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（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第8課時 拋物線隨堂檢測（含解析）
1．(2012·三明調(diào)研)在拋物線y＝4x2上求一點，使該點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點的坐標(biāo)是________．
解析：設(shè)與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋b，
當(dāng)直線y＝4x＋b與y＝4x2相切時，
切點到直線y＝4x－5的距離最短．
由，得4x2－4x－b＝0.①
Δ＝16＋16b＝0，∴b＝－1，代入①式得x＝，
y＝4×()2＝1，故切點為(，1)．
答案：(，1)
2．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足|NF|＝|MN
2、|，則∠NMF＝____________.
解析：作NN′⊥l(l為準(zhǔn)線)于N′，
則|NN′|＝|NF|.
又|NF|＝|MN|，
∴|NN′|＝|MN|.
∴∠NMN′＝60°，
∴∠NMF＝30°.
答案：30°
3．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
解：(1) 設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么P(x，y)滿足－x＝1(x＞0)，化簡得y2
3、＝4x(x＞0)．
(2)經(jīng)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
設(shè)直線l的方程為x＝ty＋m，
由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＜0②
又x＝，于是不等式②等價于
·＋y1y2－＋1＜0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0③
由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2④
對于任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對一切t成立等于價于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.
由此可見，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·＜0，且m的取值范圍是(3－2，3＋2)．
（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第8課時 拋物線隨堂檢測（含解析）
