數(shù)字信號處理教學(xué)課件第四章 快速傅立葉變換

《數(shù)字信號處理教學(xué)課件第四章 快速傅立葉變換》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字信號處理教學(xué)課件第四章 快速傅立葉變換（101頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、Fast Fourier Transform 第一節(jié)第一節(jié) 直接計算直接計算DFTDFT的問題及改進(jìn)途徑的問題及改進(jìn)途徑1、問題的提出、問題的提出 設(shè)有限長序列設(shè)有限長序列x(n)，非零值長度為，非零值長度為N，若，若對對x(n)進(jìn)行一次進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算多大的運(yùn)算工作量工作量？計算成本計算成本?計算速度計算速度?2.DFT的運(yùn)算量的運(yùn)算量 回憶回憶DFT和和IDFT的變換式：的變換式：10)(1)()(10 NnWkXNkXIDFTnxNknk10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN1）x(n)為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，也為也為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。2）DFT與與IDFT的

2、計算量相當(dāng)。的計算量相當(dāng)。nkNjnkNeW 2 注意：注意：計算機(jī)運(yùn)算時（編程實(shí)現(xiàn)）：計算機(jī)運(yùn)算時（編程實(shí)現(xiàn)）：0k0)1(0100)1()1()0()0(NNNNWNxWxWxX1k 0111(1)1(1)(0)(1)(1)NNNNXxWxWx NW 2k 0 212(1)2(2)(0)(1)(1)NNNNXxWxWx NW 1Nk0111(1)1(1)(0)(1)(1)NNNNNNNX NxWxWx NW 10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN以以DFT為例：為例：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個一個X(k)NN 1N個個X(k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)N 2N(N 1)實(shí)

3、數(shù)乘法實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘一次復(fù)乘42一次復(fù)加一次復(fù)加2一個一個X(k)4N2N+2(N 1)=2(2N 1)N個個X(k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)4N 22N(2N 1)10()NnkNnx n W運(yùn)算量運(yùn)算量(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)例：計算一個例：計算一個 N點(diǎn)點(diǎn)DFT，共需，共需N2次復(fù)乘次復(fù)乘。以做一次。以做一次 復(fù)乘復(fù)乘1s計，若計，若N=4096，所需時間為，所需時間為ss1716777216)4096(2 例：石油勘探，有例：石油勘探，有24個通道的記錄，每通道波形記個通道的記錄，每通道波形記 錄長度為錄長度為5秒，若每秒抽樣秒，若每秒抽樣5

4、00點(diǎn)點(diǎn)/秒，秒，1）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：500*5=2500點(diǎn)點(diǎn) 2）24道總抽樣點(diǎn)數(shù)：道總抽樣點(diǎn)數(shù)：24*2500=6萬點(diǎn)萬點(diǎn) 3）DFT復(fù)乘運(yùn)算時間：復(fù)乘運(yùn)算時間：N2=(60000)2=36*108次次ss360010*36)60000(82 由于計算量大，且要求由于計算量大，且要求相當(dāng)大的內(nèi)存相當(dāng)大的內(nèi)存，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時處理時處理，限制了，限制了DFT的應(yīng)用。長期以來，人們一直在尋的應(yīng)用。長期以來，人們一直在尋求一種能求一種能提高提高DFT運(yùn)算速度運(yùn)算速度的方法。的方法。FFT便是便是 Cooley&Tukey 在在1965 年提出的的快速年提出的的快速算法，它

5、可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號算法，它可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號處理學(xué)科成為一個新興的應(yīng)用學(xué)科。處理學(xué)科成為一個新興的應(yīng)用學(xué)科。第二節(jié)第二節(jié) 改善改善DFTDFT運(yùn)算效率的基本途徑運(yùn)算效率的基本途徑knNW 1、利用、利用DFT運(yùn)算的系數(shù)運(yùn)算的系數(shù) 的固有對稱性和周期的固有對稱性和周期 性，改善性，改善DFT的運(yùn)算效率。的運(yùn)算效率。1）對稱性）對稱性 2）周期性）周期性 3）可約性）可約性()()nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN mWW2jmnkmNe221NjjNee 0/2(/2)11Nk NkNNNNWWWW

6、 特殊點(diǎn)：nkNW 的特性2jnknkNNWe*()()()nknkN n kn N kNNNNWWWW對稱性NknkNNWWnNnkNNWW2、將長序列、將長序列DFT利用對稱性和周期性分解為短利用對稱性和周期性分解為短 序列序列DFT的思路的思路 因?yàn)橐驗(yàn)镈FT的運(yùn)算量與的運(yùn)算量與N2成正比的，如果一個成正比的，如果一個大大點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)N的的DFT能分解為能分解為若干小點(diǎn)數(shù)若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合的組合，則，則顯然可以達(dá)到顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量減少運(yùn)算工作量的效果。的效果。N點(diǎn)點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFT.復(fù)乘：復(fù)乘

