2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第47講 兩條直線的位置關(guān)系（含解析）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第47講 兩條直線的位置關(guān)系 一、選擇題（共9小題） 1. 若直線 kx+1?ky?3=0 和直線 k?1x+2k+3y?2=0 互相垂直，則 k= ?? A. ?3 或 ?1 B. 3 或 1 C. ?3 或 1 D. ?1 或 3 2. 過(guò)點(diǎn) P4,?1 且與直線 3x?4y+6=0 垂直的直線方程是 ?? A. 4x+3y?13=0 B. 4x?3y?19=0 C. 3x?4y?16=0 D. 3x+4y?8=0 3. 點(diǎn) 1,?1 到直線 x?y+1=0 的距離是 ?? A. 12 B. 32 C. 22 D. 3

2、22 4. 若兩條直線 ax+2y?1=0 與 3x?6y?1=0 垂直，則 a 的值為 ?? A. 4 B. ?4 C. 1 D. ?1 5. “直線 l1：2x+m+1y+4=0 與直線 l2：mx+3y?2=0 平行”是“m=2”的 ?? A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 直線 l 的方程為 y=xtanα+2，則 ?? A. α 一定是直線的傾斜角 B. α 一定不是直線的傾斜角 C. 180°?α 一定是直線的傾斜角 D. α 不一定是直線的傾斜角 7. P 點(diǎn)在直

3、線 3x+y?5=0 上，且 P 點(diǎn)到直線 x?y?1=0 的距離為 2 ，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ?? A. 1,2 B. 2,1 C. 1,2 或 2,?1 D. 2,1 或 ?1,2 8. 已知 P 為直線 y=kx+b 上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) P 與原點(diǎn)均在直線 x?y+2=0 的同側(cè)，則 k，b 滿足的條件分別為 ?? A. k=1，b<2 B. k=1，b>2 C. k≠1，b<2 D. k≠1，b>2 9. 已知 P1a1,b1 與 P2a2,b2 是直線 y=kx+1（k 為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于 x 和 y 的方程組 a1x+b1y=1,a2x+b2y

4、=1 的解的情況是 ?? A. 無(wú)論 k，P1，P2 如何，總是無(wú)解 B. 無(wú)論 k，P1，P2 如何，總有唯一解 C. 存在 k，P1，P2，使之恰有兩解 D. 存在 k，P1，P2，使之有無(wú)窮多解 二、多選題（共1小題） 10. 若兩平行直線 3x?2y?1=0，6x+ay+c=0 之間的距離為 21313，則實(shí)數(shù) c 的值是 ?? A. 2 B. ?4 C. 5 D. ?6 三、填空題（共6小題） 11. 已知直線 ax?2y?1=0 與直線 3x?y+1=0 垂直，則 a= ?． 12. 設(shè)直線 l1:

5、x?2y+2=0 的傾斜角為 α1，直線 l2:mx?y+4=0 的傾斜角為 α2，若 α2=α1+90°，則實(shí)數(shù) m= ?． 13. 已知 A2,0，B4,0，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 ∣PA∣=22∣PB∣，則 P 到原點(diǎn)的距離為 ?． 14. 已知兩條直線 mx?y?2=0 和 m+2x?y+1=0 互相垂直，那么實(shí)數(shù) m= ?． 15. 已知 A1,0，B3,2，C0,4，點(diǎn) D 滿足 AB⊥CD，且 AD∥BC，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 ?． 1

6、6. l1，l2 是分別經(jīng)過(guò)點(diǎn) A1,1，B0,?1 的兩條平行直線，當(dāng) l1，l2 間的距離最大時(shí)，直線 l1 的方程是 ?． 四、解答題（共9小題） 17. 已知直線 l1:m?2x+m+2y+1=0，l2:m2?4x?my?3=0． （1）若 l1∥l2，求實(shí)數(shù) m 的值； （2）若 l1⊥l2，求實(shí)數(shù) m 的值． 18. 是否存在實(shí)數(shù) k, 使直線 l1:k?3x+4?ky+1=0 與直線 l2:2k?3x?2y+2?k=0 平行?若存在，求 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 19. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知

7、 △ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A?3,2，B4,3，C?1,?2． （1）求 △ABC 中，BC 邊上的高線所在直線的方程；’ （2）求 △ABC 的面積． 20. 已知 △ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A?2,1，B4,?3，且 △ABC 的垂心坐標(biāo)為 H0,2．分別求 BC，AC 邊所在的直線方程． 21. 已知點(diǎn) P2,?1． （1）求過(guò)點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離為 2 的直線 l 的方程； （2）求過(guò)點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離最大的直線 l 的方程，最大距離是多少? （3）是否存在過(guò)點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離為 6 的直線?若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

