高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第九節(jié) 曲線與方程課件 理.ppt

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第九節(jié) 曲線與方程,1.曲線與方程的概念 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或者適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系: (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解; (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 那么這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線. 2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系; (2)設(shè)點(diǎn):用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo); (3)列式:寫出適合條件的點(diǎn)的集合,并且用坐標(biāo)表示這一條件,建立方程f(x,y)=0; (4)化簡(jiǎn):化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式; (5)檢驗(yàn):檢驗(yàn)以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上. 3.常用的數(shù)學(xué)方法與思想 直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想.,,,,,,典例1 (2015·湖北高考)一種作圖工具如圖1所示,O是滑槽AB的中點(diǎn),短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng),長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng),且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周(D不動(dòng)時(shí),N也不動(dòng)),M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O(shè)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.,(1)求曲線C的方程. (2)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線l總與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由. 【解題思路】(1)依題意構(gòu)造等式,結(jié)合圓的方程求解;(2)對(duì)直線l的斜率不存在與存在的情況分別討論.,,,,,,,,,,,,,,,曲線方程的求解方法 1.直接法:根據(jù)形成軌跡的幾何條件和圖形性質(zhì),直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系,即題中有明顯等量關(guān)系的或者可以用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系的,這時(shí)只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式,通過化簡(jiǎn)、整理就可得到曲線的軌跡方程,由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟,也不需要特殊技巧,故稱之為直接法. 2.定義法:如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,這時(shí)可以根據(jù)軌跡的定義直接寫出軌跡方程. 3.待定系數(shù)法:根據(jù)條件可以確定曲線的類型,這時(shí)可以先設(shè)出其方程,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù),即根據(jù)題意建立方程或方程組,求解即可. 4.相關(guān)點(diǎn)法(點(diǎn)代法):如果所求動(dòng)點(diǎn)是由于另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的,而另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)又在一條已知曲線上運(yùn)動(dòng),這時(shí)通常是設(shè)法用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),再將它代入已知曲線的方程即可. 5.參數(shù)法:如果難以直接找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,可以借助中間變量,即參數(shù),建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后消去參數(shù)得到曲線的方程.這種方法的關(guān)鍵是如何選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)和如何消去參數(shù),解題的一般步驟為:引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù)(注意等價(jià)性),得到一個(gè)等價(jià)的普通方程. 6.交軌法:如果要求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題,這時(shí)一般是通過聯(lián)立動(dòng)曲線的方程構(gòu)成方程組,通過解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)(含變量參數(shù)),再消去參數(shù)得到所求交點(diǎn)的軌跡方程,這種方法經(jīng)常與參數(shù)法并用.,典例 (2015·廣東高考)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo). (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程. (3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由. 【解題思路】(1)將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程得解.(2)用直線AB的斜率表示M點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合圓C1的范圍 求解;(3)分兩種還必須況討論:①直線與曲線相切;②直線與曲線相交. 【參考答案】(1)x2+y2-6x+5=0, 配方得(x-3)2+y2=4, 故圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).,,,,,,,