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1、第 16講 圖形的相似與位似 遼寧專用 4 相似三角形的性質(zhì)及判定 (1)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ， 對(duì)應(yīng)邊成比例 ， 對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平 分線的比都等于相似比 ， 周長比等于相似比 ， 面積比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 (或兩邊的延長線 )相交 ， 所截得的三 角形與原三角形相似； 兩角對(duì)應(yīng)相等 ， 兩三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等 ， 兩三角形相似； 三邊對(duì)應(yīng)成比例 ， 兩三角形相似； 兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 ， 兩直角三角形相似； 直角三角形中被斜邊
2、上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似 5 相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角 相等 ， 對(duì)應(yīng)邊 成比例 (2)相似多邊形周長之比等于 相似比 ， 面積之比等于 相似比的平方 6 射影定理 如圖 ， ABC中 ， ACB 90 ， CD是斜邊 AB上的高 ， 則有下列結(jié)論 (1)AC2 ADAB； (2)BC2 BDAB； (3)CD2 ADBD； (4)AC2 BC2 AD BD； (5)ABCD ACBC. 7 相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 (1) 運(yùn)用三角形相似的判定條件和性質(zhì)解決實(shí)際問題的方法步驟： 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題； 找出一對(duì)三
3、角形并證明相似； 根據(jù)相似三角形的性質(zhì) ， 表示出相應(yīng)的量 ， 并求解 (2) 運(yùn)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題： 如利用光的反射定律求物體的高度 ， 利用影子計(jì)算建筑物的高度同一時(shí)刻 ， 物高與影長成正比例 ， 有 身高 影長 建筑物的高度 建筑物的影長 . 8 圖形的位似 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅 相似 ， 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn) ， 這 樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做 位似中心 (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 位似比 (3)在平面直角坐標(biāo)系中 ， 如果位似變換是以原點(diǎn)為中心 ， 相似比為 k， 那么 位似圖形
4、對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于 k或 k. (4)利用位似圖形將一個(gè)圖形放大或縮小 ， 其步驟為：確定位似中心； 確定原圖形中的頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；描出新圖形 命題點(diǎn) 1 相似三角形的性質(zhì)與判定 1 (2014沈陽 8題 3分 )如圖 ， 在 ABC中 ， 點(diǎn) D在邊 AB上 ， BD 2AD， DE BC交 AC于點(diǎn) E， 若線段 DE 5， 則線段 BC的長為 ( ) A 7.5 B 10 C 15 D 20 2 (2014本溪 9題 3分 )如圖 ， 已知 ABC和 ADE均為等邊三角形 ， D在 BC上 ， DE與 AC相交于點(diǎn) F， AB 9， BD 3， 則 CF等
5、于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C B 命題點(diǎn) 1 相似三角形的性質(zhì)與判定 3 (2015阜新 10題 3分 )如圖 ， 點(diǎn) E是 ABCD的邊 AD的中點(diǎn) ， 連接 CE交 BD于點(diǎn) F ， 如果 S DEF a， 那么 S BCF _____ 4 (2014葫蘆島 13題 3分 )如圖 ， AE， BD交于點(diǎn) C， BA AE于點(diǎn) A， ED BD于 點(diǎn) D， 若 AC 4， AB 3， CD 2， 則 CE ____________ 4a 52 命題點(diǎn) 1 相似三角形的性質(zhì)與判定 5 (2016本溪 17題 3分 )如圖 ， ABC中 ， AC 6，
6、AB 4， 點(diǎn) D與點(diǎn) A在直線 BC的同側(cè) ， 且 ACD ABC， CD 2， 點(diǎn) E是線段 BC延長線上的動(dòng)點(diǎn) ， 當(dāng) DCE和 ABC相似時(shí) ， 線段 CE的長為 ______________ 43或 3 命題點(diǎn) 1 相似三角形的性質(zhì)與判定 6 ( 2016 錦州 14 題 3 分 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， 點(diǎn) D 為 AC 上一點(diǎn) ， 且 CD AD 1 2 ， 過點(diǎn) D 作 DE BC 交 AB 于點(diǎn) E ， 連接 CE ， 過點(diǎn) D 作 DF CE 交 AB 于點(diǎn) F. 若 AB 15 ， 則 EF _______ 103 命題點(diǎn) 2 位似及其
7、性質(zhì) 1 (2015遼陽 9題 3分 )如圖 ， 在邊長為 1的小正方形組成的網(wǎng)格中 ， 建立平面直 角坐標(biāo)系 ， ABO與 ABO是以點(diǎn) P為位似中心的位似圖形 ， 它們的頂點(diǎn)均在 格點(diǎn) (網(wǎng)格線的交點(diǎn) )上 ， 則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ( ) A (0， 0) B (0， 1) C ( 3， 2) D (3， 2) C 命題點(diǎn) 2 位似及其性質(zhì) 2 (2015營口 8題 3分 )如圖 ， ABE和 CDE是以點(diǎn) E為位似中心的位似圖形 ， 已知點(diǎn) A(3， 4)， 點(diǎn) C(2， 2)， 點(diǎn) D(3， 1)， 則點(diǎn) D的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B的坐標(biāo)是 ( ) A (4， 2) B (
