（江蘇專用）2013年高考數學總復習 第四章第2課時 平面向量基本定理與坐標運算課時闖關（含解析）

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1、 （江蘇專用）2013年高考數學總復習 第四章第2課時 平面向量基本定理與坐標運算 課時闖關（含解析） [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．(2012·徐州質檢)在平行四邊形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，則＝________，＝________. 解析：＝＝－＝(1,2)， ＝＋＝(－1，－3)＋(1,2)＝(0，－1)． 答案：(1,2)　(0，－1) 2．在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點的坐標為________． 解析：平行四邊形ABCD中，＋＝＋. ∴＝＋－

2、＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)， 即D點坐標為(0，－2)． 答案：(0，－2) 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，設u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，則實數k的值為________． 解析：∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－. 答案：－ 4．已知兩點A(4,1)，B(7，－3)，則與同向的單位向量是________． 解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，＝(3，－4)，∴與同向的單位向量為＝(3，－4)＝. 答案： 5．已知A(1，－2)，B

3、(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，以、為一組基底表示＋＋為________． 解析：＝(2－1,1＋2)＝(1,3)，＝(3－1,2＋2)＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)， ∴＋＋＝(－3－4－5,5＋2＋1)＝(－12,8)． 令(－12,8)＝m＋n，則有m(1,3)＋n(2,4)＝(－12,8)，即(m＋2n,3m＋4n)＝(－12,8)． 比較兩向量的坐標，得解之得m＝32，n＝－22， ∴＋＋＝32－22. 答案：32－22 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥

4、n，則cosA的值等于________． 解析：∵m∥n，∴(b－c)cosA＝acosC， ∴(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，易知sinB≠0，∴cosA＝. 答案： 7．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)與q＝(b－a，c－a)是共線向量，則角C＝________. 解析：∵p∥q， ∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， ∴a2＋b2－c2＝ab. ∴cosC＝＝. ∴C＝60°. 答案：60° 8．設兩個向量a＝(λ＋

5、2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α為實數，若a＝2b，則的取值范圍是________． 解析：由題意知λ＋2＝2m，① λ2－cos2α＝m＋2sinα，② 由①得＝2－， 由①②得 4m2－9m＝2sinα＋cos2α－4＝－sin2α＋2sinα－3. ∴－6≤4m2－9m≤－2， ∴≤m≤2， ∴＝2－∈[－6,1]． 答案：[－6,1] 二、解答題 9．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t.試問： (1)t為何值時，P在x軸上？在y軸上？P在第二象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若

6、不能，請說明理由． 解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴＝(1,2)，＝(3,3)，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t＝－； 若P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－； 若P在第二象限，則解得－＜t＜－. (2)∵＝(1,2)，＝＋＝(3－3t,3－3t)， 若四邊形OABP為平行四邊形，則＝， 而，無解， ∴四邊形OABP不能成為平行四邊形． 10．如圖所示，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點P的坐標． 解：法一：設＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，則 ＝－＝(4t,4t)－(4

7、,0)＝(4t－4,4t)，＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由，共線的充要條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝. ∴＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P點坐標為(3,3)． 法二：設P(x，y)，則＝(x，y)，＝(4,4)． ∵，共線， ∴4x－4y＝0.① 又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共線． ∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3， ∴點P的坐標為(3,3)． [B級　能力提升] 一、填空題 1．設＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A、B、

8、C三點共線，則＋的最小值是________． 解析：kAB＝，kAC＝， ∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC，即＝. ∴2a＋b＝1. ∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8. ∴＋的最小值是8. 答案：8 2．若對n個向量a1，a2，…，an存在n個不全為0的實數k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，則稱向量a1，a2，…，an為“線性相關”，依此規(guī)定，能說明a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)“線性相關”的實數k1，k2，k3依次可取________(寫出一組數值即可，不必考慮所有情況)． 解析：由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，

9、 得 ∴k1∶k2∶k3＝－4∶2∶1. 只寫一組即可，則可取值為－4,2,1(或4，－2，－1)． 答案：－4,2,1(或4，－2，－1) 3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，則M∩N等于________． 解析：M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)}＝{(1＋3λ1,2＋4λ1)} N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)}＝{(－2＋4λ2，－2＋5λ2)} 由題意得： ， 解之得：， ∴公共元素為(1＋3×(－1)，2＋4×(－1))， 即(－2，－2) ∴M∩

10、N＝{(－2，－2)}． 答案：{(－2，－2)} 4．(2012·南通質檢) 如圖，正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(包括邊界)的動點．設＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 解析：當P與C重合時，＝2＋，此時α＋β＝3； 當P在直線EC上時，因E，P，C共線， 所以α＋β＝3； 當P與D重合時，＝2＋2，α＋β＝4. 故α＋β的范圍是[3,4]． 答案：[3,4] 二、解答題 5．如圖所示，直線x＝2與雙曲線F：－y2＝1的漸近線交于E1、E2兩點．記1＝e1，2＝e2，任取雙曲線F上的點P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，求a2

11、＋b2的最小值． 解：由已知得，E1(2,1)，E2(2，－1)， e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)， ∴＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)． ∵P在雙曲線上， ∴－(a－b)2＝1,2ab－(－2ab)＝1，ab＝. ∴a2＋b2≥2ab＝， 當且僅當a＝b時等號成立． ∴a2＋b2最小值為. 6．已知向量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對應關系記作v＝f(u)． (1)求證：對于任意向量a，b及常數m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)； (2)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐標表示f(a)和f(b)； (3)求使f(

12、c)＝(p，q)(p，q為常數)的向量c的坐標． 解：(1)證明：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則ma＋nb＝(mx1＋nx2，my1＋ny2)， ∴f(ma＋nb)＝(my1＋ny2,2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))． 而mf(a)＋nf(b)＝m(y1,2y1－x1)＋n(y2,2y2－x2)＝(my1,2my1－mx1)＋(ny2,2ny2－nx2)＝(my1＋ny2，(2my1－mx1)＋(2ny2－nx2))＝(my1＋ny2,2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))． ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)． (2)f(a)＝(1,2－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,0－1)＝(0，－1)． (3)設c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)， 令 解得 ∴c＝(2p－q，p)．