2023屆大一輪復習 第31練 拋物線含解析

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1、2023屆大一輪復習 第31練 拋物線 一、選擇題（共25小題） 1. 方程 x2+xy=∣x∣ 所表示的曲線關(guān)于 ?? A. x 軸對稱 B. y 軸對稱 C. 原點對稱 D. y=x 直線對稱 2. 拋物線 x2=my 上的點到定點 0,4 和定直線 y=?4 的距離相等，則 m 的值等于 ?? A. 116 B. ?116 C. 16 D. ?16 3. 已知拋物線的準線方程為 x=?7，則拋物線的標準方程為 ?? A. x2=?28y B. y2=28x C. y2=?28x D. x2=28y 4. 若拋物線 y2=8x 上一點

2、P 到其焦點的距離為 9，則點 P 的坐標為 ?? A. 7,±14 B. 14,±14 C. 7,±214 D. ?7,±214 5. 拋物線 y=ax2a≠0 的準線方程是 y?2=0，則 a 的值是 ?? A. 18 B. ?18 C. 8 D. ?8 6. 若雙曲線 x23?16y2p2=1 的左焦點在拋物線 y2=2px 的準線上，則 p 的值為 ?? A. 2 B. 3 C. 4 D. 42 7. 若拋物線 y2=2px 的焦點與橢圓 x26+y22=1 的右焦點重合，則 p 的值為 ?? A. ?4 B. 4 C. ?2 D. 2

3、 8. 過拋物線 y2=4x 的焦點 F 的直線交拋物線于 A，B 兩點，點 O 是坐標原點，若 AF=5，則 △AOB 的面積為 ?? A. 5 B. 52 C. 32 D. 178 9. 已知點 Q?22,0 及拋物線 x2=?4y 上一動點 Px,y，則 y+PQ 的最小值是 ?? A. 12 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如圖，過拋物線 y2=2px（p>0）的焦點 F 的直線交拋物線于點 A，B，交其準線 l 于點 C．若 ∣BC∣=2∣BF∣，且 ∣AF∣=3，則此拋物線的方程為 ?? A. y2=9x B. y2=6x C

4、. y2=3x D. y2=x 11. 已知點 F 是拋物線 x2=4y 的焦點，點 P 為拋物線上的任意一點，M1,2，則 PM+PF 的最小值為 ?? A. 3 B. 2 C. 4 D. 23 12. 過拋物線 y2=4x 的焦點作直線交拋物線于 Ax1,y1 Bx2,y2 兩點，如果 x1+x2=6，那么 ∣AB∣= ?? A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 13. 設點 A 的坐標為 1,15，點 P 在拋物線 y2=8x 上移動，P 到直線 x=?1 的距離為 d，則 d+∣PA∣ 的最小值為 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D

5、. 4 14. 已知雙曲線 x29?y227=1 的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，且 F2 為拋物線 y2=2px 的焦點，設 P 為兩曲線的一個公共點，則 △PF1F2 的面積為 ?? A. 18 B. 183 C. 36 D. 366 15. 若點 P 到點 F0,2 的距離比它到直線 y+4=0 的距離小 2，則 P 的軌跡方程為 ?? A. y2=8x B. y2=?8x C. x2=8y D. x2=?8y 16. 已知拋物線 y2=4x 上點 B（在第一象限）到焦點 F 距離為 5，則點 B 坐標為 ?? A. 1,1 B. 2,3 C.

6、4,4 D. 4,3 17. 已知拋物線 C：y2=8x 的焦點為 F，P 是拋物線 C 的準線上的一點，且 P 的縱坐標為正數(shù)，Q 是直線 PF 與拋物線 C 的一個交點．若 ∣PQ∣=2∣QF∣，則直線 PF 的方程為 ?? A. x?y?2=0 B. x+y?2=0 C. x?y+2=0 D. x+y+2=0 18. 過拋物線 y2=4x 的焦點 F 的直線交拋物線于 A，B 兩點，點 O 是坐標原點，則 ∣AF∣?∣BF∣ 的最小值是 ?? A. 2 B. 2 C. 4 D. 22 19. 已知雙曲線 x22?y2b2=1b>0 的右焦點到其一條漸

7、近線的距離等于 2，拋物線 y2=2pxp>0 的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點 M 到直線 l1:4x?3y+8=0 和 l2:x=?3 的距離之和的最小值為 ?? A. 115 B. 145 C. 165 D. 215 20. 斜率為 1 的直線經(jīng)過拋物線 y2=4x 的焦點，且與拋物線相交于 A，B 兩點，則 AB = ?? A. 8 B. 6 C. 12 D. 73 21. 定長為 3 的線段 AB 的兩個端點在拋物線 y2=2x 上移動，M 為線段 AB 的中點，則 M 點到 y 軸的最短距離為 ?? A. 12 B. 1 C. 32 D.