8、4， 1) C (5， 2) D (5， 1) C 命題點(diǎn) 2 位似及其性質(zhì) 3 (2016鐵嶺 17題 3分 )如圖 ， 正方形 ABCD的頂點(diǎn) A， B的坐標(biāo)分別為 ( 2， 0) ， ( 1， 0)， 頂點(diǎn) C， D在第二象限內(nèi) 以原點(diǎn) O為位似中心 ， 將正方形 ABCD放 大為正方形 ABCD， 若點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (2， 0)， 則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 _________ 4 (2016朝陽 12題 3分 )已知在平面直角坐標(biāo)系中 ， 點(diǎn) A( 3， 1)、 B( 2， 4)、 C( 6， 5)， 以原點(diǎn)為位似中心將 ABC縮小 ， 位似比為 1 2， 則點(diǎn) B的 對(duì)
9、應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ___________________ (4， 2) ( 1， 2)或 (1， 2) 命題點(diǎn) 2 位似及其性質(zhì) 5 (2016營口 15題 3分 )如圖 ， 在邊長為 1的小正方形組成的網(wǎng)格中 ， 建立平面直 角坐標(biāo)系 ， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn) (網(wǎng)格線的交點(diǎn) )上 ， 以原點(diǎn)為位似中心 ， 畫 A1B1C1， 使它與 ABC的相似比為 2， 則點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B1的坐標(biāo)是 _____________________ (1 ， 12 )和 (1 ， 12 ) 命題點(diǎn) 2 位似及其性質(zhì) 6 (2016錦州 18題 6分 )如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ，
10、OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 O(0， 0)， A(1， 2)， B(3， 1)(每個(gè)方格的邊長均為 1個(gè)單位長度 ) (1)將 OAB向右平移 1個(gè)單位后得到 O1A1B1， 請(qǐng)畫出 O1A1B1； (2)請(qǐng)以 O為位似中心畫出 O1A1B1的位似圖形 ， 使它與 O1A1B1的相似比為 2 1； (3)點(diǎn) P(a， b)為 OAB內(nèi)一點(diǎn) ， 請(qǐng)直接寫出位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 _____________________________ (2a 2， 2b)或 ( 2a 2， 2b) 解： (1)作出 O1A1B1如圖； (2)如圖 ， 符合條件的位似圖形為 O2A2
11、B2、 O3A3B3. 【例 1 】 ( 2016 安徽 ) 如圖 ， ABC 中 ， AD 是中線 ， BC 8 ， B DAC ， 則線段 AC 的長為 ( ) A 4 B 4 2 C 6 D 4 3 【分析】 根據(jù) AD 是中線 ， 可求 CD ， 根據(jù)題意已知 B DAC ， 且 C 為 CBA 與 CAD 的公共角 ， 則可證得兩三角形 相似 ， 根據(jù)相似三角形對(duì) 應(yīng)邊成比例得 AC BC CD AC ， 即可求出 AC. B 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016舟山 )如圖 ， 已知 ABC和 DEC的面積相等 ， 點(diǎn) E在 BC邊上 ，
12、 DE AB交 AC于點(diǎn) F， AB 12， EF 9， 則 DF的長是 ____ 7 2 如圖 ， 在 ABC中 ， AD平分 BAC， 與 BC邊的交點(diǎn)為 D， 且 DC BC， DE AC， 與 AB邊的交點(diǎn)為 E， 若 DE 4， 則 BE的長為 ______ 8 【例 2 】 如圖 ， ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2 ， 2 ) ， B (4 ， 2 ) ， C (6 ， 4 ) ， 以原點(diǎn) O 為位似中心 ， 將 ABC 縮小為原來的一半 ， 則線段 AC 的中點(diǎn) P 變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ___________ 【分析】 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 若位似
13、變換是以原點(diǎn)為位似中心 ， 位似比 為 k ， 那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)比分別等于 k 或 k ， 根據(jù)題意線段 AC 的中點(diǎn) P 變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案 (2 ， 32 ) 1 如圖 ， OAB與 OCD是以點(diǎn) O為位似中心的位似圖形 ， 相似比為 1 2， OCD 90 ， CO CD， 若 B(1， 0)， 則點(diǎn) C的坐標(biāo)為 ________ (1， 1) 2 ( 2016 南寧 ) 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分 別是 A(2 ， 2 ) ， B (4 ， 0 ) ， C (4 ， 4) (1) 請(qǐng)畫出 ABC
14、 向左平移 6 個(gè)單位長度后得到的 A 1 B 1 C 1 ； (2) 以點(diǎn) O 為位似中心 ， 將 ABC 縮小為原來的 1 2 ， 得到 A 2 B 2 C 2 ， 請(qǐng)?jiān)?y 軸 右側(cè)畫出 A 2 B 2 C 2 ， 并求出 A 2 C 2 B 2 的正弦值 解： (1)作出的 A1B1C1如圖所示 (2) A2B2C2如圖所示延長 C2B2， 作 A2D C2B2的延長線于 D， 由圖可知 ， A 2 D 1 ， C 2 D 3 ， 則 A 2 C 2 A 2 D 2 C 2 D 2 1 2 3 2 10 ， sin A 2 C 2 B 2 sin
15、 A 2 C 2 D A 2 D A 2 C 2 1 10 10 10 . 試題 ( 2016 威海 ) 如圖 ， 直線 y 1 2 x 1 與 x 軸交于點(diǎn) A ， 與 y 軸交于點(diǎn) B ， BOC 與 B O C 是以點(diǎn) A 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， 則點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ________ 錯(cuò)解 (4 ， 3 ) 剖析 在題圖所示的平面直角坐標(biāo)系中 ， 若將 BOC 以點(diǎn) A 為位似中心作 位似變換 ， 題中所涉及的位似比為 1 3 ， 但沒有明確比值左右對(duì)應(yīng)的三角形 ， 即 B O C 可能在 BOC 左側(cè) ， 也可能在 BOC 右側(cè)即 OB O B 1 3 或 O B OB 1 3 . 正解 ( 8 ， 3) 或 (4 ， 3 )
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