7、：2N2222 NN22N22224444 NNNN42N FFT算法的基本思想：算法的基本思想：利用利用DFT系數(shù)的特性，合并系數(shù)的特性，合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)運(yùn)算中的某些項(xiàng) 把長序列把長序列DFT短序列短序列DFT，從而減少運(yùn)算量。，從而減少運(yùn)算量。FFT算法分類算法分類:時間抽選法時間抽選法 DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法頻率抽選法 DIF:Decimation-In-Frequency第三節(jié)第三節(jié) 按時間抽選的基按時間抽選的基2-FFT算法算法1、算法原理、算法原理 設(shè)輸入序列長度為設(shè)輸入序列長度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列為正整數(shù)，將該序列按時間順序的奇

8、偶分解按時間順序的奇偶分解為越來越短的子序列，稱為為越來越短的子序列，稱為基基2按時間抽取的按時間抽取的FFT算法。也稱為算法。也稱為Coolkey-Tukey算法。算法。其中其中基基2表示：表示：N=2M，M為整數(shù)為整數(shù).若不滿足這個若不滿足這個條件，可以人為地加上若干零值（條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長加零補(bǔ)長）使其）使其達(dá)到達(dá)到 N=2M。先將先將x(n)按按n的奇偶分為兩組，作變量置換的奇偶分為兩組，作變量置換:當(dāng)當(dāng)n=偶數(shù)時，令偶數(shù)時，令n=2r;當(dāng)當(dāng)n=奇數(shù)時，令奇數(shù)時，令n=2r+1;分組，變量置換分組，變量置換2、算法步驟、算法步驟10)()()(10 NkWnxnxD

9、FTkXNnnkN得到：得到：1,.,0)()12()()2(221 Nrrxrxrxrx 帶入帶入DFT中中 10)()()(NnnkNWnxnxDFTkX 12/0)12(12/02)12()2(NrkrNNrrkNWrxWrx 1010)()(NnnkNNnnkNnnWnxWnx為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù) 12/02212/021)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx所以所以 12/02212/021)()()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrxkX由于由于nNnNjnNjnNWeeW2/2/2222 12/02/212/02/1)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx)

10、()(21kXWkXkN 1,1,02 Nk1,1,0 Nk?1,1,02 Nk X1(k)、X2(k)只有只有N/2個點(diǎn)，以個點(diǎn)，以N/2為周期；而為周期；而X(k)卻有卻有N個點(diǎn)，以個點(diǎn)，以N為周期。要用為周期。要用X1(k)、X2(k)表達(dá)全部的表達(dá)全部的X(k)值，還必須利用值，還必須利用WN系數(shù)的系數(shù)的周期特性周期特性。rkNkNrNWW2/)2/(2/12/02/112/0)2/(2/11)()()2/(NrrkNNrkNrNWrxWrxkNX )()2/()()2/(2211kXkNXkXkNX后半部分后半部分前半部分前半部分又考慮到又考慮到 的對稱性：的對稱性：kNWkNkNN

11、NkNNWWWW 2/)2/()2/()2/()2/(2)2/(1kNXWkNXkNXkNN 有：有：1,1,0)()()(221 NkNkkXWkXkX1,1,0)()(221 NkNkkXWkX后半部分后半部分前半部分前半部分)()()2/(21kXWkXkNXkN )()()(21kXWkXkXkN 1,1,02 Nk)(1kX)(2kXkNW)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkN 蝶形運(yùn)算流圖符號蝶形運(yùn)算流圖符號說明：說明：(1)左邊兩路為輸入左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出右邊兩路為輸出(3)中間以一個小圓表示加、中間以一個小圓表示加、減運(yùn)算（右上路為相加減運(yùn)算（右上

12、路為相加 輸出、右下路為相減輸輸出、右下路為相減輸 出出)1個蝶形運(yùn)算需要個蝶形運(yùn)算需要1次復(fù)乘，次復(fù)乘，2次復(fù)加次復(fù)加復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個一個N 點(diǎn)點(diǎn)DFTN 2N(N1)一個一個N/2點(diǎn)點(diǎn)DFT(N/2)2N/2(N/2 1)兩個兩個N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN 2/2N(N/2 1)一個蝶形一個蝶形12N/2個蝶形個蝶形N/2N總計總計N2/2+N/2 N2/2N(N/2-1)+N N2/2運(yùn)算量減少了近一半運(yùn)算量減少了近一半 分解后的運(yùn)算量：分解后的運(yùn)算量：)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 12/,0 Nk先將先將N=8點(diǎn)的點(diǎn)的DFT分解