8、 2 22. 拋物線 y2=2px 與直線 2x+y+a=0 交于 A，B 兩點，其中點 A 的坐標為 1,2，設拋物線的焦點為 F，則 ∣FA∣+∣FB∣ 的值等于 ?? A. 7 B. 35 C. 6 D. 5 23. 給定下列關(guān)于異面直線的命題： 命題（1）：若平面 α 上的直線 a 與平面 β 上的直線 b 為異面直線，直線 c 是 α 與 β 的交線，那么 c 至多與 a，b 中的一條相交； 命題（2）：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線． 那么 ?? A. 命題（1）正確，命題（2）不正確 B. 命題（2）正確，命題（1）

9、不正確 C. 兩個命題都正確 D. 兩個命題都不正確 24. 已知 A0,1 和直線 l:x=?5，拋物線 y2=4x 上動點 P 到 l 的距離為 d，則 ∣PA∣+d 的最小值是 ?? A. 6 B. 5+2 C. 4+2 D. 42 25. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）與拋物線 y2=4cx（其中 c=a2+b2）交于 A，B 兩點，若 ∣AB∣=4c，則雙曲線的離心率為 ?? A. 3 B. 2 C. 5 D. 2+1 二、選擇題（共4小題） 26. 下面四個關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中真命題為 ?? A. 設

10、A，B 為兩個定點，K 為非零常數(shù)，若 ∣PA∣?∣PB∣=K，則動點 P 的軌跡是雙曲線 B. 方程 2x2?5x+2=0 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率 C. 雙曲線 x227?y29=1 與橢圓 x235+y2=1 有相同的焦點 D. 已知拋物線 y2=2pxp>0，以過焦點的一條弦 AB 為直徑作圓，則此圓與準線相切 27. 已知曲線 C:mx2+ny2=1．?? A. 若 m>n>0，則 C 是橢圓，其焦點在 y 軸上 B. 若 m=n>0，則 C 是圓，其半徑為 n C. 若 mn<0，則 C 是雙曲線，其漸近線方程為 y=±?mnx D

11、. 若 m=0，n<0，則 C 是兩條直線 28. 設 M，N 是拋物線 y2=x 上的兩個不同的點，O 是坐標原點．若直線 OM 與 ON 的斜率之積為 ?12，則 ?? A. ∣OM∣+∣ON∣≥42 B. 以 MN 為直徑的圓的面積大于 4π C. 直線 MN 過定點 2,0 D. 點 O 到直線 MN 的距離不大于 2 29. 如圖所示，拋物線 C:y=14x2，AB 為過焦點 F 的弦，過 A，B 分別作拋物線的切線，兩切線交于點 M，設 AxA,xB，BxB,yB，MxM,yM，則下列結(jié)論正確的是 ?? A. 若 AB 的斜率為 1，

12、則 ∣AB∣=6 B. 若 AB 的斜率為 1，則 xM=2 C. 點 M 恒在平行于 x 軸的直線 y=?1 上 D. xA?xB 的值隨著 AB 斜率的變化而變化 三、填空題（共7小題） 30. 設拋物線的頂點在原點，準線方程為 x=?2，則拋物線的方程是 ?． 31. 直線 y=mx+1 與雙曲線 x2?y2=1 有兩個不同的公共點，則實數(shù) m 的取值范圍是 ?． 32. 斜率為3的直線l過拋物線y2=4x的焦點且與該拋物線交于A，B兩點，則∣AB∣= ?．

13、 33. 已知點 A，B 在拋物線 Γ:y2=4x 上，點 M 在 Γ 的準線上，線段 MA，MB 的中點均在拋物線 Γ 上．設直線 AB 與 y 軸交于點 N0,n，則 n 的最小值為 ?． 34. 若拋物線 y2=4x 上一點 P 到 y 軸的距離是 4，則點 P 到該拋物線焦點的距離是 ?． 35. 已知點 A0,2，拋物線 y2=2pxp>0 的焦點為 F，準線為 l，線段 FA 交拋物線于點 B，過點 B 作準線 l 的垂線，垂足為 M．若 AM⊥MF．則 p= ?．

