有限元與有限差分法基礎(chǔ)

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1、1,第二講 有限元與有限差分法基礎(chǔ),CAE的工具： 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、邊界元法（BEM）、有限體積法（FVM）、無網(wǎng)格法等等 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法,2,“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世紀(jì)40年代初期就有人提出，但真正用于工程中則是電子計算機(jī)出現(xiàn)以后。 “ 有限元法 ” 這一名稱是1960年美國的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇題為 “平面應(yīng)力分析的有限元法” 論文中首先使用。此后，有限元法的應(yīng)用得到蓬勃發(fā)展。 到20世紀(jì)80年代初期國際上較大型的結(jié)構(gòu)分析有限元通用程序多達(dá)幾百種，從而為工程應(yīng)用提供了方便條件。由于有限元通用

2、程序使用方便，計算精度高，其計算結(jié)果已成為各類工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計和性能分析的可靠依據(jù)。,3,有限元法最初用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計，由于它在理論上的通用性，因而它可用于解決工程中的許多問題。 目前，它可以解決幾乎所有的連續(xù)介質(zhì)和場的問題，包括熱傳導(dǎo)、電磁場、流體動力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、原子工程和生物醫(yī)學(xué)等方面的問題。 機(jī)械設(shè)計中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機(jī)床、汽車、飛機(jī)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形分析（包括熱應(yīng)力和熱變形分析）。 有限元法不僅可以解決工程中的線性問題、非線性問題，而且對于各種不同性質(zhì)的固體材料，如各向同性和各向異性材料，粘彈性和粘塑性材料以及流體均能求解； 對于工程中最有普遍意義的非穩(wěn)態(tài)問題

3、也能求解。,4,2.1 有限元法基礎(chǔ),基本思想： 將一個連續(xù)求解域（對象）離散（剖分）成有限個形狀簡單的子域（單元） 利用有限個節(jié)點(diǎn)將各子域連接起來 在給定的初始條件和邊界條件下進(jìn)行綜合計算求解，從而獲得對復(fù)雜工程問題的近似數(shù)值解,5,物理系統(tǒng)舉例,幾何體 載荷 物理系統(tǒng),,6,有限元模型,真實(shí)系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,有限元模型,有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。,定義,7,自由度（D

4、OFs）,自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。,結(jié)構(gòu) DOFs,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,節(jié)點(diǎn)(node)和單元(element) 網(wǎng)格（grid）,節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。,單元: 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為

5、剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,載荷,9,節(jié)點(diǎn)和單元,信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。,,,.,.,.,A,B,.,.,.,.,.,,,,,,,,,.,.,.,A,B,.,.,.,2 nodes,,,每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。 作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。,10,,節(jié)點(diǎn)和單元,節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn) 單元類型

6、變化的。,,,,,,,,,,,,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,三維梁單元,二維或軸對稱實(shí)體單元,UX, UY,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,三維實(shí)體熱單元,TEMP,,,,,,,,,J,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元,ROTX, ROTY, ROTZ,ROTX, ROTY, ROTZ,UX, UY, UZ,,UX, UY, UZ,,,,11,為什么要離散？,1.無法得到復(fù)雜

7、實(shí)際問題的解析解 2.將域劃分成一些微小而形狀規(guī)則的單元后，便于在一個單元內(nèi)得到近似解 3.域中所有單元的解可視為該復(fù)雜問題的近似解,12,有限元分析的過程,1.連續(xù)體離散化 2.單元分析 3.整體分析 4.確定約束條件 5.方程求解 6.結(jié)果分析與討論,13,1.連續(xù)體離散化,連續(xù)體：是指所求解的對象（如物體或結(jié)構(gòu)）。 離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化）：是將所求解的對象劃分為有限 個具有規(guī)則形狀的微小塊體，把每個微小塊體稱為單元，相鄰兩個 單元之間只通過若干點(diǎn)互相連接，每個連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。 相鄰單元只在節(jié)點(diǎn)處連接，載荷也只通過節(jié)點(diǎn)在各單元之間傳 遞，這些有限個單元的集合體，即原來的連續(xù)體