8、由． 22. 設(shè)集合 M=l直線l與直線y=2x相交,且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率，問(wèn)： （1）點(diǎn) ?2,2 與 M 中哪條直線的距離最小? （2）設(shè) a 是正實(shí)數(shù)，點(diǎn) P?2,a 與 M 中的直線距離的最小值記為 dmin，求：dmin 的解析式． 23. 在直線 l:3x?y?1=0 上求一點(diǎn) P，使得： （1）P 到 A4,1 和 B0,4 的距離之差最大； （2）P 到 A4,1 和 C3,4 的距離之和最?。? 24. 已知直線 l:y=12x?1． （1）求點(diǎn) P3,4 關(guān)于 l 對(duì)稱的點(diǎn) Q； （2）求 l 關(guān)于點(diǎn) 2,3 對(duì)稱的直線方程．

9、 25. 已知三條直線：l1:2x?y+a=0a>0；l2:4x?2y?1=0；l3:x+y?1=0，且 l1 與 l2 間的距離是 7510． （1）求 a 的值； （2）能否找到一點(diǎn) P，使 P 同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： ①點(diǎn) P 在第一象限； ②點(diǎn) P 到 l1 的距離是點(diǎn) P 到 l2 的距離的 12； ③點(diǎn) P 到 l1 的距離與點(diǎn) P 到 l3 的距離之比是 2:5． 若能，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 答案 1. C 【解析】因?yàn)橹本€ kx+1?ky?3=0 和直線 k?1x+2k+3y?2=0 互相垂直， 所以 kk?1+1?k

10、2k+3=0， 解得 k=1 或 k=?3． 2. A 【解析】因?yàn)閮芍本€垂直，直線 3x?4y+6=0 的斜率為 34， 所以所求直線的斜率 k=?43， 則直線方程為 y??1=?43x?4， 化簡(jiǎn)得 4x+3y?13=0． 3. D 【解析】點(diǎn) 1,?1 到直線 x?y+1=0 的距離是：∣1??1+1∣12+?12=32=322． 4. A 【解析】因?yàn)閮蓷l直線 ax+2y?1=0 與 3x?6y?1=0 垂直， 所以 ?a2×?3?6=?1，解得 a=4． 5. B 【解析】“直線 l1：2x+m+1y+4=0 與直線 l2：mx+3y?2=0 平

11、行”?“m=2 或 m=?3”． “m=2”?“直線 l1：2x+m+1y+4=0 與直線 l2：mx+3y?2=0 平行”， “直線 l1：2x+m+1y+4=0 與直線 l2：mx+3y?2=0 平行”是“m=2”的必要不充分條件． 6. D 【解析】y=xtanα+2 中斜率為 tanα，但 α 并不一定為傾斜角． 7. C 【解析】設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,5?3x，則 P 點(diǎn)到直線 x?y?1=0 的距離 d=∣x?5?3x?1∣2=4x?62=2， 所以 ∣2x?3∣=1，所以 x=1 或 x=2．所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 1,2 或 2,?1． 8. A 【解析】設(shè)

12、點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x0,kx0+b，于是 0?0+22?x0?kx0+b+22>0， 即 1?kx0?b+2>0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x0 均成立，于是有 1?k=0，且 ?b+2>0． 9. B 【解析】P1a1,b1 與 P2a2,b2 是直線 y=kx+1（k 為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線 y=kx+1 的斜率存在，所以 k=b2?b1a2?a1，即 a1≠a2，并且 b1=ka1+1，b2=ka2+1， 所以 a2b1?a1b2=ka1a2?ka1a2+a2?a1=a2?a1． a1x+b1y=1,???①a2x+b2y=1,???② ① ×b2? ② ×b1 得：a1b2?

