有限元復習

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1、有限元復習 重點掌握一般問題的描述、模型簡化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本過程、位移函數(shù)構(gòu)造、單元特性、有限元計算的具體操作（單元剛陣形成、總綱陣組裝）、邊界條件處理（載荷等效/邊界約束施加）、有限元分析的具體操作 場問題的一般描述---微分方程+邊界條件 1) 應力場----彈性力學 2) 溫度場----熱傳導 3) 電磁場----電磁學 4) 流速場----流體力學 A、B----微分算子（如對坐標或時間的微分） u----未知場函數(shù)，可為標量場（如溫度），也可為矢量場（如位移、應變、應力等） 一、基本概念 1、 平面應力/平面應變問題；空間問題/軸對稱問題；板

2、殼問題；桿梁問題；溫度場；線性問題/非線性問題（材料非線性/幾何非線性）等 1.）平面應力問題：如等厚度薄板。彈性體在一個坐標方向的幾何尺寸遠小于其他兩個方向的幾何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度變化的外力（表面力或體積力）。 在六個應力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應力分量，即 （）。 一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮三個應變分量即可。 2．）平面應變問題：如長厚壁圓筒（受均勻內(nèi)壓或外壓）重力壩 一縱向(即Z向)很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，所有一切應力分量、應變分量和位移分量都不沿

3、Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看作對稱面)，所有各點都只會有x和y方向的位移而不會有Z方向的位移，即w = 0這種問題稱為平面位移問題，習慣上常稱為平面應變問題。只剩下三個應變分量。也只需要考慮三個應力分量即可。 兩種平面問題，幾何方程，虛功方程，物理方程相同。彈性矩陣不同。 3.) 空間軸對稱問題—即彈性體內(nèi)任一點的位移、應力與應變只與坐標r、z有關(guān)，與無關(guān) ? 幾何形狀關(guān)于軸線對稱； ? 作用于其上的載荷關(guān)于軸線對稱。 ? 約束條件關(guān)于軸線對稱。 軸對稱單元的特點（與平面三角形單元的區(qū)別） ? 軸對

4、稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接； ? 節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力； ? 單元邊界是一回轉(zhuǎn)面； ? 應變分量 中出現(xiàn)了 ，即應變不是常量；且應變矩陣在r--》0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標替代節(jié)點坐標。 4.) 力學概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板 ，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。 ? 常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元

5、間同時可傳遞力和力矩，節(jié)點當作剛性節(jié)點，即節(jié)點處同時有節(jié)點力和節(jié)點力矩作用。每個節(jié)點有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉(zhuǎn)角 ? 薄板矩形/三角形單元是非協(xié)調(diào)單元（相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)）。但實踐表明，當單元細分，其解完全能收斂真實解。 2、 不同類型單元的節(jié)點自由度的理解(平面、空間) 單元類型 單元圖形 節(jié)點數(shù) 節(jié)點自由度 桿單元 2 1 梁單元 2 3 平面單元 3 2 平面四邊形 4 2 軸對稱問題 3 2 板殼單元 4 3 四面體單元 4 3 3、 有限元法的基本思想（

6、二次近似）與有限元分析的基本步驟（5步） 有限元法的基本思想: ? 先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替（ 第一次近似） ? 對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)（第二近似） ? 基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程） ? 借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。 有限元分析的基本步驟: ? 所研究問題

7、的數(shù)學建模 ? 物體離散（ 第一次近似） 網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元 邊界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷 要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形----單元的幾何特性2）一個單元內(nèi)的物理特性必須相同----單元的物理特性 ? 單元分析（第二近似） ? 整體分析與求解，整體分析的四個步驟： 1、）建立整體剛度矩陣； 2、）根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣； 3、）解方程組，求節(jié)點位移（消元法和迭代法）； 4、）根據(jù)節(jié)點位移求出應力。 ? 結(jié)果分析及后處理 4、 有限元法的基本定義（節(jié)點、單元、節(jié)點力、節(jié)點載荷）

8、? 單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域 ? 節(jié)點：單元與單元間的連接點。 ? 節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力 ? 節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載（等效）。 注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實際結(jié)構(gòu)的重大差別； 2） 節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別 5、 位移函數(shù)的構(gòu)造方法及基本條件 定義：有限單元法的基本原理是分塊近似，對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù) 1.)廣義坐標法

9、——構(gòu)造一維單元位移函數(shù)： 3節(jié)點三角形單元的位移函數(shù) 為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標 2.)插值函數(shù)法——即將位移函數(shù)表示為各個節(jié)點位移與已知插值基函數(shù)積的和。 一維：二維： Ni可為形函數(shù) ? 選擇位移函數(shù)的一般原則（基本條件）： 1）位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）； 2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。 注：為了便于微積分運算，位移函數(shù)一般采用多項式形式，在單元內(nèi)選取適當階次的多項式可得到與真實解接近的近似解 6、 位移函數(shù)的收斂性條件（協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元）及單元協(xié)調(diào)性的判斷 影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函