8、。 *單元劃分后，給每個單元及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號； *選定坐標(biāo)系，計算各個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)； *確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。,14,單元的劃分基本上是任意的，一個結(jié)構(gòu)體可以有多種劃分結(jié)果。但應(yīng)遵循以下劃分原則： (1) 分析清楚所討論對象的性質(zhì)，例如，是桁架結(jié)構(gòu)還是結(jié)構(gòu)物，是平面問題還是空間問題等等。 (2) 單元的幾何形狀取決于結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力情況，單元的幾何尺寸(大小)要按照要求確定。一般來說，單元幾何形體各邊的長度比不能相差太大。 (3) 有限元模型的網(wǎng)格劃分越密，其計算結(jié)果越精確，但計算工作量就越大。因此，在保證計算精度的前提下，單元網(wǎng)格數(shù)量應(yīng)盡量少。 (4) 在進(jìn)行網(wǎng)格疏密布局時，應(yīng)

9、力集中或變形較大的部位，單元網(wǎng)格應(yīng)取小一些，網(wǎng)格應(yīng)劃分得密一些，而其他部分則可疏一些。,15,(5) 在設(shè)計對象的厚度或者彈性系數(shù)有突變的情況下，應(yīng)該取相應(yīng)的突變線作為網(wǎng)格的邊界線； (6) 相鄰單元的邊界必須相容，不能從一單元的邊或者面的內(nèi)部產(chǎn)生另一個單元的頂點(diǎn)。 (7) 網(wǎng)格劃分后，要將全部單元和節(jié)點(diǎn)按順序編號，不允許有錯漏或者重復(fù)。 (8) 劃分的單元集合成整體后，應(yīng)精確逼近原設(shè)計對象。原設(shè)計對象的各個頂點(diǎn)都應(yīng)該取成單元的頂點(diǎn)。 所有網(wǎng)格的表面頂點(diǎn)都應(yīng)該在原設(shè)計對象的表面上。所有原設(shè)計對象的邊和面都應(yīng)被單元的邊和面所逼近。,16,有限元分析模型圖例,將懸臂梁劃分為許多三角形單元 三角形

10、單元的三個頂點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn) 載荷直接施加在節(jié)點(diǎn)上,懸臂梁及其有限元模型,17,2.單元分析,連續(xù)體離散化后，即可對單元體進(jìn)行特性分析，簡稱為單元分析。 單元分析工作主要有兩項(xiàng)： (1)選擇單元位移模式(位移函數(shù)) 用節(jié)點(diǎn)位移來表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，就需 搞清各單元中的位移分布。 一般是假定單元位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)形式多為多項(xiàng)式。 根據(jù)所選定的位移模式，就可以導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移來表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。,18,2.單元分析(2),(2) 分析單元的特性，建立單元剛度矩陣 進(jìn)行單元力學(xué)特性分析，將作

11、用在單元上的所有力（表面 力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷； 采用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元的平衡方程，求得單元內(nèi)節(jié) 點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系矩陣單元剛度矩陣。,19,3. 整體分析,把各個單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點(diǎn)力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。 集成過程所依據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。,20,4. 確定約束條件,由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，在求解之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定求解對象問題的邊界約束條件，并對這些方程進(jìn)行適當(dāng)修正。,21,5. 有限元方程求解,應(yīng)用有限元法求解機(jī)械結(jié)構(gòu)應(yīng)力類問題時，根據(jù)未知量和分析 有三種基

