16、往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：
(a， b)，(a， b)，(a， b)，(a， b)，( a， b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a，b)， (a， b)， (a， b)， (a， b)．
其中 a， a 分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記
b， b 分別表示乙組研發(fā)成功和失敗．
1 分，否則記 0 分．試計算甲、乙兩組研
發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平．
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概
17、率．
17． 解： (1) 甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?
1， 1，1， 0， 0， 1， 1， 1， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1，
其平均數(shù)為 x 甲 ＝ 10＝ 2，
15
3
2
＝
1
1－
2
2
0－
2
2
2
方差為 s
10＋
5 ＝ .
甲
15
3
3
9
乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?
18、
1， 0，1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1，
其平均數(shù)為 x
＝
9
3
乙
15＝
5，
1
3
2
2
6
2
＝
9＋
3
6 ＝
方差為 s乙
15
1－ 5
0－ 5
25.
2
2
19、
因為 x 甲 ＞ x 乙， s甲 ＜ s乙 ，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組．
(2)記 E＝ { 恰有一組研發(fā)成功 } ．
在所抽得的
15 個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是
(a， b)， (a，b)， (a， b)， (a， b)，
(a， b)，( a， b)， (a， b)，
共 7 個，故事件 E 發(fā)生的頻率為 7 .
15
將 率 概率，即得所求概率
P(E)＝ 7
15.
4． [2014 卷江 ]
從
20、 1， 2， 3， 6 這 4 個數(shù)中一次隨機(jī)地取
2 個數(shù)， 所取 2 個數(shù)的乘
積為 6 的概率是 ________．
1
[ 解析 ]
基本事件有 (1， 2)， (1， 3)(1
， 6)， (2， 3)， (2， 6)， (3， 6)，共 6
種情況，
4.3
乘 6 的是 (1， 6)和 (2， 3)， 所求事件的概率
1
3.
3． [2014 江西卷 ]
兩 均勻的骰子， 點數(shù)之和
5 的概率等于 (
)
21、
1
1
1
1
A. 18
B.9
C.6
D.12
3． B
[ 解析 ] 兩 均勻的骰子，一共有
36 種情況，點數(shù)之和 5
的有 (1， 4)， (2，
3)， (3，2)， (4， 1)，共 4 種，所以點數(shù)之和
5 的概率
4 ＝ 1.
36
9
21．、、[2014 江西卷 ] 將 正整數(shù) 1，2，?，n( n∈N * )從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)
123?
n， F(n) 個數(shù)的位數(shù) (如
22、 n＝ 12 ，此數(shù)
123456789101112，共有 15
個數(shù)字， F(12)＝
15)， 從 個數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)字，
p(n) 恰好取到 0 的概率．
(1)求 p(100)；
(2)當(dāng) n≤ 2014 ，求 F(n)的表達(dá)式；
(3)令 g(n) 個數(shù)中數(shù)字 0 的個數(shù)， f(n) 個數(shù)中數(shù)字
9 的個數(shù)， h(n)＝ f(n)－ g(n)，S
＝ { n|h(n)＝ 1， n≤100， n∈ N * } ，求當(dāng) n∈S 時 p(n)的最大 ．
21．解：
23、 (1)當(dāng) n＝ 100 ， 個數(shù)中 共有 192 個數(shù)字，其中數(shù)字 0 的個數(shù) 11，所以
恰好取到 0 的概率 p(100) ＝ 19211.
n， 1≤ n≤ 9，
2n－ 9， 10≤ n≤ 99，
(2)F(n)＝
3n－ 108， 100≤ n≤ 999，
4n－ 1107， 1000≤ n≤ 2014.
(3)當(dāng) n＝ b(1≤ b≤ 9， b∈N * )， g(n)＝ 0；
當(dāng) n＝10k＋ b(1≤ k≤ 9， 0≤ b≤9， k∈ N* ， b∈ N) ， g(n)＝ k；
當(dāng) n＝100 ， g(n)＝ 11，即 g(n)＝
24、
0， 1≤n≤ 9，
k， n＝ 10k＋ b，1≤ k≤ 9， 0≤ b≤ 9，k∈ N * ，b∈ N，
11， n＝ 100.
同理有 f(n)＝
0， 1≤ n≤8，
k， n＝ 10k＋ b－ 1， 1≤ k≤ 8， 0≤b≤ 9， k∈ N * ， b∈ N ，
n－ 80， 89≤ n≤ 98，
20， n＝ 99， 100.