10、數(shù)誤差 ? 收斂準則： 1）位移函數(shù)必須包括常量應變（即線形項） ——3節(jié)點三角形單元為例證明 2）位移函數(shù)必須包括單元的剛體位移（即單元應變?yōu)?時的位移）（即常量項）（平動和轉(zhuǎn)動）， 3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）, 因為線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)。 4）位移函數(shù)應使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）,（相鄰單元在公共邊界上位移值相同）。設公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為 u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。 綜上所述，常應變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元 注：上述四個條件稱為有限元解收斂于真實解的

11、充分條件；前三個條件稱為必要條件。滿足四個條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個條件的單元稱為完備元。 7、 彈性力學的幾個基本概念（位移、應力、應變等） 剪應力互等定律； 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應變(或稱正應變) 任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應變或剪應變 8、 彈性力學的基本方程（平衡方程、幾何方程、物理方程）（注意基本假設/與非線性對比） 9、 虛功原理、最小勢能原理及變分法（里茲法） 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 10、形函數(shù)特點 即插值基函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，由節(jié)點位

12、移求單元內(nèi)任意一點的位移 1)形函數(shù)Ni為x、y坐標的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。 2)形函數(shù)Ni在i節(jié)點處的值等于1， 而在其他節(jié)點上的值為0。 3)單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。 4)形函數(shù)的值在0—1間變化。 11、 單元剛度矩陣的性質(zhì)及元素的物理意義 1.)對常應變?nèi)切螁卧簡卧獎偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸閯t它建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。 2.) 平面應力問題和平面應變問題中的單

13、元剛度矩陣 單元剛陣[K]的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。其元素的意義為：當?shù)趈個自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為0時，在第i個自由度上所施加的力。若按節(jié)點來說明，則剛陣中每個子塊表示：當節(jié)點j處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點固定時，在節(jié)點i上所施加的力。K的腳碼，標有“-”的表示水平方向，沒有標“-”的表示垂直方向。 表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所需要施加的水平節(jié)點力的大小 單元剛度矩陣的性質(zhì)：1）對稱陣 2）主對角線元素恒為正值 3）奇異陣，即|K|=0， 4）所有奇數(shù)行的對應元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應元素之和也為零。由此可見，單元剛陣各列

14、元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。

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23、 12、常用單元的特性（如單元內(nèi)部邊界位移/應變/應力分布，相鄰單元邊界的協(xié)調(diào)性分析）（常應變單元三角形/四面體；矩形單元；等參四邊形單元；矩形板單元） 1.) 三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應變?yōu)槌Ａ浚? 應變矩陣[B]反映了單元內(nèi)任一點的應變與節(jié)點位移間的關(guān)系 ?

24、應力矩陣[S]反映了單元內(nèi)任一點的應力與節(jié)點位移間的關(guān)系 ? 顯然，常應變?nèi)切螁卧膽兙仃嘯B]為常量矩陣，說明在該單元上的應力和應變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，應變及應力不連續(xù)，有突變。 2.) 矩形單元：4節(jié)點8自由度矩形單元。位移函數(shù) ? 該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元；且為等參單元 ? 應變矩陣[B]的元素是x，y的函數(shù)，應力也是隨x或y線性變化的。較常應變單元有更高的計算精度 矩形板單元： 13、等參單元定義、存在條件及特性 定義：矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應性。實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應性好的

25、單元。等參單元具有此特點。即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進行有限元離散。 ? 等參變換：采用相同的節(jié)點數(shù)和形函數(shù)，將局部坐標下的規(guī)則形狀單元轉(zhuǎn)換為總體坐標下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求 存在條件及特性： ? 等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。 ? 等參單元存在的充要條件是：[J]稱為Jacobi矩陣，由坐標變換式確定，當[J]的逆存在

26、時，則形函數(shù)對x，y的導數(shù)可求，即應變陣可求。 ? 為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應)，通常要求總體坐標系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。 ? 等參單元的優(yōu)點是當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。 ? 上述等參單元的理論公式可適應三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應增加，計算更復雜，積分更困難，實際中，很少超過3次曲線型。 ? 上述推導要求：保持坐標變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同。如取坐標變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超單元，反之，

