2－3.
∵a∈，∴a＋1＞0，故w－u2≥2·2 －3＝4－3＝1.當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)，w－u2取得最小值1.
（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第4課時(shí) 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)（含解析）