12、本解法：,位移法 力法 混合法,22,(1)位移法 以節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，通過選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)，進(jìn)行單元的力學(xué)特性分析。在節(jié)點(diǎn)處建立單元剛度方程，再組合成整體剛度矩陣，求解出節(jié)點(diǎn)位移后，進(jìn)而由節(jié)點(diǎn)位移求解出應(yīng)力。 位移法優(yōu)點(diǎn)是比較簡單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫計算機(jī)程序。所以得到廣泛應(yīng)用，其缺點(diǎn)是精度稍低。 (2)力法 以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，在節(jié)點(diǎn)處建立位移連續(xù)方 程，求解出節(jié)點(diǎn)力后，再求解節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力。 力法的特點(diǎn)是計算精度高。 (3)混合法 取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，建立平衡方程進(jìn)行求解。,,23,單元特性的推導(dǎo)方法,單元剛度矩陣的推導(dǎo)是有限元分析的基本步

13、驟之一。目前，建立單元剛度矩陣的方法主要有以下四種：, 直接剛度法 虛功原理法 能量變分法 加權(quán)殘數(shù)法,24,1. 直接剛度法 直接剛度法是直接應(yīng)用物理概念來建立單元的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這一方法僅能適用于簡單形狀的單元，如梁單元。但它可以幫助理解有限元法的物理概念。,圖1所示是xoy平面中的一簡支梁簡圖，現(xiàn)以它為例，來說明用直接剛度法建立單元剛度矩陣的思想和過程。,圖1平面簡支梁元及其計算模型,25, 梁在橫向外載荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)生彎曲變形，在水平載荷作用下產(chǎn)生線位移。 對于該平面簡支梁問題： 梁上任一點(diǎn)受有三個力的作用： 水平力Fx， 剪切力F

14、y ， 彎矩Mz。 相應(yīng)的位移為： 水平線位移u， 撓度v ， 轉(zhuǎn)角 z 。,由上圖可見：,,,水平線位移和水平力向右為正， 撓度和剪切力向上為正， 轉(zhuǎn)角和彎矩逆時針方向?yàn)檎? 通常規(guī)定：,26,為使問題簡化，可把圖示的梁看作是一個梁單元。 如圖1所示，當(dāng)令左支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) i ，右支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) j 時， 則該單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力可以分別表示為：,,,稱為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。,稱為單元的節(jié)點(diǎn)力列陣；若 F 為外載荷，則稱為載荷列陣。,（1-1）,（1-2）,寫成矩陣形式為,q(e)=ui ,vi , zi ,vj ,uj , zjT,ui ,vi , zi ,vj ,uj , zj,F(e)

15、=Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,MzjT,Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,Mzj,27,顯然，梁的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移是有聯(lián)系的。在彈性小變形范圍 內(nèi)，這種關(guān)系是線性的，可用下式表示,,,或,（1-3b）,（1-3a）,28,上式(1-3b)稱為單元有限元方程，或稱為單元剛度方程，它代表了單元的載荷與位移之間（或力與變形之間）的聯(lián)系； 式中，K(e)稱為單元剛度矩陣，它是單元的特性矩陣。,對于圖1所示的平面梁單元問題，利用材料力學(xué)中的桿件受力與變形間的關(guān)系及疊加原理，可以直接計算出單元剛度矩陣K(e)中的各系數(shù) kst( s, t = i, j ) 的數(shù)值,2

16、9,2. 虛功原理法,下面以平面問題中的三角形單元為例，說明利用虛功原理法來建立單元剛度矩陣的步驟。 如前所述，將一個連續(xù)的彈性體分割為一定形狀和數(shù)量的單元，從而使連續(xù)體轉(zhuǎn)換為有限個單元組成的組合體。單元與單元之間僅通過節(jié)點(diǎn)連結(jié)，除此之外再無其他連結(jié)。也就是說，一個單元上的只能通過節(jié)點(diǎn)傳遞到相鄰單元。,從分析對象的組合體中任取一個三角形單元： 設(shè)其編號為 e ， 三個節(jié)點(diǎn)的編號為i、j、m， 在定義的坐標(biāo)系 xoy 中，節(jié)點(diǎn)坐 標(biāo)分別為(x j , y j)、(xi , y i)、(xm, ym)，如圖2所示。,圖2三節(jié)點(diǎn)三角形單元,30,由彈性力學(xué)平面問題的特點(diǎn)可知，單元每個節(jié)點(diǎn)有兩個位移分

