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1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,廣東省佛山市高明區(qū)技工學(xué)校 鐘美珍,,說(shuō)課內(nèi)容綱要,1、教材分析 2、學(xué)生分析 3、教學(xué)目標(biāo) 4、教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn) 5、教學(xué)方法 6、學(xué)法 7、教學(xué)設(shè)計(jì) 8、課堂小結(jié) 9、板書(shū)設(shè)計(jì),,,一、教材分析,本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步了解同角而不同名的三角函數(shù)上提出來(lái)的，為下面有關(guān)三角函數(shù)內(nèi)容打下基礎(chǔ)，因此這一節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)承上啟下的作用。學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容，不僅可以幫助我們根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，直接求出這個(gè)角的其它三角函數(shù)值，而不必求這個(gè)角；同時(shí)還可以用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明其他一些三角恒等式等等。提高了學(xué)生利用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。,,
2、,,,本人擔(dān)任的技校一年級(jí)的數(shù)學(xué)課，技校學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)還是有一定的興趣，在學(xué)習(xí)中，能夠認(rèn)真、積極配合老師，但學(xué)習(xí)比較被動(dòng)，自主學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，有大部分同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有真正掌握正確的學(xué)習(xí)方法，并且比較依賴于老師。于是，我設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程要顯淺而懂，同時(shí)要直觀生動(dòng)，并幫助學(xué)生充分利用六邊形來(lái)記憶和靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，其中有些內(nèi)容學(xué)生通過(guò)自己的思維都能做得出來(lái)的，老師盡量少講，交給學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，從而獲得知識(shí)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。,二、學(xué)生分析,,,,三、教學(xué)目標(biāo),讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程，熟記基本關(guān)系式的內(nèi)容，明確基本關(guān)系式在三個(gè)方面的應(yīng)用：（1）知道一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值能求這個(gè)角的
3、其他三角函數(shù)值，（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式（3）證明三角恒等式。 ,培養(yǎng)學(xué)生由特殊結(jié)論-----猜想一般規(guī)律-----進(jìn)行嚴(yán)格證明的科學(xué)思維方式；通過(guò)用單位圓推導(dǎo)公式培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；通過(guò)求值、化簡(jiǎn)、證明培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；通過(guò)例題與練習(xí)提高學(xué)生動(dòng)手能力和分析解決問(wèn)題的能力。,培養(yǎng)學(xué)生積極參與大膽探索的精神；讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成就感,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。,,四、教學(xué)重難點(diǎn),一、教學(xué)重點(diǎn):,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式推導(dǎo)及應(yīng)用。,知識(shí)技能線,情感態(tài)度線,過(guò)程方法線,觀察分析 特殊到一般,靈活運(yùn)用能力及應(yīng)用意識(shí),,,創(chuàng)設(shè)情景引入課題,公式推導(dǎo),,公式運(yùn)用,,探究
