概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)A第3章

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1、 w二 維 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布 函 數(shù)w邊 緣 分 布w隨 機(jī) 變 量 的 相 互 獨(dú) 立 性 及 條 件 分 布w多 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 w一 般 二 維 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布 函 數(shù)w二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 及 其 概 率 函 數(shù)w二 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 及 其 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) w 定 義 2.2.1 設(shè) , 為 定 義 在 同 一 個(gè) 概 率 空 間( ,F,P)上 的 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 則 ( , )稱 為二 維 隨 機(jī) 變 量 。 x yX x Y y , (x,y) ;0),0()0,(),(,1)

2、,()3( FFFF ),(),(),(),( ),()4( 11211222 2121 yxFyxFyxFyxF yYyxXxP (區(qū) 域 演 示 圖 見 下 頁 )聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 性 質(zhì)(1)F(x,y) 分 別 對(duì) x和 y單 調(diào) 不 降 ；(2)F(x,y) 對(duì) 每 個(gè) 變 元 右 連 續(xù) ； x1y1 (x1,y1) x2y2 (x2,y2)(x1,y2) (x2,y1) 3.1.1二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布 3.1.1 二 維 離 散 型 r.v.的 聯(lián) 合 分 布稱 p(i,j)=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)為 (X,Y)的 聯(lián)

3、合 概 率 分 布 .其 中 E=(xi,yj),i,j=1,2,.為 (X,Y)的 取 值 集 合 ,表 格 形 式 如 下 :x1x2x i y1 y2 y j p(1,1) p(1,2) p(1,j) p(2,1) p(2,2) p(1,j) p(i,1) p(i,2) p (i, j) Y 聯(lián) 合 概 率 分 布 性 質(zhì) p（ i， j） 0 ;i,j=1,2, p(i,j) = 1; P(X,Y) D = Dyx ji jip)( , ),( 例 1 將 一 枚 均 勻 的 硬 幣 拋 擲 4次 ,X表 示 正 面 向 上 次 數(shù) ,Y表 示反 面 朝 上 次 數(shù) ,求 (X,Y)的

4、 聯(lián) 合 概 率 分 布 .解 X的 所 有 可 能 取 值 為 0,1,2,3,4,Y的 所 有 可 能 取 值為 0,1,2,3,4,因 為 X+Y=4,所 以 (X,Y)概 率 非 零 的 數(shù) 值 對(duì)為 :X Y0 41 3 2 2 3 14 0 P(X=0,Y=4)= 31 4 5.05.0C P(X=2,Y=2)= 2224 5.05.0C =1/4=6/16 P(X=3,Y=1)= 1334 5.05.0C =1/4 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16 X01234 Y 0 1 2 3 4聯(lián) 合 概 率 分 布 表 為 : 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0

5、0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0P(X=1,Y=3)= 0.54=1/16 例 2 設(shè) (X,Y) 其 它,0 0y,0 x,Ae)y,x(f )y3x2( 試 求 :(1)常 數(shù) A ;(2)P X2, Y1時(shí) ,f(x,y)=0,所 以 ,f1(x)=0當(dāng) |x|1時(shí) , 22 22 x1x1 x1 x11 dy)y,x(f)x(f 22x1 x1 dy1 2x12 所 以 , 1|x|0 1|x|x12)x(f 21 1|y|0 1|y|y12)y(f 22 同 理 ,均 勻 分 布 的 邊 緣 密 度 不 再 是 一 維 均 勻 分 布 練 習(xí)

6、設(shè) (X,Y) 其 它0 1y0,1x0 xy4)y,x(f求 (X,Y)的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) . 11解 (1)x0,或 y1時(shí) ,F(x,y)= 100 4stdtdsx 2x(5)x1,0y1時(shí) ,F(x,y)= y stdtds 010 4 2y xy XY4xy綜 合 即 得 : 1,11 10,1 1,10 10,10 000),( 22 22 yx yxy yxx yxyx yxyxF 或 隨 機(jī) 變 量 與 相 互 獨(dú) 立 , yPxPyxP )()(),( yFxFyxF yx ),(),(),( jpipjip )()(),( yfxfyxf yx 例 (X,Y)的

7、聯(lián) 合 概 率 分 布 為 :X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (1)求 X,Y的 邊 緣 分 布 ;(2)判 斷 X,Y是 否 獨(dú) 立 .(3)求 F(0,2).解 :(1)X,Y的 概 率 分 布 分 別 為 :X 0 1P 0.7 0.3 Y 0 1P 0.5 0.5(2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35 )0Y(P)0X(P)0Y,0X(P X,Y不 獨(dú) 立 .注 意 :X,Y獨(dú) 立 時(shí) ,需 對(duì) 所 有 的 (xi,yj)一 一 驗(yàn) 證 .=0.7 0.5(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7 例 設(shè) (X,Y)

8、服 從 區(qū) 域 D上 的 均 勻 分 布 ,判 斷 X,Y的 獨(dú) 立 性 ,其 中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21f1(x)= |x|1 11 dy41 21 |x|10 f2(y)= 1|y|0 1|y|21解 (1) 其 它0 1|y|,1|x|)y,x(f 41 同 理 ,)y(f)x(f)y,x(f 21 所 以 ,X,Y獨(dú) 立 .(2) 其 它0 1yx1)y,x(f 22 1|x|0 1|x|x12)x(f 21 1|y|0 1|y|y12)y(f 22 )()(),( 21 yfxfyxf X,Y不 獨(dú) 立 . 3.4 多 維 隨 機(jī)

