2023屆大一輪復習 第44講 空間向量的概念（含答案）

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1、2023屆大一輪復習 第44講 空間向量的概念 一、選擇題（共7小題） 1. 下列說法正確的是 ?? A. 若 a=b，則 a，b 的長度相同，方向相同或相反 B. 若向量 a 與向量 b 互為相反向量，則 a=b C. 如果兩個向量平行，則兩個向量相等 D. 在四邊形 ABCD 中，一定有 AB+AD=AC 2. 若 a=x,?1,3，b=2,y,6，且 a∥b，則 ?? A. x=1,y=?2 B. x=1,y=2 C. x=12,y=?2 D. x=?1,y=?2 3. 已知點 B 是點 A3,4,?2 在 xOy 平面上的射影，則

2、 OB 等于 ?? A. 3,4,0 B. 25 C. 5 D. 13 4. 下面關(guān)于空間向量的說法正確的是 ?? A. 若向量 a，b 平行，則 a，b 所在直線平行 B. 若向量 a，b 所在直線是異面直線，則 a，b 不共面 C. 若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB，CD 不共面 D. 若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB，AC，AD 不共面 5. 如圖，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，M 為 A1C1 的中點．若 AB=a，AA1=c，BC=b，則下列向量與 BM 相等的是 ?? A. ?12a+12b+c B.

3、 12a+12b+c C. ?12a?12b+c D. 12a?12b+c 6. 如圖，在四面體 ABCD 中，設(shè) G 是 CD 的中點，則 AB+12BD+BC 等于 ?? A. AD B. BG C. CD D. AG 7. 對于空間任意一點 O 和不共線的三點 A，B，C，有 OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R，則 x+y+z=1 是 P，A，B，C 四點共面的 ?? A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 二、多選題（共2小題） 8. 已知點 P 是平行四邊形 ABCD 所在

4、的平面外一點，如果 AB=2,?1,?4，AD=4,2,0，AP=?1,2,?1．下列結(jié)論正確的有 ?? A. AP⊥AB B. AP⊥AD C. AP 是平面 ABCD 的一個法向量 D. AP∥BD 9. 已知 ABCD?-A1B1C1D1 為正方體，下列說法中正確的是 ?? A. A1A+A1D1+A1B12=3A1B12 B. A1C?A1B1?A1A=0 C. 向量 AD1 與向量 A1B 的夾角是 60° D. 正方體 ABCD?-A1B1C1D1 的體積為 AB?AA1?AD 三、填空題（共6小題） 10. 若 a,b,c

5、 為空間的一個基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個基底的是 ?? ① a，a+b，a?b ② b，a+b，a?b ③ c，a+b，a?b ④ a+b，a?b，a+2b 11. 空間直角坐標系中，兩平面 α 與 β 分別以 n1=2,1,1 與 n2=0,2,1 為其法向量，若 α∩β=l，則直線 l 的一個方向向量為 ?（寫出一個方向向量的坐標）． 12. 已知向量 a=2,?3,5 與向量 b=3,λ,152 平行，則實數(shù) λ= ?． 13. 設(shè)向量 a=x,4,3,b=3,

6、?2,y，且 a∥b，則 xy= ?． 14. 已知點 A，B，C 的坐標分別為 0,1,0，?1,0,?1，2,1,1，點 P 的坐標是 x,0,y，若 PA⊥平面ABC，則點 P 的坐標是 ?． 15. 已知空間向量 a，b，c，化簡 12a+2b?3c+523a?12b+23c?3a?2b+c= ?． 四、解答題（共12小題） 16. 如圖，在平行六面體 ABCD?A?B?C?D? 中，E，F(xiàn) 分別是棱 B?C?，CD 的中點，設(shè) AB=a，AD=b，AA?=c，用

7、 a，b，c 表示下列向量： （1）A?C． （2）B?D． （3）A?F． （4）EF． 17. 已知 a=2,1,?2，b=5,?4,3，c=?8,4,1． （1）求證：a⊥b． （2）設(shè) a 與 c 的夾角為 θ，求 cosθ． 18. 如圖，兩個正方形 ABCD 、 ABEF 相交一個鈍二面角，M 、 N 分別是 BD 、 AE 上不與端點 B 、 E 重合的點．若 AN=MD．求證：MN∥平面BCE． 19. 如圖所示，若 P 為平行四邊形 ABCD 所在平面外一點，點 H 為 PC 上的點，且 PHHC=12，點 G 在 AH

