山東省青島市2013屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試 理（青島市一模含解析）新人教A版

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1、青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘． 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）將姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規(guī)定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答案不能答在試題卷上． 3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正

2、帶．不按以上要求作答的答案無效． 參考公式：球的表面積為：,其中為球的半徑． 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以實(shí)部是1，選C. 2. 設(shè)全集，集合，，則 A．　 B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，所以，選B. 3. 下列函數(shù)中周期為且為偶函數(shù)的是 A． B. C. D． 【答案】A 【解析】為偶函數(shù)，且周期是，所以選

3、A. 4. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，,則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即，所以，選C. 5. 已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是 A．若,,且,則 正視圖 俯視圖 左視圖 B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則 C．若，則 D．若，則 【答案】D 【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，選項(xiàng)D正確。 6. 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是的圓，則這個幾何體的表面積是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖可知，該幾何體

4、是一挖去半球的球。其中兩個半圓的面積為。個球的表面積為，所以這個幾何體的表面積是，選A. 7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，，垂足為，，則直線的傾斜角等于 A． B. C． D. 【答案】B 【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。由題意,則,即，所以,即，不妨取,則設(shè)直線的傾斜角等于，則，所以，選B. 8. 若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，即。由，得，即，所以，所以，所以向量與的夾角的余弦

5、值為，所以，選B. 9. 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，作出函數(shù)的圖象，，當(dāng)時，，所以要使函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則，即，選C. 10. 已知的最小值為，則二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，即。展開式的通項(xiàng)公式為，由，得，所以，即項(xiàng)的系數(shù)為15，選A. 11. 已知函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都有=，且當(dāng)時其導(dǎo)函數(shù)滿足若則 A． B． C． D

6、． 【答案】C 【解析】由=，可知函數(shù)關(guān)于對稱。由得，所以當(dāng)時，，函數(shù)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)遞減。當(dāng)，，，即。所以，所以，即，所以，即，選C. 12. 定義區(qū)間，，，的長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如, 的長度. 用表示不超過的最大整數(shù)，記，其中.設(shè)，，當(dāng)時,不等式解集區(qū)間的長度為，則的值為 A． B． C． D．網(wǎng) 【答案】B 【解析】，由，得，即。當(dāng)，，不等式的解為，不合題意。當(dāng)，，不等式為，無解，不合題意。當(dāng)時，，所以不等式等價為，此時恒成立，所以此時不等式的解為，因?yàn)椴坏仁浇饧瘏^(qū)間的長度為，所以，即，選

7、B. 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分． 13. 某程序框圖如右圖所示，若,則該程序運(yùn)行后，輸出的值為 ; 開始 輸出 結(jié)束 是 否 【答案】 【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，。此時不滿足條件，輸出。 14. 若，則的值是 ; 【答案】 【解析】由，所以，解得。 15. 已知滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是 【答案】 【解析】由得，。作出不等式對應(yīng)的區(qū)域，，平移直線，由圖象可知，當(dāng)直線與圓在第一象限相切時，直線的截距最大，此時

8、最大。直線與圓的距離，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是。 16．給出以下命題： ① 雙曲線的漸近線方程為； ② 命題“，”是真命題； ③ 已知線性回歸方程為，當(dāng)變量增加個單位，其預(yù)報值平均增加個單位； ④ 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則； ⑤ 已知，，，，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為，（） 則正確命題的序號為 （寫出所有正確命題的序號）． 【答案】①③⑤ 【解析】①正確。②當(dāng)時，，所以②錯誤。③正確。④因?yàn)?，所以，所以④錯誤。⑤正確。 三、解答題：本大題共6小題,共74分,解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 17. （本小