9、變 量 的 函 數(shù) 的 分 布 的 分 布 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的 分 布Z X Y 在 第 二 章 中 ， 我 們 討 論 了 一 維隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 ， 現(xiàn) 在 我 們 進(jìn) 一步 討 論 : 當(dāng) 隨 機(jī) 變 量 X, Y 的 聯(lián) 合 分 布 已 知 時(shí) ， 如 何求 出 它 們 的 函 數(shù) Z = g ( X, Y ) 的 分 布 ? 例 1 若 X、 Y 獨(dú) 立 ， P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的 概 率 函 數(shù) .一 、 的 分 布 Z X Y 例 2 若 X

10、和 Y 相 互 獨(dú) 立 ,它 們 分 別 服 從 參 數(shù) 為的 泊 松 分 布 , 證 明 Z=X+Y服 從 參 數(shù) 為 1 2, 1 2 的 泊 松 分 布 . 例 3 設(shè) X和 Y的 聯(lián) 合 密 度 為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的 概 率 密 度 . x y z xy0 特 別 地 ， 當(dāng) X 和 Y 獨(dú) 立 ， 設(shè) (X,Y) 關(guān) 于 X , Y 的 邊緣 密 度 分 別 為 fX(x) , fY(y) , 則 上 述 兩 式 化 為 : dyyfyzfzf YXZ )()()( dxxzfxfzf YXZ )()()(下 面 我 們 用 卷 積 公 式 來 求 Z=X+Y的

11、 概 率 密 度 .卷 積 公 式 例 4 若 X 和 Y 獨(dú) 立 , 具 有 共 同 的 概 率 密 度求 Z=X+Y 的 概 率 密 度 . 其 它,0 10,1)( xxf 例 5 若 X和 Y 是 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 , 具有 相 同 的 分 布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的 概 率 密 度 . 用 類 似 的 方 法 可 以 證 明 : ),( 222121 NYXZ 若 X和 Y 獨(dú) 立 , ),(),( 222211 NYNX 結(jié) 論 又 如 何 呢 ? 此 結(jié) 論 可 以 推 廣 到 n個(gè) 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量 之 和 的 情 形 ,請(qǐng) 自 行

12、 寫 出 結(jié) 論 . 若 X和 Y 獨(dú) 立 , 具 有 相 同 的 分 布 N(0,1) , 則 Z=X+Y 服 從 正 態(tài) 分 布 N(0,2). 有 限 個(gè) 獨(dú) 立 正 態(tài) 變 量 的 線 性 組 合 仍 然 服 從 正 態(tài)分 布 .更 一 般 地 , 可 以 證 明 : 二 、 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的 分 布 設(shè) X， Y 是 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 ， 它 們 的 分布 函 數(shù) 分 別 為 FX(x) 和 FY(y),我 們 來 求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的 分 布 函 數(shù) .FM(z)=P(Mz) =P(X

13、z,Yz)由 于 X 和 Y 相 互 獨(dú) 立 ,于 是 得 到 M = max(X,Y) 的 分布 函 數(shù) 為 : =P(Xz)P(Yz)F M(z)1. M = max(X,Y) 的 分 布 函 數(shù)即 有 FM(z)= FX(z)FY(z) M z X zY z 即 有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的 分 布 函 數(shù) N z X zY z 由 于 X 和 Y 相 互 獨(dú) 立 ,于 是 得 到 N = min(X,Y) 的 分 布函 數(shù) 為 : =1- P(Xz)P(Yz)FN(z

14、) 設(shè) X1,Xn 是 n 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 ,它 們 的分 布 函 數(shù) 分 別 為 我 們 來 求 M=max(X1,Xn) 和 N=min(X1,Xn)的 分 布 函 數(shù) . (i = 1, , n) 用 與 二 維 時(shí) 完 全 類 似 的 方 法 ， 可 得 N=min(X 1,Xn)的 分 布 函 數(shù) 是 M=max(X1,Xn)的 分 布 函 數(shù) 為 : 1 2 nM X X XF z F z F z F z 1 21 1 1 1 nN X X XF z F z F z F z iXF z 特 別 地 ， 當(dāng) X1,Xn相 互 獨(dú) 立 且 具 有 相 同 分布

15、函 數(shù) F(x)時(shí) ， 有 nMF z F z 1 1 nNF z F z 例 6 設(shè) 系 統(tǒng) L 由 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 子 系 統(tǒng) 連 接 而 成 ,連 接 的 方 式 分 別 為 (i) 串 聯(lián) , (ii) 并 聯(lián) , (iii)備 用 (當(dāng) 系 統(tǒng) 損 壞 時(shí) , 系 統(tǒng) 開 始 工 作 ) , 如 下 圖所 示 .設(shè) 的 壽 命 分 別 為 已 知 它 們 的 概率 密 度 分 別 為 1 2,L L1 2,L L 1L 2L, ,X Y , 0,0, 0,xX e xf x x , 0,0, 0,yY e yf y y 0, 0 其 中 且 試 分 別 就 以 上 三 種

16、 連 接 方式 寫 出 的 壽 命 的 概 率 密 度 . L ZX Y1L 2L XY1L2L 1L XY2L 需 要 指 出 的 是 ， 當(dāng) X1,Xn相 互 獨(dú) 立 且 具 有 相同 分 布 函 數(shù) F(x)時(shí) , 常 稱M=max(X1,Xn)， N=min(X1,Xn)為 極 值 . 由 于 一 些 災(zāi) 害 性 的 自 然 現(xiàn) 象 ， 如 地 震 、 洪 水 等等 都 是 極 值 ， 研 究 極 值 分 布 具 有 重 要 的 意 義 和 實(shí) 用價(jià) 值 . 三 、 課 堂 練 習(xí)設(shè) 是 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 , 它 們 都 服 從 正態(tài) 分 布 .試 驗(yàn) 證 隨 機(jī) 變 量 具 有 概 率 密 度X Y、 20,N 2 2Z X Y 2222 , 0,0, zZ z e zf z 其 它