2023屆大一輪復習 第11講 指數(shù)與對數(shù)的運算（含解析）

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1、2023屆大一輪復習 第11講 指數(shù)與對數(shù)的運算 一、選擇題（共5小題） 1. 下列命題中，是真命題的為 ?? ①若 log2x=3，則 x=9； ②若 log36x=12，則 x=6； ③若 logx5=0，則 x=5； ④若 log3x=?2，則 x=19． A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 2. 416 的值為 ?? A. ±2 B. 2 C. ?2 D. 以上都不對 3. 設 logxa=a（a 為大于 1 的正整數(shù)），則 x= ?? A. 10alga B. 10lgaa2 C. 10lgaa D. 10a

2、lg1a 4. 設 a>0 且 a≠1，則 1log2a+1log3a+1log4a= ?? A. 1log24a B. 1loga24 C. 1log2a?log3a?log4a D. 3log2a+log3a+log4a 5. 12527?23 的值為 ?? A. 259 B. 925 C. ?259 D. ?925 二、選擇題（共2小題） 6. 已知 a+a?1=3，在下列各選項中，其中正確的是 ?? A. a2+a?2=7 B. a3+a?3=18 C. a12+a?12=±5 D. aa+1aa=25 7. 已知實數(shù)

3、 a，b 滿足等式 18a=19b，下列選項有可能成立的是 ?? A. 00，a≠1，M>0，N>0，我們可以證明對數(shù)的運算性質

4、如下： 因為 alogaM+logaN=alogaMalogaN=MN,???① 所以 logaMN=logaM+logaN． 我們將①式稱為證明的“關鍵步驟”．則證明 logaMr=rlogaM（其中 M>0，r∈R）的“關鍵步驟”為 ?． 12. 計算下列各式： （1）log4116= ?； （2）log25125= ?； （3）log23×log38= ?； （4）log98log32= ?； （5

5、）log34×log45×log56×log67×log78×log89= ?． 13. 設 lg6=m，lg18=n，則 lg5.4= ?． 14. 若 x>0，則 2x14+3322x14?332?4x?12x?x12= ?． 15. 計算：32?13×?760+814×42??2323= ?． 16. 若 logax=2，logbx=3，則 logabx= ?． 17. log2a 的小數(shù)表

6、示為 1.5??（包括 1.5 在內），則實數(shù) a 的取值范圍為 ?． 四、解答題（共10小題） 18. 化簡：π+π?12?4+π?π?12+4． 19. 計算： （1）a35b2?35b34a3a>0,b>0； （2）a?1+b?1a?1?b?1； （3）a23b?1?12a?12b136ab5a>0,b>0； （4）2?12+?402+12?1?1?50?823． 20. 計算題： （1）化簡：4a23b?13÷?23a?13b?43（a>0，b>0）． （2）求值：lg100+log243×22+0.125?1

7、3． 21. 求下列各式的值． （1）log5125； （2）loga1a2+loga1a（a>0 且 a≠1）； （3）lne10； （4）log2+32?3． 22. 已知 log32=m，試用 m 表示 log3218． 23. log2125+log425+log85?log52+log254+log1258． 24. 已知 a，b，c 均為正數(shù)，且 3a=4b=6c，求證：2a+1b=2c． 25. 若 60a=3，60b=5，求 121?a?b21?b 的值． 26. 化簡下列各式． （1）0.06415?2.5

8、23?3338?π0； （2）56a13?b?2??3a?12b?1÷4a23?b?312． 27. 已知 x12+x?12＝3，求 x2+x?2?2x32+x?32?3 的值． 答案 1. B 【解析】①中 x=8，排除A；③中 x 的值不存在，排除C，D． 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A， B， D 【解析】在選項A中，因為 a+a?1=3，所以 a2+a?2=a+a?12?2=9?2=7，故A正確； 在選項B中，因為 a+a?1=3，所以 a3+a?3=a+a?1a2?1+a?2=a+a?1?a+a?12?3=

9、3×6=18，故B正確； 在選項C中，因為 a+a?1=3，所以 a12+a?122=a+a?1+2=5，且 a>0，所以 a12+a?12=5，故C錯誤； 在選項D中，因為 a3+a?3=18，且 a>0，所以 aa+1aa2=a3+a?3+2=20，所以 aa+1aa=25，故D正確． 7. A， B 【解析】實數(shù) a，b 滿足等式 18a=19b，即 y=18x 在 x=a 處的函數(shù)值和 y=19x 在 x=b 處的函數(shù)值相等，由下圖可知A，B均有可能成立． 8. a+b 【解析】原式=lg2×3=lg2+lg3=a+b. 9. 3 10. 9 【解

10、析】原式=4+23×23+log33×25?2log35=4+4+1+2log35?2log35=9. 11. arlogaM=alogaMr=Mr 12. ?2，34，6，32，2 13. 2n?m?1 14. ?23 【解析】原式=4x12?33?4x12+4=?23. 15. 2 【解析】原式=2313×1+234×214?2313=2. 16. 65 17. 232,285 【解析】由題意知 32=1.5≤log2a<1.6=85， 即 log2232≤log2a

11、 232≤a<285， 故 a 的取值范圍是 232,285． 18. 2π． 19. （1） 原式=a32b15?b15a14=a32?14?b15?15=a4a. ??????（2） 原式=1a+1b1ab=a+bab1ab=a+b. ??????（3） a23b?1?12a?12b136ab5=a23×?12b12a?12b13a16b56=a?13?12b12+13a16b56=a?56b56a16b56=a?56?16=a?1=1a. ??????（4） 原式=12+12+2+1?22=22?3. 20. （1） 原式=?6×a23??13×b?13??43=

12、?6ab． ??????（2） 原式=1+log228+2=1+8+2=11． 21. （1） 6． ??????（2） ?3． ??????（3） 10． ??????（4） ?1． 22. log3218=log318log332=m+25m． 23. （方法 1） 原式=log253+log225log24+log25log28log52+log54log525+log58log5125=3log25+2log252log22+log253log22log52+2log522log55+3log523log55=3+1+13log25?3log52=13?log55

13、log52?log52=13. （方法 2） 原式=lg125lg2+lg25lg4+lg5lg8lg2lg5+lg4lg25+lg8lg125=3lg5lg2+2lg52lg2+lg53lg2lg2lg5+2lg22lg5+3lg23lg5=133?lg5lg23?lg2lg5=13. 24. 設 3a=4b=6c=k，則 k>1． 由對數(shù)定義得 a=log3k，b=log4k，c=log6k，則 2a+1b=2log3k+1log4k=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36. 又 2c=2log6k=2logk6=logk36， 所以 2a+

14、1b=2c． 25. 由 a=log603，b=log605，得 1?b=1?log605=log6012， 于是 1?a?b=1?log603?log605=log604， 則有 1?a?b1?b=log604log6012=log124， 所以 121?a?b21?b=1212log124=12log122=2． 26. （1） 原式=64100015?5223?27813?1=410315×?52×23?32313?1=52?32?1=0. ??????（2） 原式=?52a?16b?3÷4a23?b?312=?54a?16b?3÷a13b?32=?54a?12?b?32=?54?1ab3=?5ab4ab2. 27. 設 x12=t，則 x?12=1t，已知即 t+1t=3． 于是，x32+x?32=t3+1t3=t+1t?t2+1t2?1， 而 x2+x?2=t4+1t4=t2+1t22?2， 將 t+1t=3，平方得 t2+1t2+2=9，于是 t2+1t2=7． 從而， 原式=t2+1t22?2t+1t?t2+1t2?1?3=72?23×7?1?3=4715． 第7頁（共7 頁）