9、題滿分12分） 已知函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;如圖,四邊形中,,,為的內(nèi)角的對邊，且滿足. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若，設(shè)，,， 求四邊形面積的最大值. 18．（本小題滿分12分） 現(xiàn)有長分別為、、的鋼管各根（每根鋼管質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同且附有不同的編號），從中隨機(jī)抽取根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是均等的,），再將抽取的鋼管相接焊成筆直的一根． （Ⅰ）當(dāng)時,記事件{抽取的根鋼管中恰有根長度相等}，求； （Ⅱ）當(dāng)時,若用表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計(jì)）,①求的分布列； ②令，，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 19．（本小題滿分12分） 如圖，幾何體中，四邊

10、形為菱形，，， 面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：為等腰直角三角形； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 20．（本小題滿分12分） 已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足；又知數(shù)列中，，且對任意正整數(shù)，. （Ⅰ）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）將數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 21．（本小題滿分13分） 已知向量，，（為常數(shù)， 是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直,． （Ⅰ）求的值及的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）已知函數(shù)(為正實(shí)數(shù)),若對于任意，總存在， 使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 22．（本

11、小題滿分13分） 已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn). (Ⅰ)若,求外接圓的方程; (Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、，設(shè)為上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分． C B A C D A B B C A C B 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分． 13. 14. 15. 16．①③⑤ 三、解答題：本

12、大題共6小題，共74分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 17. （本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）由題意知：，解得：， ……………………………2分 ………………………………………………………4分 …………………………………………………6分 （Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以為等邊三角? ……………………………8分 ……………………………………………9分 ， ………………………………………10分 ,， 當(dāng)且僅當(dāng)即時取最大值,的最大值為………………12分 18．（本小題滿分12分） 解：(Ⅰ)事件為隨機(jī)事件，

13、 ………………………………………4分 （Ⅱ）①可能的取值為 2 3 4 5 6 ∴的分布列為： ……………………………………………………9分 ② ………………………………10分 ， ， …………………………………………12分 19．（本小題滿分12分） 解：（I）連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所? 因?yàn)?、都垂直于?，又面∥面, 所以四邊形為平行四邊形 ,則……………………………2分 因?yàn)椤?、都?/p>

14、直于面,則 …4分 所以 所以為等腰直角三角形 ………………………………………………5分 （II）取的中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥ 以分別為軸建立坐標(biāo)系， 則 所以 ………………7分 設(shè)面的法向量為， 則，即且 令，則 ………………………………………………………………9分 設(shè)面的法向量為， 則即且 令，則 ……………………………………………………11分 則,則二面角的余弦值為 …12分 20．（本小題滿分12分） 解：, …………………3分 又由題知：令 ，則, ………………5分 若，則，，所以恒成立 若,當(dāng),不成立,所

15、以 ……………………………………6分 （Ⅱ）由題知將數(shù)列中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)……刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是，公比均是 …………9分 …………………………………………12分 21．（本小題滿分13分）解：（I）由已知可得：=， 由已知，，∴ …………………………………………………………2分 所以 …………3分 由， 由 的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ………………………………………5分 （II）對于任意，總存在， 使得， ……………………………………………………………………6分 由（I）知，當(dāng)時，取得最大值.……………

16、…………………8分 對于，其對稱軸為 當(dāng)時，， ，從而………………10分 當(dāng)時，， ，從而……12分 綜上可知： ………………………………………………………………13分 22．（本小題滿分13分）解：(Ⅰ)由題意知：，，又， 解得：橢圓的方程為： …………………………2分 可得：，,設(shè)，則，， ，，即 由，或 即，或 …………………………………………………………4分 ①當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，，外接圓是以為圓心，為半徑的圓，即……………………………………………………………5分 ②當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，，，所以為直角三角形，其外接圓是以線段為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為， 外接圓的方程為 綜上可知：外接圓方程是，或 ……7分 (Ⅱ)由題意可知直線的斜率存在. 設(shè)，，， 由得： 由得：（） ………………………9分 ，即 ，結(jié)合（）得： ………………………………………………11分 ， 從而， 點(diǎn)在橢圓上，，整理得： 即，，或………………………………13分