（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第4課時 數(shù)列通項與求和課時闖關(guān)（含解析）

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1、 （江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第4課時 數(shù)列通項與求和 課時闖關(guān)（含解析） [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．?dāng)?shù)列1，，，…，的前n項和為________． 解析：∵＝＝2(－)， ∴1＋＋＋…＋ ＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝. 答案： 2．?dāng)?shù)列1，2，3，4，…的前n項和為________． 解析：∵an＝n＋， ∴Sn＝1＋2＋…＋n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋…＋)， ∴Sn＝＋ ＝n(n＋1)＋1－＝(n2＋n＋2)－. 答案：(n2＋n＋2)－ 3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1－5＋9－13＋17

2、－21＋…＋(－1)n－1(4n－3). 則S15＋S22－S31的值為________． 解析：S15＝(－4)×7＋a15＝－28＋57＝29， S22＝11×(－4)＝－44， S31＝15×(－4)＋a31＝－60＋121＝61， ∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76. 答案：－76 4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21＝________. 解析：依題意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，則an＋2＝an，即數(shù)列{an}中的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別相等，則a21＝a1＝1.S21＝(a1＋a2)＋

3、(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6. 答案：6 5．(2012·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，則Sn＝________. 解析：由已知得an＋1＝Sn＝an＋Sn－1，且n≥2時有：an＝Sn－1，兩式聯(lián)立得Sn＝2Sn－1.∴{Sn}是以2為公比，S1＝1為首項的等比數(shù)列，∴Sn＝2n－1. 答案：2n－1 6．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n2cos nπ，Sn為它的前n項和，則＝________. 解析：注意到cosnπ＝(－1)n(n∈N*)，an＝(－1)nn2

4、，因此S2010＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－20092＋20102)＝1＋2＋3＋4＋…＋2009＋2010＝＝1005×2011.∴＝1005. 答案：1005 7．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，數(shù)列{bn}滿足：bn＝anan＋1，則數(shù)列{bn}的前10項和S10＝________. 解析：由題可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得－＝1，則＝1＋(n－1)＝n，所以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝1－＝. 答案： 8．已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，若a1＝1，a2＝2， anan

5、＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，則a1＋a2＋a3＝________，S2010＝________. 解析：由1×2×a3＝1＋2＋a3，得a3＝3，a1＋a2＋a3＝6.繼續(xù)依據(jù)遞推關(guān)系得到a4＝1，a5＝2，a6＝3，…，故該數(shù)列是周期為3的數(shù)列，S2010＝6×＝4020. 答案：6　4020 二、解答題 9．在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項的和為Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值； (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 解：a16＋a17＋a18＝3a17＝－36?a17

6、＝－12.又a9＝－36， ∴公差d＝＝3. 首項a1＝a9－8d＝－60，∴an＝3n－63. (1)法一：設(shè)前n項的和Sn最小，則 即?n＝20或21. 這表明：當(dāng)n＝20或21時，Sn取最小值，最小值為S20＝S21＝－630. 法二：Sn＝－60n＋×3＝(n2－41n)＝(n－)2－×. ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝20或21時，Sn取最小值(202－41×20)＝－630. (2)由an＝3n－63≤0?n≤21，∴當(dāng)n≤21時，Tn＝－Sn＝(41n－n2)； 當(dāng)n>21時，Tn＝－a1－a2－…－a21＋a22＋…＋an＝Sn－2S21＝(n2－41n)＋1260.

7、 綜上可知，Tn＝. 10．已知數(shù)列{an}{bn}滿足a1＝2，b1＝1且an＝an－1＋bn－1＋1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－1＋bn－1＋1(n≥2，n∈N*)． (1)令cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的通項公式； (2)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和． 解：(1)已知兩式相加得，an＋bn＝an－1＋bn－1＋2，即cn＝cn－1＋2， 故{cn}為等差數(shù)列，其公差為2，首項為a1＋b1＝3. ∴cn＝2n＋1. (2)已知兩式相減得，an－bn＝(an－1－bn－1)， 設(shè)dn＝an－bn，∴dn＝dn－1，故{dn}成等比數(shù)列，其公比為，首項為1，故d