4、嘗試 數(shù)形結(jié)合,靈活運(yùn)用 化歸、方程思想,,,突重點(diǎn),觀察能力,合作交流，歸納猜想能力,抓三線、,,四、教學(xué)重難點(diǎn),二、教學(xué)難點(diǎn):,關(guān)系式在解題中的靈活選取，及使用公式時(shí)由函數(shù)值正負(fù)號(hào)的選取而導(dǎo)致的角的范圍的討論。,,抓兩點(diǎn)、破難點(diǎn),,情感、思維的興奮點(diǎn),知識(shí)層層深入,五、教學(xué)方法,,（一）講授法：教師能在較短的時(shí)間內(nèi)通過(guò)口頭語(yǔ)言，簡(jiǎn)潔地傳授數(shù)學(xué)知識(shí)信息。 （二）談話法：就是教師根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生基于以往的經(jīng)驗(yàn)，依靠他們的認(rèn)知能力、形成對(duì)問(wèn)題的解釋、提出他們對(duì)問(wèn)題的假設(shè)的方法。 （三）任務(wù)驅(qū)動(dòng)法：在講授完新知識(shí)后，必須由學(xué)生做相關(guān)的練習(xí)，并以完成此任務(wù)為目標(biāo)，通
5、過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)法可以使學(xué)生能自主學(xué)習(xí)，并培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。,六、學(xué) 法,,（一）知識(shí)遷移法：在本節(jié)內(nèi)容中，它與前面的內(nèi)容息 息相關(guān)，并在原有的知識(shí)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，所以要學(xué)會(huì)思維的遷移。 （二）探究法：在老師的指引下，學(xué)生要學(xué)會(huì)探索同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。 （三）自主學(xué)習(xí)法：提出以完成任務(wù)為目標(biāo)，要求學(xué)生獨(dú)立練習(xí)來(lái)獲得新知識(shí)，從而提高獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。,七、教學(xué)過(guò)程分析,教學(xué)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn),教學(xué)過(guò)程,練,學(xué),導(dǎo),探,引,創(chuàng)設(shè)情境,探究問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生,掌握,反思提煉,延,作業(yè)布置,,過(guò)程分析,創(chuàng)設(shè)情景引入課題,氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn)：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾
6、扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。這就是理論界聞名的“蝴蝶效應(yīng)”， 此效應(yīng)本意是說(shuō)事物初始條件的微弱變化可能會(huì)引起結(jié)果的巨大變化。蝴蝶扇翅膀成為龍卷風(fēng)的導(dǎo)火索。從中我們還可以看出，南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來(lái)是毫不相干的兩種事物，卻會(huì)有這樣的聯(lián)系，這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。既然感覺(jué)毫不相干的事物都是相互聯(lián)系的，那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)一定會(huì)有非常密切的關(guān)系！到底是什么關(guān)系呢？這就是這節(jié)課的課題。,一、推導(dǎo)同角三角函數(shù)的關(guān)系式,（一）倒數(shù)關(guān)系：請(qǐng)同學(xué)們觀察上述六個(gè)三角函數(shù)的定義，哪些互為倒數(shù)關(guān)系？（學(xué)生在草稿紙上演算，
7、教師巡視） 因此倒數(shù)關(guān)系是：,,過(guò)程分析,對(duì)于三種關(guān)系的推導(dǎo)，我是這樣處理的：倒數(shù)關(guān)系由學(xué)生自己推導(dǎo)，商數(shù)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)，平方關(guān)系由老師幫助推導(dǎo)。,,,,（二）商數(shù)關(guān)系：首先要讓學(xué)生明白涉及到商，應(yīng)該與除法有關(guān)，而作為分子、分母都是比值的除法，要想化簡(jiǎn)最后的結(jié)果，最好是要找分母相同的比值。在上面六個(gè)比值中，分母相同的分別有三組。然后要求學(xué)生在草稿紙上算。學(xué)生的結(jié)果估計(jì)是這樣的：,,過(guò)程分析,,,,,再提示學(xué)生思考除了以上三個(gè)之外，還可以將三條式子的分子與分母的位置調(diào)換，于是又多了三條式子：,總結(jié)商數(shù)關(guān)系一共有六條，告訴學(xué)生常用的的第一和第四條：化切為弦。,（三）平方關(guān)系：這種關(guān)系學(xué)生不易找出
8、來(lái)，教師提示：x2+y2 = r2,而且還可以得到r2- y2 = x2，r2- x2 = y2。因此它們還存在平方關(guān)系，要求學(xué)生算出sin2+cos2=1,再將sin2+cos2=1作恒等變形，當(dāng)cos20時(shí)，等式兩邊同除以cos2，得，所以tg2+1=sec2,同理當(dāng)sin20時(shí)，等式兩邊同除以sin2得到ctg2+1=csc2。因此有：,,過(guò)程分析,,,,,平方關(guān)系： sin2+cos2=1 tg2+1=sec2 ctg2+1=csc2,過(guò)程分析,,,,（四）幫助學(xué)生更靈活地記憶上述三種關(guān)系式， 給出右圖，讓學(xué)生思考怎樣利用它幫助我們記憶三角函數(shù)的基本關(guān)系？（上弦中切下割左正右余） 1
