10、sin2x?cos2x=sin2x?π6.
由 2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2k∈Z，
得 kπ?π6≤x≤kπ+π3k∈Z，
當(dāng) k=0 時(shí)，0,π3??π6,π3，故A正確；
fπ3=sinπ2=1≠0，故B不正確；
f?π6=?sinπ2=?1，故C正確；
將 fx 的圖象向右平移 π3 個(gè)單位長度得到函數(shù) y=sin2x?5π6 的圖象，顯然不關(guān)于 y 軸對稱，故D不正確．
5. 26?16
6. ?79
7. 32
【解析】由題意得 tanα?5π4=?tan5π4?α=?tanπ4?α=?1?tanα1+tanα=15，
解得 ta
11、nα=32．
8. 33
9. 210
【解析】由 tanαtanα+π4=tanαtanα+11?tanα=tanα1?tanαtanα+1=?23，
得 3tan2α?5tanα?2=0，
解得 tanα=2，或 tanα=?13．
sin2α+π4=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=22sin2α+cos2α=222sinαcosα+cos2α?sin2αsin2α+cos2α=222tanα+1?tan2αtan2α+1,
當(dāng) tanα=2 時(shí)，上式 =222×2+1?2222+1=210；
當(dāng) tanα=?13 時(shí)，
上式 =222×?13+1??
12、132?132+1=210．
綜上，sin2α+π4=210．
10. 5214
【解析】依題意，有 sinθ=?35 ， sinθ+π4cos2θ?6π=sinθcosπ4+cosθsinπ4cos2θ=?35×22+45×222×452?1=5214 .
11. ?2?3
12. 33?410
13. （1） cos4α?sin4α=cos2α+sin2αcos2α?sin2α=cos2α?sin2α=cos2α．
??????（2） 11?tanα?11+tanα=1+tanα?1?tanα1+tanα1?tanα=2tanα1?tan2α=tan2α．
13、
14. （1） cos3π2+α=cosπ2+π+α=?sinπ+α=??sinα=sinα.
??????（2） sin3π2?α=sinπ2+π?α=cosπ?α=?cosα.
15. （1） 因?yàn)?α 為第二象限角，
所以 cosα<0，
又因?yàn)?sinα=55，
所以 cosα=?255，
sin2α=2sinαcosα=2?55??255=?45.
??????（2） cosα?π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=?255?22+55?22=?1010.
16. （1） 32．
??????（2） 120°．
17. （1） 因?yàn)?β∈0,π2，
14、又因?yàn)?cosβ=7210，
所以 sinβ=210，
所以
cos2β?sin2β+sinβcosβ=98100?2100+14100=1110.
??????（2） 因?yàn)?sinβ=210，cosβ=7210，
所以 tanβ=17，
又因?yàn)?tanα+β=12，
所以 tanα+tanβ1?tanαtanβ=12，
所以
2tanα+27=1?17tanα，
157tanα=57，
tanα=13，
又因?yàn)?α∈0,π2，
所以 sinα=1010，cosα=31010，
所以
sin2α=2sinαcosα=2×1010×31010=35,
15、 cos2α=cos2α?sin2α=90100?10100=45,
sin2α+β=sin2αcosβ+sinβcos2α=35×7210+210×45=25250=22.
18. （1） 因?yàn)?α∈0,π2，β∈0,π2，
所以 α+β∈0,π，
所以 cosα=17，
所以 sinα=1?149=437，
因?yàn)?cosα+β=?1114，
所以 sinα+β=1??11142=5314．
??????（2） cosβ=cosα+β?α，
cosβ=cosα+βcosα+sinα+βsinα=?1114×17+5314×437=4998=12.
19. （1） 由
16、已知，有
fx=1?cos2x2?1?cos2x?π32=1212cos2x+34sin2x?12cos2x=34sin2x?14cos2x=12sin2x?π6,
所以的最小正周期 T=2π2=π；
??????（2） 當(dāng) ?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z 時(shí)，函數(shù) fx 單調(diào)遞增，
所以 ?π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z 時(shí)，fx 單調(diào)遞增，
所以 fx 在區(qū)間 ?π3,?π6 上是減函數(shù)，
在區(qū)間 ?π6,π4 上是增函數(shù)，
f?π3=?14，f?π6=?12，fπ4=34，
所以 fx 在區(qū)間 ?π3,π4 上的最大值為 34，最小值為 ?1
17、2．
20. （1） 由題意，得
fx=cosxsinx?3cos2x=12sin2x?321+cos2x=12sin2x?32cos2x?32=sin2x?π3?32.
所以 fx 的最小正周期 T=2π2=π，其最大值為 1?32．
??????（2） 當(dāng) x∈π3,23π 時(shí)，令 t=2x?π3，
則 t∈π3,π，當(dāng) t∈π3,π2 時(shí)，fx 單調(diào)遞增；
當(dāng) t∈π2,π 時(shí)，fx 單調(diào)遞減，
即：當(dāng) x∈π3,512π 時(shí)，fx 單調(diào)遞增；當(dāng) x∈512π,23π 時(shí)，fx 單調(diào)遞減．
21. （1） 由題意
fx=sin2x+32cos2x?1+1=sin2
18、x+3cos2x+1=2sin2x+π3+1.
由 2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2k∈Z，得 2kπ?5π6≤2x≤2kπ+π6k∈Z，
所以 kπ?5π12≤x≤kπ+π12k∈Z，
所以 fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為 kπ?5π12,kπ+π12k∈Z．
??????（2） 因?yàn)?x∈?π4,π4，
所以 2x+π3∈?π6,5π6，
所以 sin2x+π3∈?12,1，
所以 fx∈0,3．
22. （1） 選擇②式：
sin215°+cos215°?sin15°cos15°=1?12sin30°=34,
所以該常數(shù)為 34．
??????（2） 34，
19、證明如下：
sin2α+cos230°?α?sinαcos30°?α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2?sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α32cosα+12sinα2?sinα32cosα+12sinα=sin2α+34cos2α?14sin2α=34sin2α+34cos2α=34.
23. （1） fx=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6，
所以 T=π，
又 x∈0,π2，
所以 2x+π6∈π6,7π6，
由函數(shù)圖象知 fx∈?1,2，即最大值為 2，最小值為 ?1．
??????（2） 由題意 sin2x0
20、+π6=35，
而 x0∈π4,π2，
所以 2x0+π6∈2π3,7π6，
所以 cos2x0+π6=?1?sin22x0+π6=?45，
所以
cos2x0=cos2x0+π6?π6=?45×32+35×12=3?4310.
24. （1） fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=sin2x+2sinxcosx+3cos2xsin2x+cos2x=tan2x+2tanx+3tan2x+1=175.
??????（2） fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=2sin2x+π4+2．
fx 的最小正周期為 T=2π2=π．
由 π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，解得 π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z．
所以 fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為 π8+kπ,5π8+kπ，k∈Z．
第9頁（共9 頁）
2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第24講 三角恒等變換（2）（含答案）
