新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 空間幾何體的表面積與體積 空間位置關(guān)系與空間角 球與幾何體的切接問(wèn)題(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
《新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 空間幾何體的表面積與體積 空間位置關(guān)系與空間角 球與幾何體的切接問(wèn)題(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 空間幾何體的表面積與體積 空間位置關(guān)系與空間角 球與幾何體的切接問(wèn)題(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題(22頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時(shí)集訓(xùn)(五) 空間幾何體的表面積與體積 空間位置關(guān)系與空間角 球與幾何體的切接問(wèn)題 1.(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是面積為的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為( ) A. B. C.1 D. C [由等邊三角形ABC的面積為,得AB2=,得AB=3,則△ABC的外接圓半徑r=×AB=AB=.設(shè)球O的半徑為R,則由球O的表面積為16π,得4πR2=16π,得R=2,則球心O到平面ABC的距離d==1,故選C.] 2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是( ) A.α內(nèi)有
2、無(wú)數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C.α,β平行于同一條直線 D.α,β垂直于同一平面 B [對(duì)于A,α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行,當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線互相平行時(shí),α與β可能相交,所以A不正確;對(duì)于B,根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知,B正確;對(duì)于C,平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交,也可能平行,所以C不正確;對(duì)于D,垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交,也可能平行,如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面,但它們是相交的,所以D不正確.綜上可知選B.] 3.(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球
3、(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( ) A.20° B.40° C.50° D.90° B [過(guò)球心O、點(diǎn)A以及晷針的軸截面如圖所示,其中CD為晷面,GF為晷針?biāo)谥本€,EF為點(diǎn)A處的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°, ∠OAE=∠OAF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故選B.] 4.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V
4、的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( ) A.4π B. C.6π D. B [由題意得要使球的體積最大,則球與直三棱柱的若干面相切.設(shè)球的半徑為R,∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為=2,∴R≤2.又2R≤3,∴R≤. ∴Vmax=π=π.故選B.] 5.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( ) A.36π B.64π C.144π D.256π C [如圖,設(shè)球的半徑為R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=R2. ∵VO-AB
5、C=VC-AOB,而△AOB面積為定值, ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí),VO-ABC最大, ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí),體積VO-ABC最大為×R2×R=36, ∴R=6,∴球O的表面積為4πR2=4π×62=144π.故選C.] 6.(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為( ) A.64π B.48π C.36π D.32π A [如圖所示,設(shè)球O的半徑為R,⊙O1的半徑為r,因?yàn)椤袿1的面積為4π,所以4π=πr2,解得r=2.又AB=B
6、C=AC=OO1,所以=2r,解得AB=2,故OO1=2,所以R2=OO+r2=(2)2+22=16,所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.] 7.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ) A. B. C. D. A [記該正方體為ABCD-A′B′C′D′,正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,即共點(diǎn)的三條棱A′A,A′B′,A′D′與平面α所成的角都相等.如圖,連接AB′,AD′,B′D′,因?yàn)槿忮FA′-AB′D′是正三棱錐,所以A′A,A′B′,A′D′與平面AB′D′所成
7、的角都相等.分別取C′D′,B′C′,BB′,AB,AD,DD′的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,I,J,連接EF,F(xiàn)G,GH,IH,IJ,JE,易得E,F(xiàn),G,H,I,J六點(diǎn)共面,平面EFGHIJ與平面AB′D′平行,且截正方體所得截面的面積最大.又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=,所以該正六邊形的面積為6××=,所以α截此正方體所得截面面積的最大值為,故選A.] 8.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. A [根據(jù)平面與平面平行