14、 36. 已知拋物線 C:y2=8x 的焦點為 F, 準線 l 與 x 軸的交點為 M，過點 M 的直線 l? 與拋物線的交點為 P，Q，延長 PF 交拋物線 C 于點 A，延長 QF 交拋物線 C 于點 B，若 ∣PF∣∣AF∣+∣QF∣∣BF∣=22，則直線 l? 的方程為 ?． 答案 1. C 2. C 【解析】根據(jù)拋物線定義可知，定點 0,4 為拋物線焦點，且 m>0， 所以 m4=4，解得：m=16． 3. B 【解析】因為拋物線的準線方程為 x=?7， 所以拋物線開口向右且方程為 y2=2px， 則 7=p2，

15、所以 p=14， 所以拋物線的標準方程為 y2=28x． 4. C 【解析】由點 P 到拋物線焦點的距離等于點 P 到其準線 x=?2 的距離，得 xP=7，yP=±214． 5. B 【解析】將拋物線方程化為標準形式得 x2=1ay，其準線方程為 y=?14a=2，所以 a=?18． 6. C 【解析】雙曲線的左焦點坐標為：?3+p216,0，拋物線 y2=2px 的準線方程為 x=?p2，所以 ?3+p216=?p2p>0， 解得：p=4． 7. B 8. B 9. C 10. C 【解析】設 Ax1,y1，Bx2,y2， 作 AM，BN 分別垂

16、直于準線于點 M，N， 則 ∣BN∣=∣BF∣，∣AM∣=∣AF∣． 又 ∣BC∣=2∣BF∣，可得 ∣BC∣=2∣BN∣， 所以 ∠ACN=30°，則 ∣AC∣=2∣AM∣=6． 設 ∣BF∣=x，則 2x+x+3=6，解得 x=1． 又 ∣AF∣=x1+p2=3，∣BF∣=x2+p2=1，且 x1x2=p24， 所以 3?p21?p2=p24，解得 p=32， 所以拋物線的方程為 y2=3x． 故選C． 11. A 【解析】如圖，作 PN 垂直準線于點 N， 所以 PM+PF=PM+PN≥MN， 顯然，當 P，M，N 三點共線時，PM+PF 的值最?。?

17、因為 M1,2，準線為 y=?1， 所以當 P，M，N 三點共線時，N1,?1， 所以 MN=3． 12. B 【解析】由題意，p=2，故拋物線的準線方程是 x=?1， 因為拋物線 y2=4x 的焦點作直線交拋物線于 Ax1,y1 Bx2,y2 兩點 所以 ∣AB∣=x1+x2+2， 又 x1+x2=6 所以 ∣AB∣=x1+x2+2=8 13. C 【解析】點 P 到準線 x=?2 的距離為 d+1，設點 F 為拋物線的焦點，則 ∣PF∣=d+1，所以 d+∣PA∣=∣PF∣?1+∣PA∣，當 A，P，F(xiàn) 三點共線時，∣PF∣+∣PA∣ 取得最小值，故 d+∣PA

18、∣ 的最小值為 ∣AF∣?1=4?1=3．故選C． 14. D 15. C 【解析】P 到 F0,2 的距離比它到直線 y+4=0 的距離小 2，因此 P 到 F0,2 的距離與它到直線 y+2=0 的距離相等，故 P 的軌跡是以 F 為焦點，y=?2 為準線的拋物線，所以 P 的軌跡方程為 x2=8y． 16. C 17. B 【解析】如圖，設準線與 x 軸的交點為 M，過點 Q 作 QH⊥PM 于 H． 因為 ∣PQ∣=2∣QF∣，由拋物線的定義得 ∣PQ∣=2∣QH∣， 所以在 Rt△PQH 中，∠PQH=π4， 所以 ∠PFM=π4， 所以直線 PF 的

19、斜率 k=?1， 則直線 PF 的方程為 y?0=?1x?2，即 x+y?2=0， 故選B． 18. C 【解析】設直線 AB 的傾斜角為 θ， 可得 ∣AF∣=21?cosθ，∣BF∣=21+cosθ， 則 ∣AF∣?∣BF∣=21?cosθ×21+cosθ=4sin2θ≥4， 當 θ=π2 時，等號成立． 19. D 【解析】雙曲線 x22?y2b2=1b>0 的漸近線方程為 y=±b2x， 右焦點 2+b2,0，c2=a2+b2， 所以右焦點到其一條漸近線距離為 b2×2+b2b22+1=2， 所以 b=2， 所以 c=2+2=2， 由題可得 p2=2，

