高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和課件.ppt

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第五章 數(shù) 列,第4節(jié) 數(shù)列求和,,1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法． 3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．,,,,,,(3)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消___________尾若干項(xiàng)． (4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣． (5)錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．,剩下首,(6)并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.,[答案] D,2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為( ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2,[答案] C,[答案] A,4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S50＝________. [解析] S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. [答案] －25,5．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1，令bn＝nan，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為_(kāi)_______.,思路點(diǎn)撥 求出an后，bn可看作兩個(gè)數(shù)列{an}與{2an}對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和，故Sn＝Sn′＋Tn.,,[解] (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d＞0.由題意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0， 得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， 得an＝2n.,(3)若數(shù)列有周期性，先求出一個(gè)周期內(nèi)的和，再轉(zhuǎn)化其它數(shù)列(常數(shù)列)求和． 活學(xué)活用1 (2015·合肥市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.,[解析] 由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an，所以數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列，再令n＝1，求得a4＝4，每四個(gè)一組可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＝10×503＋1＝5 031. [答案] 5 031,拓展提高 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．,審題視角 利用Sn－Sn－1＝an確定{an}的性質(zhì)可求an與bn，用錯(cuò)位相減法求Tn，再尋找與bn＋1和an＋1的關(guān)系．,當(dāng)a1＝2時(shí)，a2＝5，a6＝17，此時(shí)a1，a2，a6不成等比數(shù)列，∴a1≠2； 當(dāng)a1＝1時(shí)，a2＝4，a6＝16，此時(shí)a1，a2，a6成等比數(shù)列， ∴a1＝1. ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. (2)由(1)得 Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ 由④－③，得,拓展提高 (1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．,規(guī)范答題6 分項(xiàng)數(shù)奇偶性的數(shù)列的通項(xiàng)與求和 典例 (本小題滿分12分12分)等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.,,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 審題視角 ①題目條件：等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是表中的數(shù)字，新數(shù)列{bn}是由an計(jì)算出來(lái)的． ②解題目標(biāo)：(ⅰ)從表中選出可構(gòu)成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)，則可得an. (ⅱ)化簡(jiǎn)bn，求其和．,[滿分展示] [解] (1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意； 當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意； 當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18. (3分) 所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1. (6分),(2)因?yàn)閎n＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， (8分) 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]·ln 3.,提醒：(1)從表中選數(shù)字組成等比數(shù)列，就是試驗(yàn)法，先確定a2，再看是否滿足a＝a1a3. (2)當(dāng){an}為等比數(shù)列，且an＞0時(shí)，則ln an為等差數(shù)列． (3)對(duì)于通項(xiàng)中含有(－1)n的符號(hào)變化的要分n的奇偶性求和．,[思維升華] 【方法與技巧】,非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想： (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來(lái)完成； (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和．,【失誤與防范】,1．直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論． 2．在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)． 3．在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．,