8、的性質(zhì),將m,n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面A1B1C1D1的交線及平面CB1D1與平面DCC1D1的交線所成的角. 設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直線B1D1
9、與CD1所成角為60°,其正弦值為.] 9.(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________. [如圖,連接B1D1,易知△B1C1D1為正三角形,所以B1D1=C1D1=2.分別取B1C1,BB1,CC1的中點(diǎn)M,G,H,連接D1M,D1G,D1H,則易得D1G=D1H==,D1M⊥B1C1,且D1M=.由題意知G,H分別是BB1,CC1與球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP=,連接D1P,則D1P===,連接MG,MH,易得MG=MH=,故可知以M為圓
10、心,為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線.由∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°,所以的長(zhǎng)為×2π×=.] 10.(2020·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________. π [易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則sin∠BPE===,所以O(shè)P=3R,所以PE=4R===2,所以R=,所以內(nèi)切球的體積V=πR3=π,即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為π. ] 11.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥
11、β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的編號(hào)) ②③④ [對(duì)于①,α,β可以平行,可以相交也可以垂直,故錯(cuò)誤. 對(duì)于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確. 對(duì)于③,因?yàn)棣痢桅?,所以α,β沒有公共點(diǎn).又m?α,所以m,β沒有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m∥β,故正確. 對(duì)于④,因?yàn)閙∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅?,所以n與α所成的角和n
12、與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.] 12.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為________. 40π [如圖所示,設(shè)S在底面的射影為S′,連接AS′,SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB=·SA2·=·SA2=5,∴SA2=80,SA=4.∵SA與底面所成的角為45°,∴∠SAS′=45°,AS′=SA·cos 45°=4×=2.∴底面周長(zhǎng)l=2π·AS′=4π,∴圓錐的側(cè)面積為×4×4π=40π.] 13.(2017·全國(guó)卷Ⅲ
13、)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角; ②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角; ③直線AB與a所成角的最小值為45°; ④直線AB與a所成角的最大值為60°. 其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)) ②③ [依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為1. 由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓. 設(shè)直線a的方向向量為a=(0,1,0),直線b的方
14、向向量為b=(1,0,0),以O(shè)x軸為始邊沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為θ,θ∈[0,2π),則B(cos θ,sin θ,0), ∴=(cos θ,sin θ,-1),||=. 設(shè)直線AB與a所成夾角為α, 則cos α==|sin θ|∈, ∴45°≤α≤90°,∴③正確,④錯(cuò)誤. 設(shè)直線AB與b所成夾角為β, 則cos β==|cos θ|. 當(dāng)直線AB與a的夾角為60°,即α=60°時(shí), 則|sin θ|=cos α=cos 60°=, ∴|cos θ|=.∴cos β=|cos θ|=. ∵0°≤β≤90°,∴β=60°,即直線AB與b的夾角為60°. ∴②正確,①
15、錯(cuò)誤.] 14.(2020·全國(guó)卷Ⅰ)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos ∠FCB=________. - [依題意得,AE=AD=,在△AEC中,AC=1,∠CAE=30°,由余弦定理得EC2=AE2+AC2-2AE·ACcos∠EAC=3+1-2cos 30°=1,所以EC=1,所以CF=EC=1.又BC===2,BF=BD==,所以在△BCF中,由余弦定理得cos∠FCB===-.] 1.(2020·菏澤調(diào)研)已知m,n為直線,α為平面,且m?α,則“n⊥m”是“n⊥α”的( ) A.充分而
16、不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 B [當(dāng)直線m,n都在平面α內(nèi)時(shí),不能由m⊥n推出n⊥α;若n⊥α,且m?α,由線面垂直的性質(zhì)知m⊥n.所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分條件,故選B.] 2.(2020·惠州第一次調(diào)研)設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則α∥β的一個(gè)充分條件是( ) A.存在一條直線a,a∥α,a∥β B.存在一條直線a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D [對(duì)于A,a∥α,a∥β,則平面α