9、、在對(duì)角線上兩個(gè)三角函數(shù)值乘積等于1，有倒數(shù)關(guān)系。 2、六邊形上任意一個(gè)頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩 個(gè)頂點(diǎn)上的函數(shù)值的乘積?？裳莼錾虜?shù)關(guān)系。 3、帶有陰影的三個(gè)倒三角形中，上面兩個(gè)三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。有平方關(guān)系。,過(guò)程分析,,,,為了加深對(duì)關(guān)系式的認(rèn)識(shí)，在公式給出后設(shè)置了三點(diǎn)注意 ：,1、同角的理解：,2、 是 的簡(jiǎn)寫(xiě)形式，與 不同。,3、公式可以變形使用,過(guò)程分析,,,,例 題 講 解 提 高 能 力,例1：（1）已知 ， ，試求cos和tg的值。,例2：（2）已知 ，求的其它三角函數(shù)值。,引導(dǎo)學(xué)生充分利用六邊形中關(guān)系式的關(guān)系
10、，尋找多 種解題的思路，以下是幾種角題的順序： （tgctgseccossincsc） （tgctgcscsincossec） （tgsecsincsccosctg） 說(shuō)明：通過(guò)例題的講解，使學(xué)生明白到運(yùn)用平方關(guān)系式時(shí)涉及到開(kāi)方問(wèn)題，就要考慮符號(hào)的正負(fù)。,過(guò)程分析,,,,例題2、化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是： （1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低； （2）盡量使分母不含三角函數(shù)式； （3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開(kāi)出來(lái)； （4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái)，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常常將式子中的“1”作巧妙的變形，,,過(guò)程分析,,,,例題3、求證：,（1）讓學(xué)生思考討論找解決辦
11、法，由題目的多種解法總結(jié)三角恒等式證明的三種基本思路： 一邊化一邊；作差比較；兩邊化為同一式。 （2）設(shè)置目的；通過(guò)一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生思維的深刻性、敏捷性。 （3）小結(jié)：由繁到簡(jiǎn)；化弦法；盯住目標(biāo)、逐步靠攏；注意“1”的變形運(yùn)用；,過(guò)程分析,課 堂 練 習(xí),1、已知 ， ，試求sin和tg的值。,2、化簡(jiǎn)下列三角函數(shù)式：,,,,,,八、課堂小結(jié),在公式的推導(dǎo)中，教師是用創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的形式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)關(guān)系式，多讓學(xué)生動(dòng)手去計(jì)算，體現(xiàn)了教師為引導(dǎo),學(xué)生為主體,體驗(yàn)為紅線,探索得材料,研究獲本質(zhì),思維促發(fā)展的教學(xué)思想。在記憶關(guān)系式時(shí)，我不要求學(xué)生死記硬背，而是充分利用六
12、邊形來(lái)靈活記憶。在解題的過(guò)程，我要求學(xué)生利用六邊形來(lái)分析，進(jìn)而尋找解題的思路，這樣就把抽象的問(wèn)題具體化，并可以找出多種的解題思路，這樣做使學(xué)生不感到困難，而且使枯燥的內(nèi)容生動(dòng)化、直觀化，培養(yǎng)學(xué)生解題的信心。通過(guò)兩種不同的例題的對(duì)比，讓學(xué)生能夠明白到關(guān)系式中的開(kāi)方，是需要考慮正負(fù)號(hào)，而正負(fù)號(hào)是與角的角限有關(guān)，角的象限題目可以直接給出來(lái)，但有時(shí)是需要已知條件來(lái)推出角可能所在的象限，通過(guò)分析，把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)解決了。最后的練習(xí)可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容掌握的情況，另外還可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題中存在的問(wèn)題，教師加以評(píng)講，這樣就使學(xué)生的認(rèn)識(shí)再上一個(gè)臺(tái)階。,,,,,九、板書(shū)設(shè)計(jì),3.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,1、倒數(shù)關(guān)系 2、商數(shù)關(guān)系 3、平方關(guān)系,例1,例2,例3,練習(xí)題,謝謝指導(dǎo),
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