13、a2b1x=b2?b1，即 a1?a2x=b2?b1． 所以方程組有唯一解．故選B． 10. A， D 【解析】依題意知，63=a?2≠c?1，解得 a=?4，c≠?2，即直線 6x+ay+c=0 可化為 3x?2y+c2=0， 又兩平行線之間的距離為 21313， 所以 c2+132+?22=21313，解得 c=2或?6． 11. ?23 【解析】因?yàn)橹本€ ax?2y?1=0 與直線 3x?y+1=0 垂直， 所以 3a+?2×?1=0，解得 a=?23． 12. ?2 【解析】因?yàn)?α2=α1+90°， 故 tanα2=?1tanα1=?2，

14、 所以 m=?2． 13. 22 【解析】設(shè) P 坐標(biāo)為 x,y，由題意可知 x?22+y2=22x?42+y2，化簡(jiǎn)得 x2+y2=8， 所以 P 到原點(diǎn)的距離為 x2+y2=22． 14. ?1 【解析】由兩直線垂直得 mm+2+1=0，解得 m=?1． 15. 10,?6 【解析】設(shè) Dx,y，由已知得 kAB=23?1=1，kBC=4?20?3=?23， 顯然直線 CD，AD 的斜率都存在，kCD=y?4x，kAD=yx?1． 因?yàn)?AB⊥CD，AD∥BC， 所以 kAB?kCD=?1，kAD=kBC， 所以 1×y?4x=?1,yx?1=?23,

15、解得 x=10,y=?6, 即 D10,?6． 16. x+2y?3=0 【解析】當(dāng)兩條平行直線與 A 、 B 兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大． 因?yàn)?A1,1 、 B0,?1，所以 kAB=?1?10?1=2， 所以當(dāng) l1，l2 間的距離最大時(shí)，直線 l1 的斜率為 k=?12， 所以當(dāng) l1，l2 間的距離最大時(shí)，直線 l1 的方程是 y?1=?12x?1，即 x+2y?3=0． 17. （1） （方法一） 因?yàn)?l1∥l2， 所以 m?2?m=m+2m2?4， 解得 m=2 或 m=?1 或 m=?4， 驗(yàn)證知兩直線不重合， 所以 m=2 或

16、m=?1 或 m=?4 時(shí)，l1∥l2． （方法二） 當(dāng) l1 斜率不存在，即 m=?2 時(shí)，代入直線方程，知 l1⊥l2； 當(dāng) l2 斜率不存在，即 m=0 時(shí)，代入直線方程，知 l1 與 l2 既不平行又不垂直； 當(dāng) l1，l2 斜率存在，即 m≠0，m≠?2 時(shí)， 可求 l1，l2 的斜率分別為 k1=?m?2m+2，k2=m2?4m，截距分別為 b1=?1m+2，b2=?3m， 若 l1∥l2，由 k1=k2，b1≠b2，解得 m=2 或 m=?1 或 m=?4； 綜上，當(dāng) m=2 或 m=?1 或 m=?4 時(shí)，l1∥l2． ??????（2） （方法一） 因?yàn)?l

17、1⊥l2， 所以 m?2m2?4+?mm+2=0， 解得 m=?2 或 m=1 或 m=4． （方法二） 若 l1⊥l2，由 k1k2=?1，解得 m=1 或 m=4． 綜上，當(dāng) m=?2 或 m=1 或 m=4 時(shí)，l1⊥l2． 18. k=3或5． 19. （1） 因?yàn)橹本€ BC 的斜率 kBC=3+24+1=1， 所以 BC 邊上的高線的斜率 k=?1， 所以 BC 邊上的高線所在直線的方程為 y?2=?x+3， 即 x+y+1=0． ??????（2） 因?yàn)?B4,3，C?1,?2， 所以 ∣BC∣=?2?32+?1?42=52． 由 B4,3，C?1,?2

18、，得到直線 BC 的方程為 x?y?1=0， 所以點(diǎn) A 到直線 BC 的距離 d=∣?3?2?1∣2=32， 所以 S△ABC=12×52×32=15． 20. 設(shè) Cx,y，則 CH⊥AB，AH⊥BC， y?2x=32,y+3x?4=?2?x=67,y=237, 直線 BC 的方程為 y=?2x+5，直線 AC 的方程為 y=45x+135． 21. （1） 過(guò)點(diǎn) P 的直線 l 與原點(diǎn)的距離為 2，而點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 2,?1，顯然，過(guò)點(diǎn) P2,?1 且垂直于 x 軸的直線滿足條件， 此時(shí)直線 l 的斜率不存在，其方程為 x=2． 若斜率存在，設(shè) l 的方程為 y+

19、1=kx?2， 即 kx?y?2k?1=0． 由已知得 ∣?2k?1∣k2+1=2， 解得 k=34． 此時(shí) l 的方程為 3x?4y?10=0． 綜上可得直線 l 的方程為 x=2 或 3x?4y?10=0． ??????（2） 作圖可得過(guò)點(diǎn) P 與原點(diǎn) O 的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn) P 且與 PO 垂直的直線，如圖所示． 由 l⊥OP，得 klkOP=?1， 所以 kl=?1kOP=2． 由直線方程的點(diǎn)斜式，得 y+1=2x?2， 即 2x?y?5=0． 所以直線 2x?y?5=0 是過(guò)點(diǎn) P 且與原點(diǎn) O 的距離最大的直線，最大距離為 ∣?5∣5=5． ????