13、成分解成2個個4點(diǎn)點(diǎn)DFT：可知：可知：時域上：時域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列為偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列為奇子序列 頻域上：頻域上：X(0)X(3)，由，由X(k)給出給出 X(4)X(7)，由，由X(k+N/2)給出給出例子：求例子：求 N=23=8點(diǎn)點(diǎn)FFT變換變換 按按N=8N/2=4，做，做4點(diǎn)的點(diǎn)的DFT：N=8點(diǎn)的直接點(diǎn)的直接DFT的計算量為：的計算量為：復(fù)乘：復(fù)乘：N2次次=64次次 復(fù)加：復(fù)加：N(N-1)次次=87=56次次)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 12/,0 Nk

14、此外，還有此外，還有4個蝶形結(jié)，每個蝶形結(jié)需要個蝶形結(jié)，每個蝶形結(jié)需要1次復(fù)乘，次復(fù)乘，2次復(fù)加。次復(fù)加。一共是：復(fù)乘一共是：復(fù)乘4次，復(fù)加次，復(fù)加8次。次。得到得到X1(k)和和X2(k)需要：需要：復(fù)乘：復(fù)乘：(N/2)2+(N/2)2次次=32次次 復(fù)加：復(fù)加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1)=12+12=24次次用分解的方法得到用分解的方法得到X(k)需要：需要：復(fù)乘：復(fù)乘：32+4=36次次 復(fù)加：復(fù)加：24+8=32次次N點(diǎn)點(diǎn)DFT的一次時域抽取分解圖的一次時域抽取分解圖(N=8)4點(diǎn)點(diǎn)DFT4點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1

15、(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)38W28W18W08W 奇奇序序列列、偶偶序序列列、)6()2()4()0(:)(1xxxxrx 奇奇序序列列、偶偶序序列列、同同理理：)7()3()5()1(:)(2xxxxrx因?yàn)橐驗(yàn)?點(diǎn)點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。若將若將N/2(4點(diǎn)點(diǎn))子序列按奇子序列按奇/偶分解成兩個偶分解成兩個N/4點(diǎn)點(diǎn)(2點(diǎn)點(diǎn))子子序列。即對將序列。即對將x1(r)和和x2(r)分解成奇、偶兩個分解成奇、偶兩個N/4點(diǎn)點(diǎn)(2點(diǎn)點(diǎn))點(diǎn)的

16、子序列。點(diǎn)的子序列。1,0)1.0()()12()()2(44131 lllxlxlxlxN此此處處，奇奇序序列列偶偶序序列列設(shè)設(shè)：1,0)1.0()()12()()2(46252 lllxlxlxlxN此此處處，奇奇序序列列偶偶序序列列設(shè)設(shè)：那么，那么，X1(k)又可表示為又可表示為 14/0)12(2/114/022/11)12()2()(NlklNNllkNWlxWlxkX 14/04/42/14/04/3)()(NllkNkNNllkNWlxWWlx)()(42/3kXWkXKN 1,.1,0)()()()()()(442/34142/31 NkNNkNkkXWkXkXkXWkXkX

17、14/0)12(2/214/022/22)21()2()(NlklNNllkNWlxWlxkX 14/04/62/14/04/5)()(NllkNkNNllkNWlxWWlx1,.1,0)()()()()()(462/54262/52 NkNNkNkkXWkXkXkXWkXkXX2(k)也可以進(jìn)行相同的分解：也可以進(jìn)行相同的分解：注意：通常我們會把注意：通常我們會把 寫成寫成 。kNW2/kNW2)()(62/5kXWkXKN N點(diǎn)點(diǎn)DFT的第二次時域抽取分解圖的第二次時域抽取分解圖(N=8)2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3

18、)x(7)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)08W28W08W28WX1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)38W28W18W08WX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)4點(diǎn)點(diǎn)DFT4點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)38W28W18W08W)1()0()()()(32314/04/333xWxWlxl

19、xDFTkXkNlklN )1()0()1()0()1()1()0()0(30233123330233xWxxWxXxWxX 8808WX3(0)X3(1)x(0)=x3(0)x(4)=x3(1)N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖運(yùn)算流圖(N=8)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)0NW0NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW2NW1NW3NW3、DITFFT算法與直接計算算法與直接計算DFT運(yùn)算量的比較運(yùn)算量的比較22log2NNN 1)、N=2M的的DFT運(yùn)算可分成運(yùn)算可分成M級，每一級有級，每一