8、n＝. 于是有兩式相加得2an＝＋2n＋1. ∴an＝＋n＋. 設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn，則 Sn＝(＋＋…＋)＋(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋＋＝1－＋＋n. [B級　能力提升] 一、填空題 1．(2012·南京調(diào)研)在數(shù)列{an}中，對任意自然數(shù)n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝________. 解析：設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，a1＝21－1＝1滿足上式． ∴an＝2n－1，∴a＝4n－1， ∴a＋a＋…＋a ＝1＋

9、4＋42＋…＋4n－1 ＝＝(4n－1)． 答案：(4n－1) 2．將奇數(shù)數(shù)列如下分組：1，(3,5)，(7,9,11)，(13,15,17,19)，…，使得第n組中含有n個數(shù)，那么第n組中的n個奇數(shù)的和為________． 解析：∵1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43. 故猜想第n組和為n3， 另外，第n組數(shù)共n個數(shù)，首項為n2－n＋1，公差為2， 所以第n組各數(shù)之和為n3. 答案：n3 3．(2012·徐州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，若對任意的n均有an＋an＋1＋an＋2為定值(n∈N*)，且a7＝2，a9＝3，a98＝

10、4，則此數(shù)列{an}的前100項的和S100＝________. 解析：由題設(shè)得an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3， ∴an＝an＋3， ∴a3k＋1＝2(k∈N)，a3k＋2＝4(k∈N)，a3k＝3(k∈N*)， ∴S100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：299 4．點P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若這三條弦長成等差數(shù)列，則這三條弦長和的最大值是________． 解析：由題意，設(shè)三條弦長分別為a－d，a，a＋d，三條弦長之和為l＝3a，由球的幾何特征及三弦兩兩垂直可知，只有在四點共球且構(gòu)成的對角線為直徑時l最大， 即(a

11、－d)2＋a2＋(a＋d)2＝4， 3a2＋2d2＝4時，∴a＝ . ∴l(xiāng)＝·≤2. 答案：2 二、解答題 5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，n∈N*. (1)求a3，a4并求數(shù)列{an}的通項； (2)設(shè)bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn. 解：(1)∵a1＝1，a2＝2， ∴a3＝(1＋cos2)a1＋sin2＝a1＋1＝2， a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝2a2＝4. 一般地當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時， a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋sin2＝a2k－1＋1， 即a2k＋1－a2k－

12、1＝1，∴{a2k－1}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列． 因此a2k－1＝k. 當(dāng)n＝2k(k∈N*)時，a2k＋2＝(1＋cos2)a2k＋sin2＝2a2k， 因此{(lán)a2k}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴a2k＝2k. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)由(1)知bn＝＝， ∴Sn＝＋＋＋…＋，① 故Sn＝＋＋＋…＋，② ①－②得Sn＝＋＋…＋－＝－＝1－－. ∴Sn＝2－－＝2－. 6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n.數(shù)列{bn}滿足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，b1＋b2＋…＋b9＝153. (1)求數(shù)列

13、{an}，{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求使不等式Tn>對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值； (3)設(shè)f(n)＝，是否存在m∈N*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝6， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n＋5， 而當(dāng)n＝1時，n＋5＝6， ∴an＝n＋5(n∈N*)， 又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn. ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，又b3＝11，b1＋b2＋…＋b9＝153，解得b1＝5，公差d＝3. ∴bn＝3n＋2(n∈N*)． (2)由(1)可得，cn＝＝ ＝(－)， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝[(1－)＋(－)＋……＋(－)]＝， ∵Tn＋1－Tn＝－＝>0， ∴Tn單調(diào)遞增，故{Tn}min＝T1＝， 令>，得k<19，所以kmax＝18. (3)f(n)＝， ①當(dāng)m為奇數(shù)時，m＋15為偶數(shù)， ∴3m＋47＝5m＋25，m＝11. ②當(dāng)m為偶數(shù)時，m＋15為奇數(shù)， ∴m＋20＝15m＋10，m＝?N*(舍去)． 綜上所述，存在惟一正整數(shù)m＝11，使得f(m＋15)＝5f(m)成立．