由 h(n)＝ f(n) －g(n) ＝1，可知 n＝ 9， 19， 29， 39， 49， 59，69， 79，89， 90，
所以當(dāng) n≤ 100 ， S＝ {9 ， 19，29， 39，4
25、9， 59，69， 79，89， 90} ．
當(dāng) n＝9 ， p(9)＝ 0.
當(dāng) n＝90 ， p(90)＝ g（ 90） ＝ 9 ＝ 1 . F （ 90） 171 19
當(dāng) n＝10k＋ 9(1≤ k≤ 8， k∈ N * ) ， p(n)＝
g（ n）
＝
k
＝
k
，由 y＝
k
關(guān)于 k
F（ n）
2n－ 9
20k＋9
20k＋ 9
增，故當(dāng)
n＝10k＋ 9(1≤ k≤ 8， k∈ N* ) ， p(n)的最大 p(89)
＝
8
.
26、
169
又
8 1 ，所以當(dāng) n∈ S 時， p(n)的最大值為 1
169<19
19.
18．、[2014 遼寧卷 ] 某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，
在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行
了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：
喜歡甜品
不喜歡甜品
合計
南方學(xué)生
60
20
80
北方學(xué)生
10
10
20
合計
70
30
100
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有
95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食
習(xí)慣方面
27、有差異”；
(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有
5 名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中
2 名喜歡甜品，現(xiàn)在從這 5
名學(xué)生中隨機(jī)抽取
3 人，求至多有
1 人喜歡甜品的概率．
2 n（ n11n22－n12n21）
2
附： χ＝
n
n
n
，
n
＋ 2
1
＋
2＋ ＋ 1
2 ≥ k)0.100
0.050
0.010
P(χ
28、
k
2.706
3.841
6.635
18． 解： (1)將 2 2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得
χ 2＝ n（ n11n22－ n12n21） 2＝ 100（ 60 10－20 10）2 ＝100≈ 4.762.
n
1＋ 2＋
＋ 1
＋ 2
70 30
80
20
21
n n
n
由于 4.762＞ 3.841，所以有 95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)
慣方面有差
29、異”．
(2)從 5 名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取
3 人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間
Ω＝ {( a1 ，a2 ，
b )，(a ，a ，b )， (a ，a ，b
)，(a ，b ，b )，(a ，b ，b )，(a ， b ，b
)，(a ，b ，b
2
)，(a ，
1
1
2
2
1
2
3
1
1
2
1
1
3
1
2
3
2
1
2
b1， b3)， (a2， b2， b3)， (b1， b2， b3)} ，
30、
其中 ai
表示喜歡甜品的學(xué)生，
i＝
j
表示不喜歡甜品的學(xué)生，
j＝ 1，2， 3.
1， 2， b
Ω由 10 個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．
用 A 表示“ 3 人中至多有
1 人喜歡甜品”這一事件，則
A＝ {( a1
1
2
1
1
3
，b ，b )，(a ，b
，b )，
31、(a1， b2， b3)， (a2， b1， b2)， (a2， b1， b3)， (a2 ，b2， b3)， (b1，b2，b3)} ．
事件 A 由 7 個基本事件組成，因而
P(A)＝ 7
10.
16．， [2014 山東卷 ] 海關(guān)對同時從
A， B，C 三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢
測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量
( 單位：件 )如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些
32、
商品中共抽取 6 件樣品進(jìn)行檢測．
地區(qū)
A
B
C
數(shù)量
50
150
100
(1)求這 6 件樣品中來自
A， B， C 各地區(qū)商品的數(shù)量；
(2)若在這
6 件樣品中隨機(jī)抽取
2
件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這
2 件商品來自相
同地區(qū)的概率．
33、
16． 解： (1) 因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是
6
＝
1
，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是：
50 1
＝1，150 1
50＋ 150＋
100
50
50
50
＝3， 100 1 ＝ 2.
50
所以
(2)設(shè)
A， B，C 6 件來自
三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是
A，B
34、， C 三個地區(qū)的樣品分別為：
1，3， 2.