8、上，且 AGAH=m．若 G，B，P，D 四點共面，求 m 的值． 20. 在長方體 ABCD?A′B′C′D′ 中，G 是三角形 ACD′ 的重心，求證：D，G，B′ 三點在同一直線上． 21. 如圖，在平行六面體 ABCD?A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是邊長為 1 的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°． （1）求線段 AC1 的長； （2）求異面直線 AC1 與 A1D 所成角的余弦值． 22. 已知正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱長為 a，E，F(xiàn) 分別是線段 AD1，DB 上的點，且 AE=BF．

9、（1）求異面直線 AD 與 EF 所成的角； （2）當 E 在什么位置時，EF 取得最小值?并求出 EF 的最小值． 23. 如圖所示的長方體 ABCD?A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，O 為 AC 與 BD 的交點，BB1=2，M 是線段 B1D1 的中點．求證： （1）BM∥平面D1AC； （2）D1O⊥平面AB1C． 24. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 a 的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=22AD，設(shè) E，F(xiàn) 分別為 PC，BD 的中點．求證： （1）EF∥平面PAD；

10、 （2）平面PAB⊥平面PDC． 25. 如圖，在四棱錐 P?-ABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 a 的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=22AD，設(shè) E，F(xiàn) 分別為 PC，BD 的中點．求證： （1）EF∥平面PAD； （2）平面PAB⊥平面PDC． 26. 如圖，已知直三棱柱 ABC?A1B1C1，在底面 △ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱 AA1=2，M，N 分別是 A1B1，A1A 的中點． （1）求 BN 的模； （2）求 cosBA1,CB1 的值； （3）求證：A1B⊥C1M． 27. 如

11、圖，在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，E 為 BB1 的中點． （1）求證：BC1∥平面AD1E； （2）求直線 AA1 與平面 AD1E 所成角的正弦值． 答案 1. B 【解析】選項 A，a=b 與方向無關(guān)； 選項 C，兩個相等向量要大小相等，方向相同； 選項 D，四邊形若為空間四邊形，AB，AD，AC 有可能不共面． 2. A 3. C 4. D 【解析】我們可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，故B，C都不正確．由向量平行與直線平行的區(qū)別，可知A不正確．因為 AB，AC，AD 是空間中共端點

12、 A 但不共面的三條線段，所以向量 AB，AC，AD 不共面． 5. A 【解析】因為 M 是 A1C1 的中點， 所以 BM=AM?AB=AA1+A1M?AB=AA1?AB+12A1C1=AA1?AB+12AC=AA1?AB+12AB+BC=AA1?12AB+12BC=?12a+12b+c. 故選A． 6. D 7. C 8. A， B， C 【解析】對于A，AB?AP=2×?1+?1×2+?4×?1=0， 所以 AP⊥AB，即 AP⊥AB，A正確； 對于B，AP?AD=?1×4+2×2+?1×0=0， 所以 AP⊥AD，即 AP⊥AD，B正確；

13、 對于C，由 AP⊥AB，且 AP⊥AD， 得出 AP 是平面 ABCD 的一個法向量，C正確； 對于D，由 AP 是平面 ABCD 的法向量，得出 AP⊥BD，則D錯誤． 9. A， B 【解析】由向量的加法得到：A1A+A1D1+A1B1=A1C． 因為 A1C2=3A1B12， 所以 A1C2=3A1B12， 所以A正確； 因為 A1B1?A1A=AB1,AB1⊥A1C， 所以 A1C?AB1=0，故B正確； 因為 △ACD1 是等邊三角形， 所以 ∠AD1C=60°，又 A1B∥D1C， 所以異面直線 AD1 與 A1B 所成的角為 60°， 但是向量 AD

14、1 與向量 A1B 的夾角是 120°，故 C 不正確； 因為 AB⊥AA1， 所以 AB?AA1=0， 故 AB?AA1?AD=0，因此 D 不正確． 10. ③ 11. 12,1,?2 【解析】設(shè)直線 l 的一個方向向量為 d=x,y,z， 依題意可知 d⊥n1,d⊥n2, 所以 2x+y+z=0,2y+z=0, 令 y=1，則 z=?2，x=12，所以 d=12,1,?2． 12. ?92 【解析】因為向量 a=2,?3,5 與向量 b=3,λ,152 平行， 所以 23=?3λ=5152， 所以 λ=?92． 13. 9 14. ?1,0