17、 量，即每個單元有6個自由度，相應(yīng)有6個節(jié)點(diǎn)載荷，寫成矩陣形式， 即,單元節(jié)點(diǎn)載荷矩陣： F(e)=Fxi ,Fyi ,Fxj ,Fyj ,Fxm ,FymT,單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣： q(e)=ui ,vi ,uj ,vj ,um ,vmT,圖2三節(jié)點(diǎn)三角形單元,31,(1)設(shè)定位移函數(shù),按照有限元法的基本思想：首先需設(shè)定一種函數(shù)來近似表達(dá)單元內(nèi)部的實(shí)際位移分布，稱為位移函數(shù)，或位移模式。,三節(jié)點(diǎn)三角形單元有6個自由度，可以確定 6個待定系數(shù)，故三角形單元的位移函數(shù)為,（1-4）,式(1-4)為線性多項(xiàng)式，稱為線性位移函數(shù)，相應(yīng)的單元稱為線性單元。,,u=u(x,y)= 1+ 2x+ 3y v=v

18、(x,y)= 4+ 5x+ 6y,32,上式(5-5)也可用矩陣形式表示，即,式中，d為單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列陣。,（1-5）,33,由于節(jié)點(diǎn) i、j、m 在單元上，它們的位移自然也就滿足位移函數(shù)式(1-4)。 設(shè)三個節(jié)點(diǎn)的位移值分別為( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，將節(jié) 點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(1-4)，得,,,34,,（1-6）,,式中,（1-7）,由上可知，共有6個方程，可以求出6個待定系數(shù)。解方程，求得 各待定系數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移之間的表達(dá)式為,為三角形單元的面積。其中：,35,,（1-8）,將式(1-7)及式(1-8)、式(1-9)代入式(1-6)中，得到,（

19、1-9）,（1-10）,36,式中，矩陣N 稱為單元的形函數(shù)矩陣； 為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣。 其中， 為單元的形函數(shù)，它們反映單元內(nèi)位移的 分布形態(tài)，是x, y 坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，且有,,,,（1-11）,式(1-10)又可以寫成,（1-12）,,上式清楚地表示了單元內(nèi)任意點(diǎn)位移可由節(jié)點(diǎn)位移插值求出。,,37,(2) 利用幾何方程由位移函數(shù)求應(yīng)變,根據(jù)彈性力學(xué)的幾何方程 ， 線應(yīng)變 剪切應(yīng)變 則應(yīng)變列陣可以寫成,,,,式中，B稱為單元應(yīng)變矩陣，它是僅與單元幾何尺寸有關(guān)的常量矩陣，即,（1-13）,38,,（1-14）,上述方程(1-13)稱為

20、單元應(yīng)變方程，它的意義在于： 單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變分量亦可用基本未知量即節(jié)點(diǎn)位移分量來表示。,39,(3)利用廣義虎克定律求出單元應(yīng)力方程,根據(jù)廣義虎克定律，對于平面應(yīng)力問題,上式（1-15）也可寫成,（1-15）,（1-16）,,式中， 為應(yīng)力列陣； D 稱為彈性力學(xué)平面問題的彈性矩陣，并有,,,40,則有如下單元應(yīng)力方程,由式(1-18)可求單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力分量，它也可用基本未知量即 節(jié)點(diǎn)位移分量來表示。,（1-17）,（1-18）,41,,,(4)由虛功原理求單元剛度矩陣,根據(jù)虛功原理，當(dāng)彈性結(jié)構(gòu)受到外載荷作用處于平衡狀態(tài)時， 在任意給出的微小的虛位移上