20、??（3） 由（2）可知，過(guò)點(diǎn) P 不存在到原點(diǎn)的距離超過(guò) 5 的直線，因此不存在過(guò)點(diǎn) P 且到原點(diǎn)的距離為 6 的直線． 22. （1） 設(shè)直線 l:y?2k=kx?k，即 kx?y+k2?k=0， 點(diǎn) ?2,2 到 l 的距離 d=?2k?2+2k?k21+k2=k2+21+k2=1+k2+11+k2≥2， 當(dāng)且僅當(dāng) 1+k2=1，即 k=0 時(shí)，取到最小值 2，此時(shí) l 為 y=0． ??????（2） P 到 l 的距離 d=k2+a1+k2=1+k2+a?11+k2， 令 t=1+k2∈1,+∞，則 dt=t+a?1t，t∈1,+∞． 當(dāng) a?1≤0，即 0

21、dt 在 t∈1,+∞ 上單調(diào)遞增，dmin=d1=a； 當(dāng) 01，即 a>2 時(shí)，dt 在 t∈1,+∞ 上先減后增，當(dāng) t=a?1 時(shí)，取到最小值，dmin=da?1=2a?1． 綜上，dmin=a,02． 23. （1） 如圖， 設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) B? 的坐標(biāo)為 a,b，則 kBB??kl=?1， 即 3?b?4a=?1． 所以 a+3b?12=0.???① 又由于線段 BB? 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 a2,b+42，且在直線 l 上，

22、所以 3?a2?b+42?1=0，即 3a?b?6=0.???② 解 ①② 得 a=3,b=3， 所以 B?3,3． 于是 AB? 的方程為 y?13?1=x?43?4，即 2x+y?9=0． 解 3x?y?1=0,2x+y?9=0, 得 x=2,y=5. 即 l 與 AB? 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2,5， 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 2,5． ??????（2） 如圖， 設(shè) C 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 C?，求出 C? 的坐標(biāo)為 35,245． 所以 AC? 所在直線的方程為 19x+17y?93=0， 從而可得 AC? 和 l 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 117,267， 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 1

23、17,267． 24. （1） 設(shè)點(diǎn) Qx0,y0，由于 PQ⊥l，且 PQ 的中點(diǎn)在 l 上， 有 y0?4x0?3=?2,y0+42=12?x0+32?1, 解得 x0=295,y0=?85, 所以點(diǎn) Q295,?85． ??????（2） 在 l 上任取一點(diǎn)，如 M0,?1，則點(diǎn) M 關(guān)于點(diǎn) 2,3 對(duì)稱的點(diǎn)為 N4,7． 因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn) N 且與 l 平行， 所以方程為 y?7=12x?4，即 x?2y+10=0． 25. （1） 直線 l2:2x?y?12=0，所以兩條平行直線 l1 與 l2 間的距離為 d=?a??1222+?12=7510， 所以 a+125

24、=7510，即 a+12=72，又 a>0，解得 a=3． ??????（2） 假設(shè)存在點(diǎn) P，設(shè)點(diǎn) Px0,y0． 若點(diǎn) P 滿足條件②，則點(diǎn) P 在與 l1，l2 平行的直線 l?:2x?y+c=0 上， 且 c?35=12×c+125，即 c=132?或?116， 所以直線 l? 的方程為 2x0?y0+132=0 或 2x0?y0+116=0； 若點(diǎn) P 滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式， 有 2x0?y0+35=25×x0+y0?12， 即 2x0?y0+3=x0+y0?1，所以 x0?2y0+4=0 或 3x0+2=0； 由于點(diǎn) P 在第一象限，所以 3x0+2=0 不可能， 聯(lián)立方程得 2x0?y0+132=0,x0?2y0+4=0, 解得 x0=?3,y0=12（舍去）； 聯(lián)立方程得 2x0?y0+116=0,x0?2y0+4=0, 解得 x0=19,y0=3718. 所以存在點(diǎn) P19,3718 同時(shí)滿足三個(gè)條件． 第9頁(yè)（共9 頁(yè)）