A；B1，B2，B3；C1，C2.則抽取的這
2
件商品構(gòu)成的所有基本事件為：
{ A， B1} ， { A， B2} ， { A， B3 } ， { A， C1} ， { A， C2} ， { B1， B2} ， { B1， B3} ， { B1， C1} ， { B1， C2} ， { B2， B3}{ B2， C1} ， { B2， C2} ， { B3， C1} ， { B3，C2} ， { C1， C2} ，共 15 個．
每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本
35、事件的出現(xiàn)是等可能的．
記事件 D 為“抽取的這 2 件商品來自相同地區(qū)”，
則事件 D 包含的基本事件有
{ B1， B2} ， { B1， B3} ， { B2， B3 } ， { C1， C2} ，共 4 個．
所以 P(D )＝ 4 ，即這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率為
4
15
15.
6．[2014 陜西卷 ] 從正方形四個頂點及其中心這
5 個點中， 任取 2 個點， 則這 2 個點的
距離小于該正方形邊長的概率為
(
)
36、
1
2
3
4
A. 5
B. 5
C.5
D. 5
6．B
[解析 ] 由古典概型的特點可知從
5 個點中選取
2 個點的全部情況共有 10 種，其
中選取的
2 個點的
距離小于該正方形邊長的情況共有
4 種，故所求概率為
P＝
4
2
＝ .
10
5
16．、[2014 四川卷 ]
一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字
1， 2，3
37、，這三張卡片
除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．
隨機(jī)有放回地抽取
3 次，每次抽取 1 張，將抽取的卡片上的數(shù)字
依次記為 a， b， c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足
a＋ b＝ c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字
a， b， c 不完全相同”的概率．
16． 解： (1) 由題意， (a，b， c)所有的可能為：
(1， 1， 1)， (1，1， 2)， (1， 1， 3)， (1， 2， 1)， (1， 2， 2)， (1， 2， 3)， (1
38、，3， 1)， (1，3， 2)， (1， 3， 3)， (2， 1， 1)， (2， 1， 2)， (2， 1， 3)， (2， 2， 1)， (2， 2， 2)， (2， 2， 3)，(2， 3， 1)， (2， 3， 2)， (2，3， 3)， (3， 1， 1)， (3，1， 2)， (3， 1， 3)， (3，2， 1)， (3， 2，2)， (3，2， 3)， (3， 3，1)， (3， 3， 2)， (3， 3， 3)，共 27 種．
設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”為事件 A，
則事件 A 包括 (1， 1， 2)， (1， 2，3)， (2， 1， 3
39、)，共 3 種，
3 1 所以 P(A)＝ 27＝ 9.
1
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 a＋ b＝ c”的概率為 9.
(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a， b， c 不完全相同”為事件則事件 B 包括 (1， 1， 1)， (2， 2，2)， (3， 3， 3)，共 3 種．
B，
3 8 所以 P(B)＝ 1－ P(B)＝ 1－ 27＝ 9.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字
a， b， c 不完全相同”的概率為
8
9.
15．、 [2014 天津卷 ] 某校夏令營有 3 名男同學(xué) A， B， C 和 3 名女同學(xué) X， Y，
40、 Z，其年
級情況如下表：
一年級
二年級
三年級
男同學(xué)
A
B
C
女同學(xué)
X
Y
Z
現(xiàn)從這 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出
2 人參加知識競賽 (每人被選到的可能性相同 )．
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；
(2)設(shè) M 為事件“選出的 2 人來自不同年級且恰有
1 名男同學(xué)和
1 名女同學(xué)”，求事件
M 發(fā)生的概率．
15． 解： (1) 從 6 名同學(xué)中隨機(jī)選出 2 人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為 { A， B} ， { A，
C
41、} ， { A，X} ， { A，Y} ，{ A， Z} ，{ B，C} ， { B， X} ， { B， Y} ， { B， Z} ， { C， X} ， { C，Y} ， { C， Z} ， { X，Y} ， { X， Z} ， { Y， Z} ，共 15 種．
(2)選出的 2
人來自不同年級且恰有
1 名男同學(xué)和
1 名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為
{ A，Y} ，
{ A， Z} ， { B， X} ， { B， Z} ， { C，X} ，{ C， Y} ，共 6 種．
因此，事件
M 發(fā)生的概率 P(M)＝
6
2
1
42、5
＝ .