15、,2 【解析】PA=?x,1,?y，AB=?1,?1,?1，AC=2,0,1． 因為 PA⊥平面ABC，所以 PA⊥AB，PA⊥AC， 即 PA?AB=x+y?1=0，PA?AC=?2x?y=0， 所以 x=?1，y=2，故點 P 的坐標是 ?1,0,2． 15. 56a+92b?76c 【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)乘運算法則可知， 原式=12a+b?32c+103a?52b+103c?3a+6b?3c=56a+92b?76c. 16. （1） a+b?c． ??????（2） ?a+b?c． ??????（3） 12a+b?c． ??????（4） ?12a+1

16、2b?c． 17. （1） 因為 a?b=0． ??????（2） ?1427． 18. 設(shè) AN=MD=λAE=λBD0<λ<1， 則 MD=λBD，AN=λAE， 所以 MN=MD+DN=MD+DA+AN=λBD+DA+λAE=λBC+BE+DA 因為 DA=?BC， 所以 MN=λ?1BC+λBE． 由 BC 、 BE 不共線，所以 MN 與 BC，BE 共面． 因為 MN?平面BCE，所以 MN∥平面BCE． 19. 連接 BD，BG， 因為 AB=PB?PA，AB=DC， 所以 DC=PB?PA， 因為 PC=PD+DC， 所以 PC=PD+P

17、B?PA=?PA+PB+PD， 因為 PHHC=12， 所以 PH=13PC， 所以 PH=13?PA+PB+PD=?13PA+12PB+13PD， 又因為 AH=PH?PA， 所以 AH=?43PA+13PB+13PD， 因為 AGAH=m， 所以 AG=mAH=?4m3PA+m3PB+m3PD， 所以 BG=1?4m3PA+m3?1PB+m3PD， 又因為 G，B，P，D 四點共面， 所以 1?4m3=0，解得 m=34． 20. 以 D′ 為原點，經(jīng)過 D′ 的三條棱為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系．得有關(guān)點的坐標 Aa,0,c，C0,b,c，B′

18、a,b,0，D0,0,c，AC 的中點 Ea2,b2,c． 因為 D′G=23D′E， 所以得 Ga3,b3,2c3， 可得 DB′=a,b,?c，DG=a3,b3,?c3=13DB′， 所以 D，G，B′ 共線． 21. （1） 設(shè) AB=a，AD=b，AA1=c，則 a=b=1，c=2， a?b=0，c?a=c?b=2×1×cos120°=?1． 因為 AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c， 所以 AC1=a+b+c=a+b+c2=a2+b2+c2+2a?b+b?c+c?a=12+12+22+20?1?1=2. 所以線段 AC1 的長為 2． ?

19、?????（2） 設(shè)異面直線 AC1 與 A1D 所成的角為 θ， 則 cosθ=cosAC1,A1D=AC1?A1DAC1A1D． 因為 AC1=a+b+c，A1D=b?c， 所以 AC1?A1D=a+b+c?b?c=a?b?a?c+b2?c2=0+1+12?22=?2, A1D=b?c2=b2?2b?c+c2=12?2×?1+22=7. 所以 cosθ=AC1?A1DAC1A1D=∣?2∣2×7=147， 所以異面直線 AC1 與 A1D 所成角的余弦值為 147． 22. （1） 如圖，作 EH⊥DD1 于點 H，F(xiàn)G⊥CD 于點 G，連接 HG． 易證 △

20、EHD1≌△FGD， 所以 EH=FG， 又因為 EH∥AD∥FG， 所以四邊形 EFGH 是平行四邊形， 所以 EF∥HG． 又在正方體中，AD⊥平面CDD1C1，故得 AD⊥HG，即 AD 與 EF 所成的角為 90°． ??????（2） 設(shè) EF=GH=y，D1H=DG=x（0≤x≤a），則 DH=a?x． 所以 y=a?x2+x2=2x?a22+a22， 當 x=a2 時，即 E 是 AD1 中點時，EF 取最小值 22a． 23. （1） 建立如圖所示的空間直角坐標系， 則點 O1,1,0，D10,0,2， 所以 OD1=?1,?1,2． 又點 B2,2

21、,0，M1,1,2， 所以 BM=?1,?1,2， 所以 OD1=BM． 又因為 OD1 與 BM 不共線， 所以 OD1∥BM． 又 OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC， 所以 BM∥平面D1AC． ??????（2） 連接 OB1，點 B12,2,2，A2,0,0，C0,2,0． 因為 OD1?OB1=?1,?1,2?1,1,2=0， OD1?AC=?1,?1,2??2,2,0=0， 所以 OD1⊥OB1，OD1⊥AC， 即 OD1⊥OB1，OD1⊥AC． 又 OB1∩AC=O，OB1,AC?平面AB1C， 所以 D1O⊥平面AB1C． 24. （1）