20、級有N/2個蝶形個蝶形 ，每個蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。，每個蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。NN2log2NN2log2)、所以、所以M級共有級共有 次復(fù)乘和次復(fù)乘和 次復(fù)加。次復(fù)加。3)、若直接計算、若直接計算DFT，需，需N2次復(fù)乘和次復(fù)乘和N(N-1)次復(fù)加。次復(fù)加。顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)N較大時，有：較大時，有：例如，例如，N=210=1024時時221048576204.8(/2)log5120NNNFFT算法與直接計算算法與直接計算DFT所需乘法次數(shù)的比較曲線所需乘法次數(shù)的比較曲線4、DITFFT的運(yùn)算規(guī)律及編程思想的運(yùn)算規(guī)律及編程思想 FFT的每級（列）計算都是由的每級（列）計算都是由N個復(fù)數(shù)

21、數(shù)據(jù)（輸入）兩個復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸入）兩兩構(gòu)成一個蝶型（共兩構(gòu)成一個蝶型（共N/2個蝶形）運(yùn)算而得到另外個蝶形）運(yùn)算而得到另外N個復(fù)數(shù)個復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸出）。數(shù)據(jù)（輸出）。當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存仍然存放在這同一組存儲器中放在這同一組存儲器中直到最后輸出。直到最后輸出。例：將例：將x(0)放在單元放在單元A(0)中，將中，將x(4)放在單元放在單元A(1)中，中，W80 放在一個暫存器中。放在一個暫存器中。將將x(0)+W80 x(4)送回送回A(0)單元單元將將x(0)-W80 x(4)送回送回A(1)單元單元08WX3(0)X3(1)

22、x(0)x(4)1）原位運(yùn)算原位運(yùn)算 (亦稱同址計算亦稱同址計算)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)0NW0NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW2NW1NW3NW回顧：回顧：N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖運(yùn)算流圖(N=8)如上所述，如上所述，N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖中，每級都有運(yùn)算流圖中，每級都有N/2個蝶形。每個蝶形都要乘以因子個蝶形。每個蝶形都要乘以因子WNP，稱其為，稱其為旋旋轉(zhuǎn)因子轉(zhuǎn)因子，p稱為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。稱為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。2)旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律 觀察觀察FFT

23、運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第L級共有級共有2L-1個不同的個不同的旋轉(zhuǎn)因子。旋轉(zhuǎn)因子。N=23=8時的各級旋轉(zhuǎn)因子表示如下：時的各級旋轉(zhuǎn)因子表示如下：L=1時，時，WNp=WN/4J，N/4=21=2L，J=0L=2時，時，WNp=WN/2J，N/2=22=2L，J=0，1L=3時，時，WNp=WNJ，N =23=2L，J=0，1，2，3對對N=2M的一般情況，第的一般情況，第L級的旋轉(zhuǎn)因子為：級的旋轉(zhuǎn)因子為：12,.,1,012 LJPNJWWLMLMLMLN 222212,.,1,0122 LJNJNPNJWWWLMMLLMJp 2 設(shè)序列設(shè)序列x(n)經(jīng)時域抽選經(jīng)時域抽選(倒序倒序)

24、后，存入數(shù)組后，存入數(shù)組X中。中。如果蝶形運(yùn)算的兩個輸入數(shù)據(jù)相距如果蝶形運(yùn)算的兩個輸入數(shù)據(jù)相距B個點(diǎn)，應(yīng)用原位個點(diǎn)，應(yīng)用原位計算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：計算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：pNLLLpNLLLWBJXJXBJXWBJXJXJX)()()()()()(1111 MJpLLM,.,2,1L12,.,1,0J21 ，式式中中：下標(biāo)下標(biāo)L表示第表示第L級運(yùn)算，級運(yùn)算，XL(J)則表示第則表示第L級運(yùn)算級運(yùn)算后數(shù)組元素后數(shù)組元素X(J)的值。的值。3)編程思想及流程圖編程思想及流程圖開始開始送入送入x(n)和和N=2M調(diào)整輸入調(diào)整輸入x(n)的順序的順序for(L=1;L=M;L+)

25、B=2L-1for(J=0;J=B-1;J+)p=J2M-Lfor(k=J;k=N-1;k=k+2L)pNpNWBkXkXBkXWBkXkXkX)()()()()()(輸出結(jié)果輸出結(jié)果結(jié)束結(jié)束4）碼位倒序）碼位倒序 由由N=8蝶形圖看出：原位計算時，蝶形圖看出：原位計算時，F(xiàn)FT輸出的輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即的次序正好是順序排列的，即X(0)X(7),但輸?shù)斎肴離(n)都不能按自然順序存入到存儲單元中，而是都不能按自然順序存入到存儲單元中，而是按按x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)的順序存入的順序存入存儲單元，即為亂序輸入，順序輸出