21、，外力在虛位移上所做的虛功 AF等 于結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所存儲的虛變形勢能 A ，即,,設(shè)處于平衡狀態(tài)的彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)任一單元發(fā)生一個微小的虛位移， 則單元各節(jié)點(diǎn)的虛位移 為,（1-20）,（1-21）,（1-19）,則單元內(nèi)部必定產(chǎn)生相應(yīng)的虛應(yīng)變，故單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛應(yīng)變 為,42,,,顯然，虛應(yīng)變和虛位移之間關(guān)系為,,設(shè)節(jié)點(diǎn)力為,,則外力虛功為,,（1-24）,（1-22）,（1-23）,單元內(nèi)的虛變形勢能為,43,,根據(jù)虛功原理,,,,因?yàn)?（1-26）,（1-25）,代人式(1-25)，則有,式中， ，均與坐標(biāo) x, y 無關(guān)，故可以從積分符號中提出，可得：,44,,,,其中，單元剛

22、度矩陣,（1-27）,式(1-27)稱為單元有限元方程，或稱單元剛度方程，其中 是單元剛度矩陣。,（1-28）,,因?yàn)槿切螁卧浅?yīng)變單元，其應(yīng)變矩陣B 、彈性矩陣D 均為常量，而 ，所以式(1-28)可以寫成,（1-29）,45,,,式中，t 為三角形單元的厚度； 為三角形單元的面積。,,對于圖2所示的三角形單元，將D 及B代入式(1-28)，可以得到單元剛度為,（1-30）,,,式中: K為66階矩陣，其中每個子矩陣為22階矩陣，由下式給出,（1-31）,46,,按照力學(xué)的一般說法，任何一個實(shí)際狀態(tài)的彈性體的總位能是 這個系統(tǒng)從實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動到某一

23、參考狀態(tài)(通常取彈性體外載荷為 零時狀態(tài)為參考狀態(tài))時它的所有作用力所做的功。彈性體的總位 能 是一個函數(shù)的函數(shù)，即泛函，位移是泛函的容許函數(shù)。,從能量原理考慮，變形彈性體受外力作用處于平衡狀態(tài)時，在 很多可能的變形狀態(tài)中，使總位能最小的就是彈性體的真正變形， 這就是最小位能原理。用變分法求能量泛函的極值方法就是能量變 分原理。能量變分原理除了可解機(jī)械結(jié)構(gòu)位移場問題以外，還擴(kuò)展 到求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。,3. 能量變分原理法,47,,該方法是將假設(shè)的場變量的函數(shù)(稱為試函數(shù))引入問題的控制方程式及邊界條件，利用最小二乘法等方法使殘差最小，便得到近似的場變量函數(shù)形式。 該方

24、法的優(yōu)點(diǎn)是不需要建立要解決問題的泛函式，所以，即使沒有泛函表達(dá)式也能解題。,4. 加權(quán)殘數(shù)法,48,有限元解的收斂性 有限元解是近似解 近似解是否收斂于真實(shí)解、近似解收斂速度、近似解的穩(wěn)定性 近似解的收斂條件: 1.完備性準(zhǔn)則（必要條件） 試探函數(shù)（插值函數(shù)）的次數(shù)（m）不小于場函數(shù)的最高可導(dǎo)階數(shù) 2.協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則（充分條件） 試探函數(shù)在m-1次連續(xù)可導(dǎo)。,49,有限元分析的誤差,,有限元 分析誤差,,建模誤差,計算誤差,,離散誤差,物理離散誤差,幾何離散誤差,,邊界條件誤差,單元形狀誤差,,舍入誤差,截斷誤差,插值函數(shù)與真實(shí)函數(shù)之間的差異 1.減小單元特征尺寸，稱為h法 2.提高插值函數(shù)的階次