5
17．、 [2014 重慶卷 ] 20 名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績
(單位：分 )的頻率分布直方圖如圖 1-3
所示．
圖 1-3
(1)求頻率分布直方圖中
a 的值；
(2)分別求出成績落在
[50， 60)與 [60 ， 70)中的學(xué)生人數(shù)；
(3)從成績在 [50， 70)的學(xué)生中任選 2
人，求此
2
43、人的成績都在
[60 ， 70)中的概率．
17． 解： (1) 據(jù)直方圖知組距為 10，由
(2a＋ 3a＋ 7a＋ 6a＋2a) 10＝ 1，
解得 a＝ 1 ＝0.005.
200
(2)成績落在 [50， 60)中的學(xué)生人數(shù)為
2 0.00510 20＝2.
成績落在 [60 ， 70)中的學(xué)生人數(shù)為 3 0.005 10 20＝ 3.
(3)記成績落在 [50， 60)中的 2 人為 A1，A2，成績落在 [60，
44、70)中的 3 人為 B1， B2， B3 ，
則從成績在 [50， 70)的學(xué)生中任選 2 人的基本事件共有 10 個，即 (A1
，A2)， (A1， B1)， (A1，
B2) ， (A1，B3)，(A2， B1)， (A2， B2)， (A2，B3) ，(B1，B2)， (B1， B3)， (B2， B3)．
其中 2 人的成績都在 [60， 70)中的基本事件有
3 個，即 (B1
2
132
3
故所求概率為 P＝ 3
， B )， (B ， B )， (B
，B )．
10.
45、
K3 幾何概型
13． [2014 福建卷 ] 如圖 1-5 所示，在邊長為
1 的正方形中隨機(jī)撒
1000 粒豆子，有 180
粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為
________．
圖 1-5
13． 0.18 [解析 ] 設(shè)陰影部分的面積為 S.隨機(jī)撒 1000 粒豆子，每粒豆子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與
46、這個區(qū)域的面積近似成正比，即
S≈ 落在陰影部分中的豆子數(shù) ＝ 180 ＝ 0.18，
1 落在正方形中的豆子數(shù) 1000
所以可以估計陰影部分的面積為0.18.
5． [2014 南卷湖
] 在區(qū)間 [ －2， 3]上隨機(jī)選取一個數(shù)
X，則 X≤ 1 的概率為 ()
4
3
A. 5
B. 5
2
1
C.5
D. 5
5． B
[ 解析 ] 由幾何概型概率計算公式可得
1－（－ 2）
3
P＝
＝ .
3－（－ 2）
47、
5
6．[2014 遼寧卷 ] 若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入如圖
1-1 所示的長方形 ABCD 中，其中 AB＝ 2，
BC＝ 1，則質(zhì)點落在以
AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是
(
)
圖 1-1
π π
A. 2 B. 4
π
π
C. 6
D. 8
6． B
[ 解析 ]
由題意 AB＝ 2， BC＝ 1，可知長方形
A
48、BCD 的面積 S＝ 2 1＝2，以 AB
π
π
.故質(zhì)點落在以
AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率
P＝
2
為直徑的半圓的面積
S1＝1π 12＝
＝
2
2
2
π
4 .
15．[2014 重慶卷 ] 某校早上
8：00 開始上課， 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上
7：30～
7：50 之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早
5
分
鐘到
49、校的概率為 ________． (用數(shù)字作答 )
9
[
解析 ] 設(shè)小張到校的時間為
x，小王到校的時間為
y， (x， y)可以看成平面中的
15.32
15
47
15
47
點．試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
Ω＝ （ x， y） | 2 ≤x≤ 6 ， 2
≤y≤ 6
，這是一個正方
形區(qū)域，面積為
1
1
1
5 分鐘，所構(gòu)成的區(qū)域為
A＝ (x，
S ＝
＝ .事件
50、A 表示小張比小王早到
Ω
3
9
3
y)x－ y≥ 1
，
15≤x≤47， 15≤ y≤
47，即圖中的陰影部分，面積為
SA ＝1
1
1＝
1 .這是一
12
2
6
2
6
2
4
4
32
個幾何概型問題，所以
P(A)＝ SA ＝ 9
SΩ
32.
51、
K4
互斥事件有一個發(fā)生的概率
K5
相互對立事件同時發(fā)生的概率
20．、 [2014 全國卷 ] 設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁
4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為
0.6， 0.5， 0.5， 0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨立．
(1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率；
(2)實驗室計劃購買 k 臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值．
20． 解：記
52、
A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有
i 人需使用設(shè)備，
i＝ 0， 1， 2.