26、。存儲單元，即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來相當(dāng)雜亂，然而它是這種順序看起來相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律有規(guī)律的。的。即即碼位倒讀規(guī)則碼位倒讀規(guī)則。自然順序自然順序n二進(jìn)制碼表示二進(jìn)制碼表示碼位倒讀碼位倒讀碼位倒置順序碼位倒置順序n以以N=8為例：為例：0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537看出：看出：碼位倒讀后碼位倒讀后的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計算機(jī)內(nèi)的順序。的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計算機(jī)內(nèi)的順序。x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)

27、A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)倒序規(guī)律倒序規(guī)律正序序列已在數(shù)組正序序列已在數(shù)組A 中，輸中，輸 入入 NLH=N/2 ,J=LH ,N1=N-2J=J-kk=k/2 k=LHJkJ=J+k T=A(I)A(I)=A(J)A(J)=Tfor(i=1;i1：螺線內(nèi)縮：螺線內(nèi)縮 W01：螺線外伸螺線外伸當(dāng)當(dāng)W0=1，則表示半徑為，則表示半徑為A0的一段圓弧的一段圓弧若又有若又有A0=1，則表示單位圓上的一段圓弧，則表示單位圓上的一段圓弧若又有若又有 ，M=N，即為序列的，即為序列的DFT

28、。000,2/N求抽樣點(diǎn)處的求抽樣點(diǎn)處的z變換：變換：1100()()()NNnnnkkknnX zx n zx n A W0,1,.,1kM222 1/2()nknkkn由222()12220()()nk nkNnknX zx n A WWW得 222()12220()knk nNnnWx n A WWNM次復(fù)乘次復(fù)乘 (N-1)M次復(fù)加次復(fù)加22()()nng nx n A W令 22()nh nW0,1,.,1nN221220()()()()*()kkNknX zWg n h knWg kh k則 0,1,.,1kM222()12220()knk nNnknX zWx n A WW2 2

29、、CZTCZT的實(shí)現(xiàn)步驟及運(yùn)算量的估算的實(shí)現(xiàn)步驟及運(yùn)算量的估算 22()()nng nx n A W其中 22()nh nW0,1,.,1nN222()12220()knk nNnknX zWx n A WW0,1,.,1kM():0 1g nN():(1)(1)h nNM1NM 點(diǎn)()*():22h ng nNM()0 1kX zkM12mLNML 且22()01()01nnA Wx nnNg nNnL210()()()LjrnLnG rFFT g ng n e01rL1LNM2mL 1)選擇選擇 ，且，且2)形成形成L點(diǎn)序列點(diǎn)序列g(shù)(n)：(3N)求其求其L點(diǎn)點(diǎn)FFT：(L/2*log2L

30、)2/2nnnCA W系數(shù) 22(1)(1)/2/21/211()nnnnnnnnCAWA WW WAC D1/2111/211nnnnDW WAW WWAWD1/21001DWAC3）形成）形成L點(diǎn)序列點(diǎn)序列h(n):222()201()011nL nWnMh nMnLNWLNnL 210()()()LjrnLnH rFFT h nh n e01rL求其求其L點(diǎn)點(diǎn)FFT:(L/2*log2L)(2N)4）求乘積）求乘積()()()Q rH rG r2101()()()()LjrnLnq kIFFT Q rH r G r eL()()()Mq kq k Rk取 22()()kkX zWq k01kM(M)(L)5）求）求L點(diǎn)點(diǎn)IFFT的的 q(k)(L/2*log2L)6）求得抽樣點(diǎn)的）求得抽樣點(diǎn)的z變換變換:23log52FmLLNLM3、CZT算法的優(yōu)點(diǎn)算法的優(yōu)點(diǎn)1)N，M可為任意數(shù)，可不等可為任意數(shù)，可不等21jNAMNWe5)當(dāng)當(dāng) ，時，時，CZT=DFT，解決了解決了N為素數(shù)的快速算法問題為素數(shù)的快速算法問題4)z0任意，從任意頻率開始，便于窄帶高分辨率分析任意，從任意頻率開始，便于窄帶高分辨率分析3)周線可以是螺線，而不一定是圓弧周線可以是螺線，而不一定是圓弧02)任意，易調(diào)整頻率分辨率任意，易調(diào)整頻率分辨率