27、為亞單元。這兩類單元的收斂性也可得到滿足。 14、邊界條件處理（載荷等效移置 集中力/均布力/線性分布力 邊界位移約束處理 固定/指定位移等） 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解)，而成為節(jié)點載荷。 載荷移置的原則：能量等效（或靜力等效原則），即單元的實際載荷與移置后的節(jié)點載荷在相應的虛位移上所做的虛功相等 ? 載荷移置的方法： 1）直接計算法（靜力等效法，虛功移置法）——在線性位移模式下 2）普遍公式法——在非線性模式下 ? 無約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程的解不唯一，所以， 必須引入幾何約束，才能求得

28、唯一解。位移約束常分為：節(jié)點固定和給定節(jié)點位移兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點載荷形成后進行，即此時[K]、{R}中的元素均已按一定順序分別儲存于相應的數(shù)組，故引入位移約束時，要求盡量不要打亂[K]、{R}的儲存順序。引入約束的方法常有：1）降階法（打亂[K]{R}的儲存順序）2）對角元素置1法3）對角元素乘大數(shù)法 對于單元公共節(jié)點上的應力，由于據(jù)不同單元求得的結(jié)果是不同的，必須進行處理， 常用方法有：1）繞點平均法2）單位面積加權(quán)平均法3）精確計算法 15、總體剛度矩陣組裝原則及總剛陣特點 1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應保證各單元在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在某一節(jié)

29、點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移， 2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點應滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)點力之和應等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷Ri， 1.) 對稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2.) 稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點5只與周圍的六個節(jié)點(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)點。在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(即與相關(guān)節(jié)點對應的七個子塊)。 3.) 帶形分布規(guī)律。 矩陣[K]的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中(包括對角線元素在內(nèi))，每行具有

30、的元素個數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計算公式是：半帶寬 d = ( 相鄰結(jié)點碼的最大差值 + 1 ) * 2 利用帶形矩陣的特點并利用對稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。 同一網(wǎng)格中，應當采用合理的節(jié)點編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。 16、固有頻率與特征向量（振型）定義及理解、振型特性(正交性) 二、基本計算及證明 1、 等效載荷計算 第三講 45/71 2、 單元剛陣計算 在單元剛陣 中，表示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，單元e在i節(jié)點引起的節(jié)點力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點引起的節(jié)點力（由

31、于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點相關(guān)的單元在i節(jié)點引起的節(jié)點力之和）。 如：計算時，與節(jié)點2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當節(jié)點3發(fā)生單位位移時，相關(guān)單元①和③同時在節(jié)點2引起節(jié)點力，將相關(guān)單元在節(jié)點2的節(jié)點力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點2的節(jié)點力 3、 總體剛度矩陣組裝 1.) 結(jié)構(gòu)中的節(jié)點編碼稱為節(jié)點的總碼，各個單元的三個節(jié)點又按逆時針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點的局部碼。在單元剛度矩陣中，把節(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。得到擴大的單元剛度方程 2.) 據(jù)節(jié)點力平衡，各個單元相應節(jié)點力疊加=節(jié)點載荷： 3.) 整理可得整體平衡方

32、程：，其中[K]為將各單元的擴大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣 4、 單元協(xié)調(diào)性證明 (相鄰單元在公共邊界上位移值相同）。設公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù), u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。 5、 振型正交性證明 正交性：任意兩個特征值對應的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設 , 三、工程結(jié)構(gòu)的有限元建模與結(jié)果分析 1、 影響有限元分析精度和成本的因素 影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差 單元類型和形態(tài)，網(wǎng)格劃分，節(jié)點編號，位移函數(shù)選擇 2、 有限元模型的基本構(gòu)成（節(jié)點數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)、邊界條件等） 3、 有限元建模的常用方法理解及應

33、用（如分步計算、局部計算、子結(jié)構(gòu)法、對稱性簡化等） 4、 單元類型選擇的一般原則 單元選擇包括兩方面的內(nèi)容： 1、）單元類型（桿、梁、板、殼、平面、實體…） 2、）單元自由度（低階單元、高階單元） 選擇原則：同一問題所選單元應使計算精度高、收斂速度快、計算量小。 桿系結(jié)構(gòu)：a、鉸接連接時，選桿單元1; b、剛性連接時，選剛架單元（梁單元3） 平面結(jié)構(gòu)：a、外載平行于平面內(nèi)，選平面單元2; b、外載不在平面內(nèi)，選彎曲板殼單元3 空間結(jié)構(gòu)：a、結(jié)構(gòu)和受力具有軸對稱性，選軸對稱單元3; b、一般實體，選三維實體單3 5、 網(wǎng)格劃分的基本原則及網(wǎng)格劃分方案分析、網(wǎng)格形態(tài)基本要求（不同劃分方案優(yōu)劣比較） 劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟性，合理的網(wǎng)格劃分應同應力梯度（應力變化率）相一致,在應力梯度大（應力急劇變化）的區(qū)域，單元小些，網(wǎng)格密些，而且網(wǎng)格劃分應由密到疏逐漸過度。