B 表示事件：甲需使用設(shè)備．
C 表示事件：丁需使用設(shè)備．
D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用設(shè)備．
E 表示事件：同一工作日 4 人需使用設(shè)備．
F 表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k.
(1)因為 P(B)＝0.6， P(C)＝ 0.4， P(Ai)＝ Ci2 0.52，i ＝ 0， 1， 2，
所以 P(D)＝ P(A1 B C＋ A2 B＋ A2 BC)＝ P(A1 B C)＋ P(A2 B)＋
53、P(A2 BC)＝ P(A1) P(B)P(C)＋ P( A2)P(B)＋ P(A2)P(B)P(C)＝0.31.
(2)由 (1) 知，若 k＝ 2，則 P(F)＝0.31＞ 0.1，
P(E)＝ P(BCA2)＝ P(B)P(C)P(A2)＝ 0.06.
若 k＝ 3，則 P(F)＝0.06＜ 0.1，
所以 k 的最小值為 3.
K6
離散型隨機(jī)變量及其分布列
22． [2014 江蘇卷 ]
盒中共有 9 個球，其中有 4 個紅球、 3 個黃球和
2 個綠球，這些球
除顏色外完全相同．
54、
(1)從盒中一次隨機(jī)取出
2 個球，求取出的
2 個球顏色相同的概率
P；
(2)從盒中一次隨機(jī)取出
4 個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為
x ， x ，x
，隨
1
2
3
機(jī)變量 X 表示 x1， x2， x3 中的最大數(shù)，求 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望
E(X)．
22．解： (1) 取到的 2 個顏色相同的球可能是
2 個紅球、 2 個黃球或
2 個綠球，所以 P＝
2
2
＋C
2
6＋ 3＋ 1
55、5
C ＋ C
2
4
3
.
2
＝
＝
18
C9
36
(2)隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為
2， 3，4.
{ X＝ 4} 表示的隨機(jī)事件是“取到的
4 個球是
4 個紅球”，故 P(X＝ 4)＝
C44
1
；
4＝
126
C9
{ X＝ 3} 表示的隨機(jī)事件是“取到的
56、4 個球是
3 個紅球和
1 個其他顏色的球，或
3 個黃
3
1
3
1
20＋ 6
球和 1 個其他顏色的球”， 故 P(X＝
C4C5＋ C3C6
3)＝
4
＝
126
＝ 13；于是 P(X＝2)＝ 1－ P(X＝
C
63
9
13 1 11
3)－ P(X＝ 4)＝ 1－ － ＝ .
所以隨機(jī)變量 X 的概率分布如下表：
X
2
3
4
P
11
13
1
14
63
57、
126
因此隨機(jī)變量
X 的數(shù)學(xué)期望
E(X)＝ 2 11＋ 313＋ 4 1 ＝ 20.
14 63 126 9
K7
條件概率與事件的獨立性
K8
離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布
20．、 [2014 全國卷 ] 設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁
4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為
0.6， 0.5， 0.5， 0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨立．
(1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率；
(2)實驗室計劃購買 k 臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的
58、概率小于 0.1，求 k 的最小值．
20． 解：記
A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有
i 人需使用設(shè)備，
i＝ 0， 1， 2.
B 表示事件：甲需使用設(shè)備．
C 表示事件：丁需使用設(shè)備．
D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備．
E 表示事件：同一工作日 4 人需使用設(shè)備．
F 表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k.
(1)因為 P(B)＝0.6， P(C)＝ 0.4， P(Ai)＝ Ci2 0.52，i ＝ 0， 1， 2，
所以 P(D)＝ P(A1 B C
59、＋ A2 B＋ A2 BC)＝ P(A1 B C)＋ P(A2 B)＋ P(A2 BC)＝ P(A1) P(B)P(C)＋ P( A2)P(B)＋ P(A2)P(B)P(C)＝0.31.
(2)由 (1) 知，若 k＝ 2，則 P(F)＝0.31＞ 0.1，
P(E)＝ P(BCA2)＝ P(B)P(C)P(A2)＝ 0.06.
若 k＝ 3，則 P(F)＝0.06＜ 0.1，
所以 k 的最小值為 3.