20、 所以 p=4， 所以拋物線方程為 y2=2px=8x， 如圖，過點 M 作 MA⊥l1 于點 A，作 MB⊥l2 于點 B，交準線 x=?2 于點 C，連接 MF， 根據(jù)拋物線的定義得 MA+MB=MA+MC+1=MA+MF+1， 根據(jù)平面幾何知識，可得當 M，A，F(xiàn) 三點共線時，MA+MF 有最小值， 因為 F2,0 到直線 l1:4x?3y+8=0 的距離為 4×2?3×0+842+32=165， 所以 MA+MF 的最小值為 165， 由此可得所求距離和的最小值為 165+1=215． 20. A 【解析】拋物線焦點 1,0，且斜率為 1， 則直線方程為 y=

21、x?1，代入拋物線方程 y2=4x 得 x2?6x+1=0，設 Ax1,y1，Bx2,y2 所以 x1+x2=6 根據(jù)拋物線的定義可知 AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=8． 21. B 【解析】如圖所示，拋物線 y2=2x 的準線為 l:x=?12，過 A，B，M 分別作 AA?，BB?，MM? 垂直于 l，垂足分別為 A?，B?，M?． 由拋物線定義知 ∣AA?∣=∣FA∣，∣BB?∣=∣FB∣． 又 M 為 AB 中點， 由梯形中位線定理得 ∣MM?∣=12∣AA?∣+∣BB?∣=12∣FA∣+∣FB∣≥12∣AB∣=12×3=32， 則

22、 M 到 y 軸的距離 d≥32?12=1（當且僅當 AB 過拋物線的焦點時取“=”）， 所以 dmin=1，即 M 點到 y 軸的最短距離為 1． 22. A 【解析】點 A1,2 在拋物線 y2=2px 和直線 2x+y+a=0 上，則 p=2，a=?4，F(xiàn)1,0，則 B4,?4，故 ∣FA∣+∣FB∣=7． 23. D 【解析】當 c 與 a，b 都相交，但交點不是同一個點時，平面 α 上的直線 a 與平面 β 上的 b 為異面直線，因此判斷（1）是假命題，如圖所示： 對于（2），可以取無窮多個平行平面，在每個平面上取一條直線，且使這些直線兩兩不平行，則這些直線中任意

23、兩條都是異面直線，從而（2）是假命題． 24. C 【解析】拋物線準線為 x=?1，P 到其距離為 d1，則 d=d1+4， 所以 ∣PA∣+d=4+d1+∣PA∣=4+∣PF∣+∣PA∣≥4+∣FA∣=4+2． 25. D 【解析】由拋物線 y2=4cx 知拋物線焦點為 c,0， 而拋物線與雙曲線 x2a2?y2b2=1 交于兩點 A，B 且 ∣AB∣=4c， 所以 2c 為 A，B 的縱坐標的長度， 所以 y=2c 代入拋物線得 x=c， 即交點為 c,2c， 代入雙曲線得 c2a2?4c2b2=1， 所以 b2c2?4a2c2=a2b2， 所以 b2c2?a2

24、=4a2c2， c2?a22=4a2c2， c2?a2=2ac， 兩邊同除 a2 得 e2?1=2e， 解得 e=2+1 或 1?2（舍）． 26. B， D 【解析】對A，當 ∣∣PA∣?∣PB∣∣=K 且 K<∣AB∣，點 P 的軌跡是雙曲線，故A錯誤； 對B，方程 2x2?5x+2=0 分別為 12 和 2，故兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故B正確； 對C，雙曲線 x227?y29=1 中 c2=27+9=36，橢圓 x235+y2=1 中 c2=35?1=35，所以焦點坐標不一樣，故C錯誤； 對D，設弦 AB 的中點為 O，過 A，B，O 分別作拋