22、如圖，取 AD 的中點 O，連接 OP，OF． 因為 PA=PD， 所以 PO⊥AD． 因為 側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以 PO⊥平面ABCD． 又 O，F(xiàn) 分別為 AD，BD 的中點， 所以 OF∥AB． 又四邊形 ABCD 是正方形， 所以 OF⊥AD． 因為 PA=PD=22AD， 所以 PA⊥PD，OP=OA=a2． 以 O 為原點，OA，OF，OP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系， 則 Aa2,0,0，F(xiàn)0,a2,0，D?a2,0,0， P0,0,a2，Ba2,a,0，C?a2,a,0．

23、因為 E 為 PC 的中點， 所以 E?a4,a2,a4． 易知平面 PAD 的一個法向量為 OF=0,a2,0． 因為 EF=a4,0,?a4， 且 OF?EF=0,a2,0?a4,0,?a4=0， 所以 EF∥平面PAD． ??????（2） 因為 PA=a2,0,?a2，CD=0,?a,0， 所以 PA?CD=a2,0,?a2?0,?a,0=0， 所以 PA⊥CD， 所以 PA⊥CD． 又 PA⊥PD，PD∩CD=D， 所以 PA⊥平面PDC． 又 PA?平面PAB， 所以 平面PAB⊥平面PDC． 25. （1） 如圖，取 AD 的中點 O，連接 OP，OF

24、． 因為 PA=PD， 所以 PO⊥AD． 因為 側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， 所以 PO⊥平面ABCD． 又 O，F(xiàn) 分別為 AD，BD 的中點， 所以 OF∥AB． 又 ABCD 是正方形， 所以 OF⊥AD． 因為 PA=PD=22AD， 所以 PA⊥PD，OP=OA=a2． 以 O 為原點，OA，OF，OP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系， 則 Aa2,0,0，F(xiàn)0,a2,0，D?a2,0,0， P0,0,a2，Ba2,a,0，C?a2,a,0． 因為 E 為 PC 的中點，

25、所以 E?a4,a2,a4． 易知平面 PAD 的一個法向量為 OF=0,a2,0， 因為 EF=a4,0,?a4， 且 OF?EF=0,a2,0?a4,0,?a4=0， 又因為 EF?平面PAD， 所以 EF∥平面PAD． ??????（2） 因為 PA=a2,0,?a2，CD=0,?a,0， 所以 PA?CD=a2,0,?a2?0,?a,0=0， 所以 PA⊥CD， 所以 PA⊥CD． 又 PA⊥PD，PD∩CD=D，PD,CD?平面PDC， 所以 PA⊥平面PDC． 又 PA?平面PAB， 所以 平面PAB⊥平面PDC． 26. （1） 如圖，以點 C 作為坐

26、標原點 O，CA，CB，CC1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系． 由題意得 B0,1,0，N1,0,1， 所以 BN=1?02+0?12+1?02=3． ??????（2） 由題意得 A11,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B10,1,2， 所以 BA1=1,?1,2，CB1=0,1,2， BA1?CB1=3，BA1=6，CB1=5， 所以 cosBA1,CB1=BA1?CB1BA1CB1=3010． ??????（3） 由題意得 C10,0,2，M12,12,2， A1B=?1,1,?2，C1M=12,12,0， 所以 A1B?C1M

27、=?12+12+0=0， 所以 A1B⊥C1M，即 A1B⊥C1M． 27. （1） 如圖所示． 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，AB∥A1B1 且 AB=A1B1，A1B1∥C1D1 且 A1B1=C1D1， 所以 AB∥C1D1 且 AB=C1D1， 所以四邊形 ABC1D1 為平行四邊形，則 BC1∥AD1， 因為 BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E， 所以 BC1∥平面AD1E． ??????（2） 以點 A 為坐標原點，AD，AB，AA1 所在直線分別為 x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 A?xyz． 設(shè)正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱長為 2， 則 A0,0,0，A10,0,2，D12,0,2，E0,2,1， AD1=2,0,2，AE=0,2,1， 設(shè)平面 AD1E 的法向量為 n=x,y,z， 由 n?AD1=0,n?AE=0, 得 2x+2z=02y+z=0, 令 z=?2，則 x=2，y=1，則 n=2,1,?2 . cosn,AA1=n?AA1n?AA1=?43×2=?23 . 因此，直線 AA1 與平面 AD1E 所成角的正弦值為 23． 第15頁（共15 頁）