25、，稱為p法,單元組合體與求解對象幾何形狀的差異 1.網(wǎng)格局部加密 2.選用邊或面上帶有節(jié)點(diǎn)的單元,邊界條件的復(fù)雜性 1.準(zhǔn)確測定，完善模型 2.細(xì)分邊界網(wǎng)格,單元嚴(yán)重畸變而退化 細(xì)分局部網(wǎng)格或者控制調(diào)整關(guān)鍵區(qū)域的網(wǎng)格,數(shù)據(jù)儲存,計算方法、解題性質(zhì)、解題規(guī)模,注意網(wǎng)格的劃分 選擇合適的解算方法 控制解題的規(guī)模,減少運(yùn)算次數(shù)，降低解題規(guī)模,選擇合適的解算方法，控制解題規(guī)模,50,材料成形中的非線性問題,1.材料非線性 材料本構(gòu)方程非線性 彈塑性、剛彈性、剛黏塑性、黏彈塑性 2.幾何非線性 3.邊界非線性,51,2.2 有限差分法基礎(chǔ),一種直接將微分問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題的近似數(shù)值解法。 基本思想

26、數(shù)值微分法 是把連續(xù)的定解區(qū)域劃分成差分網(wǎng)格，用有限個節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域。 把原方程和定解條件中的微商用差商來近似 把原微分方程和定解條件近似地用代數(shù)方程組代替，即有限差分方程,52,差分網(wǎng)格通常為矩形在邊界不規(guī)則或者形狀復(fù)雜時精度降低,有限元網(wǎng)格,有限差分網(wǎng)格,53,差分概念,自變量x的解析函數(shù) y =f (x)，則有： dx,dy自變量和函數(shù)的微分 函數(shù)對自變量的一階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)對自變量的一階差商,,差商,54,差分方向,向前差分 向后差分 中心差分,55,差商的截斷誤差,將函數(shù)f (x+x)按Taylor級數(shù)展開 向前 向后 中心,56,,二階中心差商 通常采用向前差商的向后差商

27、 截斷誤差與(x)2 同一數(shù)量級 一階向前差商 一階向后差商 一階計算精度 一階中心差商 二階中心差商 二階計算精度,57,我們在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，x=y=h，如圖。,設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在--上,它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：,58,我們將只考慮離開結(jié)點(diǎn)充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡寫為：,在結(jié)點(diǎn)，x=x0-h, 在結(jié)點(diǎn)1, x=x0+h，代入(b) 得：,59,聯(lián)立(c),(d),解

28、得差分公式：,同理，在網(wǎng)線--上可得到差分公式,60,從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：,61,相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。,以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來表示一個端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。,中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。,62,邊界元法簡介,邊界元法（boundary element method） 一種結(jié)合有限元法和邊界積分法發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法 只在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。 適用于應(yīng)力（薄板）、流體力學(xué)、聲場、電磁場

29、等問題,63,邊界元法基本思想,以微分控制方程的基本解為權(quán)函數(shù)，利用加權(quán)余量法將區(qū)域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分，并結(jié)合求解域邊界的離散，構(gòu)建基于邊界單元的代數(shù)方程組，然后進(jìn)行計算求解 以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界元插值離散，化為代數(shù)方程組求解 降低了問題的維數(shù)，從而顯著降低了自由度數(shù) 邊界的離散比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組,64,加權(quán)余量法簡介,一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問題近似解的數(shù)學(xué)方法。 從靜力發(fā)展到了動力、穩(wěn)定、材料非線性和幾何非線性等各方面。 在求解域上建立一個試函數(shù) 試函數(shù)由完備函

30、數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過的試函數(shù)有冪級數(shù)、三角級數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。 試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏差，即余量（內(nèi)部和邊界） 引入權(quán)函數(shù)，定義消除余量的條件 加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間余量，并設(shè)法使其最小的方法。,65,設(shè)問題的控制微分方程為: 在V域內(nèi) 在S邊界上 式中 : L、B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子； f、g 為與未知函數(shù)u無關(guān)的已知函數(shù)域值； u為問題待求的未知函數(shù)。,66,,當(dāng)利用加權(quán)余量法求近似解時，首先在求解域上建立一個試函數(shù) ， 一般具有如下形式：,式中： 待定系數(shù)，也可稱為廣義坐標(biāo)；,取自完備函數(shù)集的線性無關(guān)的