25、物線準線的垂線，垂足為 A?，B?，O?，則 OO?=AA?+BB?2， 所以以過焦點的一條弦 AB 為直徑作圓，則此圓與準線相切，故D正確． 27. A， C， D 【解析】A．若 m>n>0，則 1m<1n，則根據(jù)橢圓定義，知 x21m+y21n=1 表示焦點在 y 軸上的橢圓，故A正確； B．若 m=n>0，則方程為 x2+y2=1n，表示半徑為 1n 的圓，故B錯誤； C．若 m<0，n>0，則方程為 x21m+y21n=1，表示焦點在 y 軸的雙曲線，故此時漸近線方程為 y=±?mnx，若 m>0，n<0，則方程為 x21m+y21n=1，表示焦點在 x 軸的雙曲線，故此

26、時漸近線方程為 y=±?mnx，故C正確； D．當 m=0，n>0 時，則方程為 y=±1n 表示兩條直線，故D正確； 故選：ACD． 28. C， D 【解析】不妨設 M 為第一象限內(nèi)的點， ①當直線 MN⊥x軸 時，kOM=?kON，由 kOM?kON=?12， 得 kOM=22，kON=?22， 所以直線 OM，ON 的方程分別為：y=22x 和 y=?22x． 與拋物線方程聯(lián)立，得 M2,2，N2,?2， 所以直線 MN 的方程為 x=2，此時 ∣OM∣+∣ON∣=26， 以 MN 為直徑的圓的面積 S=2π，故A、B不正確． ②當直線 MN 與 x 軸不垂直時

27、，設直線 MN 的方程為 y=kx+m， 與拋物線方程聯(lián)立消去 x，得 ky2?y+m=0，則 Δ=1?4km>0． 設 Mx1,y1，Nx2,y2，則 y1y2=mk． 因為 kOM?kON=?12， 所以 y1x1?y2x2=?12， 則 2y2y1=?x2x1=?y12y22，則 y1y2=?2， 所以 mk=?2，即 m=?2k， 所以直線 MN 的方程為 y=kx?2k，即 y=kx?2． 綜上可知，直線 MN 為恒過定點 Q2,0 的動直線，故C正確； 易知當 OQ⊥MN 時，原點 O 到直線 MN 的距離最大，最大距離為 2， 即原點 O 到直線 MN 的距離

28、不大于 2，故D正確． 29. B， C 【解析】由 C:y=14x2 得 x2=4y， 所以焦點坐標 F1,0， 對A，直線 AB 的方程為 y=x+1， 由 y=x+1,x2=4y, 得 y2?6y+1=0， 所以 yA+yB=6， 所以 ∣AB∣=yA+yB+p=8； 故A錯誤． 因為 C:y=14x2， 所以 y?=12x，則直線 AM，BM 的斜率斜率分別為 12xA，12xB， 所以 lAM:y=12xAx?yA，lBM:y=12xBx?yB， 由 y=12xAx?yA,y=12xBx?yB, 解得 x=xA+xB2,y=xAxB4, 即 MxA+xB2,

29、xAxB4． 由題意知，直線 AB 的斜率存在，可設直線 AB 的方程為 y=kx+1， 由 y=kx+1,y=14x2, 消去 y 得 x2?4kx?4=0， 所以 xA+xB=4k，xA?xB=?4，故D錯誤． 又 yM=xAxB4=?1，故C正確． 對B，當 AB 的斜率為 1 時，xA+xB=4，故 xM=xA+xB2=2， 故D正確． 故選：BC． 30. y2=8x 31. ?20，

30、 解可得，?2

31、性質(zhì)．對學生基礎(chǔ)知識的綜合考查．關(guān)鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得∣AB∣值，從而解決問題． 33. 22 34. 5 35. 2 【解析】由拋物線的定義可得 ∣BM∣=∣BF∣，F(xiàn)p2,0，又 AM⊥MF，所以點 B 為線段 FA 的中點，即 Bp4,1，所以 1=2p×p4，解得 p=2． 36. y=±66x+2 【解析】拋物線 C:y2=8x 的焦點為 F2,0，設直線 l? 的方程為 x=my?2， 則 y2=8x,x=my?2, 整理得：y2?8my+16=0， 設 Px1,y1，Qx2,y2， 則 Δ=64m2?64>0，即 m2>1， 所以 y1+y2=8m，y1y2=16， 由拋物線的對稱性可知：∣PF∣∣AF∣+∣QF∣∣BF∣=y1y2+y2y1=4m2?2=22， 解得：m2=6， 故 m=±6， 所以直線 l? 的方程為 y=±66x+2． 第12頁（共12 頁）