K9 單元綜合
2． [2014 湖南雅禮中學(xué)月考 ] 已知圓
C：x2＋y2＝12，直線 l ：4x＋ 3y＝ 25，圓 C 上任
60、
意一點 A 到直線 l 的距離小于 2 的概率為 (
)
1
1
1
1
A. 2
B. 4
C.3
D. 6
2． D
[ 解析 ]
因為圓心 (0， 0)到直線 l 的距離為 5，圓 C 的半徑為 2
3，所以直線 l
與圓 C 相離．設(shè) l 0∥ l 且圓心到 l0 的距離為
3，則滿足題意的點 A 位于 l 0，l 之間的弧上，結(jié)
合條件可求得該弧長為圓
C 周長的 1，由幾何概型的概率計算公式可知選項
D 正確．
6
13． [2014 州期末福 ] 在邊長為
61、 2 的正方形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點 M，則 |AM |＜ 1 的概率
為 ____________ ．
13. 1 π [ 解析 ] 由 |AM |<1 知，點 M 在以 A 為圓心， 1 為半徑的四分之一圓內(nèi)，故所求
16
1π
4 1
概率為 22 ＝ 16π .
3． [2014 泰安模擬 ] 從 {1 ，2， 3， 4， 5} 中隨機(jī)選取一個數(shù)
a，從 {2 ， 3，4} 中隨機(jī)選取
一個數(shù) b，則 b＞ a 的概率是 (
)
4
3
A. 5
B.
62、5
2
1
C.5
D. 5
3． C
[ 解析 ] 從兩個集合中各選一個數(shù)有
15 種選法，滿足
b>a 的選法有 (1， 2)， (1，
3)， (1，4)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 4)，共有 6
種，所以 b>a 的概率是
6
2
15
＝ .
5
1．[2014 沙聯(lián)考長
] 某停車場臨時停車按時段收費，
收費標(biāo)準(zhǔn)如下： 每輛汽車一次停車
不超過 1 小時收
63、費 6 元，超過
1 小時的部分每小時收費
8 元 (不足 1 小時按 1 小時計算 )．現(xiàn)
有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過
4 小時．
1
14
5
(1)若甲停車 1 小時以上且不超過 2 小時的概率為
3，停車費多于
元的概率為 12，求
甲的停車費為 6 元的概率；
(2) 若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費之和
為 28 元的概率．
1．解： (1) 設(shè)“一次停車不超過
1 小時”為事件 A，“一
64、次停車 1 到 2 小時”為事件
B，
“一次停車 2 到 3 小時”為事件
C，“一次停車
3 到 4 小時”為事件 D.
1
5
由已知得 P(B)＝
3， P(C＋D )＝
12.
又事件 A， B， C
，D 互斥，
1
5
1
所以 P(A)＝ 1－ 3－12＝
4，
1
所以甲的停車費為 6 元的概率為 4.
(2)易知甲、乙停車時間的基本事件有 (1，1) ，(1， 2)，(1 ， 3)， (1， 4)，(2 ，1)， (2， 2)，(2， 3)，
65、(2， 4)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3) ， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2) ， (4， 3)， (4， 4)，共 16
個．而“停車費之和為
28 元”的事件有 (1，3) ，(2，2)，(3，1)，共 3
個，所以所求概率為
3
16.
3．[2014 德期末常
] 空氣質(zhì)量已成為城市居住環(huán)境的一項重要指標(biāo)，
空氣質(zhì)量的好壞由
空氣質(zhì)量指數(shù)確定，空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重：
空氣質(zhì)
35～ 75
75～ 115
115～ 150
150～ 250
66、
≥ 250
0～ 35
量指數(shù)
空氣質(zhì)
良
輕度
中度
重度
嚴(yán)重
優(yōu)
污染
污染
污染
污染
量類別
對某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個月 (30 天 )的監(jiān)測，所得的條形統(tǒng)計圖如圖 J17- 1 所示：
圖 J17- 1
(1)估計該市一個月內(nèi)空氣受到污染的概率 (若空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于 75，則空氣受到污染 )；
(2) 在空氣質(zhì)量類別為“良”“輕度污染”“中度污染”的監(jiān)測數(shù)據(jù)中用分層抽樣的方
法抽取一個容量為 6 的樣本， 若在這 6 個數(shù)據(jù)中任取 2 個數(shù)據(jù)， 求這 2 個數(shù)據(jù)所對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別不都是輕度污染
2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類匯編：概率