31、基函數(shù)。,由于 一 般只是待求函數(shù)u的近似解，因此代入后將得不到滿足，若記：,在V域內(nèi),在S邊界上,顯然 反映了試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏差，它們分別稱 做內(nèi)部和邊界余量。,67,若在域V內(nèi)引入內(nèi)部權(quán)函數(shù) ，在邊界S上引入邊界權(quán)函數(shù) 則可建立n個消除余量的條件，一般可表示為：,不同的權(quán)函數(shù) 和 反映了不同的消除余量的準(zhǔn)則。從上 式可以得到求解待定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組。一經(jīng)解得待定 系數(shù)，由式(5.1.3)即可得所需求解邊值問題的近似解。,68,由于試函數(shù) 的不同，余量 和 可有如下三種情況， 依此加權(quán)余量法可分為： 1內(nèi)部法 試函數(shù)滿足邊界條件，也即 此時消除余量的條

32、件成為: 2邊界法 試函數(shù)滿足控制方程，也即 此時消除余量的條件為:,69,3混合法 試函數(shù)不滿足控制方程和邊界條件，此時消除余量的條件為: 顯然，混合法對于試函數(shù)的選取最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。,70,邊界元法特點(diǎn),1 前處理工作量小 2 解算規(guī)模小 3 求解奇異性問題時計算精度高 4 在載荷集中和半無限域等問題上有優(yōu)勢 相對于有限元法，邊界元法發(fā)展較慢，,71,有限元法解決應(yīng)力集中問題,在應(yīng)力分析中對于應(yīng)力集中區(qū)域必須劃分很多的單元，從而增加了求解

33、方程的階數(shù)，計算費(fèi)用也就隨之增加 用位移型有限元法求解出的應(yīng)力的精度低于位移的精度，對于一個比較復(fù)雜的問題必須劃分很多單元，相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸人量就很大，同時，在輸出的大量信息中，又有許多并不是人們所需要的。,72,1.使問題的維數(shù)降低一維 原為三維空間的可降為二維空間，原為二維空間的問題可降為一維。 2.只需將邊界離散而需將區(qū)域離散化 所劃分的單元數(shù)目遠(yuǎn)小于有限元，這樣它減少了方程組的方程個數(shù)和求解問題所需的數(shù)據(jù)，不但減少了準(zhǔn)備工作，而且節(jié)約了計算時間。,邊界元法與有限元法比較,73,3.由于直接建立在問題控制微分方程和邊界條件上的，不需要事先尋找任何泛函。有限元法是以變分問題為基礎(chǔ)，如果泛函不存

34、在就難于使用。 可以求解經(jīng)典區(qū)域法無法求解的無限域類問題。 4.由于邊界元法引入基本解，具有解析與離散相結(jié)合的特點(diǎn)，因而具有較高的精度。,74,邊界元法的缺點(diǎn),對于非均值和非線性問題求解比較困難 用邊界元法解非線性問題時，遇到同非線性項(xiàng)相對應(yīng)的區(qū)域積分，這種積分在奇異點(diǎn)附近有強(qiáng)烈的奇異性，使求解遇到困難。,75,用迭代法可逐步精確方程 根的近似值，但必須要找到 的等價方程 ,如果 選得不合適,不僅影響收斂速度,而且有可能造成迭代格式發(fā)散。能否找到一種迭代方法, 結(jié)構(gòu)簡單,收斂速度快。這里通過牛頓迭代法的簡單介紹，使大家了解數(shù)值求解過程。,牛頓迭代法,,,,,,計算方法,76,計算方法,取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:,,重復(fù)上述過程 ,作為第一次近似值,一、牛頓迭代法,基本思想：將非線性方程f(x)=0 線性化,Newton 迭代公式,77,計算方法,二、牛頓法的幾何意義,,,,,x 1,x 2,,,牛頓法也稱為切線法,78,計算方法,例 1 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.,解 Newton迭代格式為,79,計算方法,例2,解：設(shè),取,則由Newton迭代公式,用 Newton 迭代法求,選取初始值,