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1、 圓 的 標 準 方 程 xy O CM(x,y) 222 )()( rbyax 圓 心 C(a,b),半 徑 r若 圓 心 為 O（ 0， 0） ， 則 圓 的 方 程 為 ： 222 ryx 標 準 方 程 圓 心 (2, 4) ， 半 徑 求 圓 心 和 半 徑 圓 (x 1)2+ (y 1)2=9 圓 (x 2)2+ (y+4)2=2 .2 圓 (x+1)2+ (y+2)2=m 2圓 心 (1, 1) ， 半 徑 3圓 心 ( 1, 2) ， 半 徑 |m | 例4:求圓心在C(1， 2)，半徑為 的圓被x 軸所截得的弦長 . 2 5法1(方程法) 圓的方程為 (x 1)2 + ( y
2、 + 2)2 = 20，令y = 0，x 1 = 4，可得弦長為8. 法2(幾何法) 根據(jù)半弦、半徑、弦心距組成直角三角形求(這里，弦心距等于圓心C的縱坐標的絕對值) 圓 的 一 般 方 程2 2( 3) ( 4) 6x y 2 2 6 8 19 0 x y x y 展 開 得 2 2 0 x y Dx Ey F 任 何 一 個 圓 的 方 程 都 是 二 元 二 次 方 程反 之 是 否 成 立 ？ 圓 的 一 般 方 程2 2(1) 2 4 1 0 x y x y 配 方 得 2 2 0 x y Dx Ey F 不 一 定 是 圓 2 2( 1) ( 2) 4x y 以 （ 1， -2）
3、為 圓 心 ， 以 2為 半 徑 的 圓2 2(2) 2 4 6 0 x y x y 2 2( 1) ( 2) 1x y 配 方 得不 是 圓 練 習 判 斷 下 列 方 程 是 不 是 表 示 圓2 2(1) 4 6 4 0 x y x y 2 2( 2) ( 3) 9x y 以 （ 2， 3） 為 圓 心 ， 以 3為 半 徑 的 圓 2 2(2) 4 6 13 0 x y x y 2 2( 2) ( 3) 0 x y 表 示 點 （ 2， 3） 2, 3x y 2 2(3) 4 6 15 0 x y x y 2 2( 2) ( 3) 2x y 不 表 示 任 何 圖 形 圓 的 一 般
4、方 程2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 2 2 42 2 4D E D E Fx y （ 1） 當 時 ，2 2 4 0D E F 表 示 圓 ，, 2E D圓 心 - 2 2 2 42D E Fr （ 2） 當 時 ，2 2 4 0D E F 表 示 點 , 2E D- 2（ 3） 當 時 ，2 2 4 0D E F 不 表 示 任 何 圖 形 2 2(1) 4 6 12 0 x y x y 2 2(2)4 4 8 4 15 0 x y x y 例 1： 判 斷 下 列 二 元 二 次 方 程 是 否 表 示 圓 的 方 程 ？如 果 是 ， 請 求 出 圓 的 圓 心 及 半 徑
5、 。(1)圓 心 (-2, 3) ， 半 徑 5521-12 ） ， 半 徑，） 圓 心 （ 例 2： 求 過 點 （1， 1） ， 且 圓 心 與 已 知 圓2 2 4 6 3 0 x y x y 相 同的 圓 的 方 程(x 2)2 + ( y + 3)2 = 25 例 3： 求 過 三 點 A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的 圓 的 方程 圓 心 ： 兩 條 弦 的 中 垂 線 的 交 點 半 徑 ： 圓 心 到 圓 上 一 點xyO E A(5,1)B(7,-3)C(2,-8)幾 何 方 法方 法 一 ： 方 法 二 ： 待 定 系 數(shù) 法待 定 系 數(shù) 法解 ： 設(shè) 所
6、求 圓 的 方 程 為 ： 222 )()( rbyax 因 為 A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都 在 圓 上2 2 2 2 2 22 2 2(5 ) (1 )(7 ) ( 3 )(2 ) ( 8 )a b ra b ra b r 235abr 2 2( 2) ( 3) 25x y 所 求 圓 的 方 程 為 方 法 三 ： 待 定 系 數(shù) 法解 ： 設(shè) 所 求 圓 的 方 程 為 ：因 為 A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都 在 圓 上2 2 2 22 25 1 5 07 ( 3) 7 3 02 8 2 8 0D E FD E FD E F 4612DEF 2 2(
7、 2) ( 3) 25x y 即 所 求 圓 的 方 程 為2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 4 6 12 0 x y x y AB B (4,3)A 2 2( 1) 4x y ABM例 4： 已 知 線 段 的 端 點 的 坐 標 是 ， 端 點在 圓 上 運 動 ， 求 線 段中 點 滿 足 的 關(guān) 系 ？ 并 說 明 該 關(guān) 系 表 示 什 么 曲 線 ？解 ： 設(shè) M(x,y),則 A(2x-4,2y-3)由 已 知 將 點 A坐 標 代 入 圓 方 程 得 ：（ 2x-4+1)2+(2y-3)2=4化 簡 得 ： 12323 22 yx該 關(guān) 系 表 示 圓 例5：已知圓的
8、方程x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程 一般地，過圓(x a)2 + ( y b)2 = r2上一點M(x0，y0)的切線方程為 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2 小 結(jié)2 2 0 x y Dx Ey F 2 2 2 2 42 2 4D E D E Fx y （ 1） 當 時 ，2 2 4 0D E F 表 示 圓 ，, 2E D圓 心 - 2 2 2 42D E Fr （ 2） 當 時 ，2 2 4 0D E F 表 示 點 , 2E D- 2（ 3） 當 時 ，2 2 4 0D E F 不 表 示 任 何 圖 形 小 結(jié) ： 求 圓 的 方 程幾 何 方 法 求 圓 心 坐 標 （ 兩 條 直 線 的 交 點 ）（ 常 用 弦 的 中 垂 線 ） 求 半 徑 （ 圓 心 到 圓 上 一 點 的 距 離 ） 寫 出 圓 的 標 準 方 程 待 定 系 數(shù) 法2 2 22 2( ) ( ) 0)x a y b rx y Dx Ey F 設(shè) 方 程 為(或列 關(guān) 于 a， b， r（ 或 D， E， F）的 方 程 組解 出 a， b， r（ 或 D， E， F） ，寫 出 標 準 方 程 （ 或 一 般 方 程 ）
高中數(shù)學《圓的一般方程》課件