17、,β可能平行,也可能相交,所以A不是α∥β的一個(gè)充分條件.對(duì)于B,a?α,a∥β,則平面α,β可能平行,也可能相交,所以B不是α∥β的一個(gè)充分條件.對(duì)于C,由a∥b,a?α,b?β,a∥β,b∥α可得α∥β或α,β相交,所以C不是α∥β的一個(gè)充分條件.對(duì)于D,存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,如圖,在β內(nèi)過(guò)b上一點(diǎn)作c∥a,則c∥α,所以β內(nèi)有兩條相交直線平行于α,則有α∥β,所以D是α∥β的一個(gè)充分條件,故選D.] 3.[多選](2020·濟(jì)南模擬)已知a,b,c為不同的直線,α,β,γ為不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是( ) A.a(chǎn)⊥α,b⊥α,則a∥b B.α
18、⊥γ,β⊥γ,則α⊥β C.a(chǎn)∥α,b∥α,則a∥b D.α∥γ,β∥γ,則α∥β AD [A中,由a⊥α,b⊥α,利用線面垂直的性質(zhì)定理可推出a∥b,故A正確;B中,若α⊥γ,β⊥γ,則α與β平行或相交,故B不正確;C中,若a∥α,b∥α,則a與b平行,或相交,或異面,故C不正確;D中,若α∥γ,β∥γ,由面面平行的傳遞性可推出α∥β,故D正確.綜上所述,AD正確.] 4.(2020·鄭州模擬)在三棱錐A-BCD中,側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面積分別為,,,則該三棱錐的體積為( ) A. B. C.6 D.2 B [由△ABC,△AC
19、D,△ADB的面積分別為,,,且AB,AC,AD兩兩垂直,可得 三個(gè)式子相乘可得(AB·AC·AD)2=6, ∴該三棱錐的體積V=×AB·AC·AD=.故選B.] 5.(2020·德州模擬)如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成,其中圓內(nèi)切于正方形,等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)與AD的中點(diǎn)N重合,斜邊在直線BC上.已知S為BC的中點(diǎn),現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋轉(zhuǎn)一周,則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積為( ) A.πr3 B.πr3 C.2πr3 D.πr3 C [左上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積V1
20、等于半個(gè)球的體積減去一個(gè)三棱錐的體積,所以V1=πr3×-πr2·r=πr3;右上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積V2等于圓柱的體積減去半個(gè)球的體積,所以V2=πr2·r-×πr3=πr3;右下方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積V3等于圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓柱的體積,所以V3=(πr2+4πr2+2πr2)·r-πr2·r=πr3.故陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積V=V1+V2+V3=πr3+πr3+πr3=2πr3.故選C.] 6.(2020·西安模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,BC∥AD,AD=2BC,E是棱PD的中點(diǎn),PC與平面ABE交于F點(diǎn),設(shè)PF=λFC,則λ=(
21、) A.1 B.2 C.3 D.4 B [連接CA,CE,DB(圖略),由題易知λ====,因?yàn)锽C∥AD,AD=2BC,所以S△ABD=2S△ABC,因此λ===2.故選B.] 7.(2020·南昌模擬)如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M是AA1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱CC1,DD1上,且CP=D1Q=1,設(shè)平面MPQ與平面ABCD的交線為l,則l與C1D1所成角的正切值為( ) A.4 B.2 C. D. B [如圖,連接PB,MB,易知QM∥PB,延長(zhǎng)QP交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BE,易知CE=2,且平面MPQ與平面ABCD的交線為
22、BE,又DE∥D1C1,所以∠CEB即為l與C1D1所成的角,所以tan∠CEB===2.] 8.(2020·臨沂模擬)已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長(zhǎng)都相等的內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的體積是( ) A.18 B.16 C.12 D.8 A [設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2a,如圖,取球心為O,過(guò)點(diǎn)O作OO′垂直三棱柱的上底面于點(diǎn)O′,連接點(diǎn)O′與上底面頂點(diǎn)A交對(duì)棱于點(diǎn)B. 則AB=a,AO′=a,OO′=a. 在Rt△OO′A中,由勾股定理, 得OA2=OO′2+O′A2. ∵OA=,∴7=a2+a2=a2. 整理得a2=3,∴a=. ∴棱長(zhǎng)為2a=2. ∴正三棱柱的
23、體積 V=×2×2×sin 60°×2=18. 故選A.] 9.(2020·濟(jì)寧模擬)設(shè)球O是正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,若平面ACD1截球O所得的截面面積為6π,則球O的半徑為( ) A. B.3 C. D. B [如圖,易知B1D過(guò)球心O,且B1D⊥平面ACD1,不妨設(shè)垂足為M,正方體棱長(zhǎng)為a,則球半徑R=,易知DM=DB1,∴OM=DB1=a,∴截面圓半徑r==a,由截面圓面積S=πr2=6π,得r=a=,a=6,∴球O的半徑為R==3.故選B.] 10.(2020·西安模擬)將正方形ABCD中的△ACD沿對(duì)角線AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,
24、則異面直線AB與CD所成的角為( ) A.90° B.60° C.45° D.30° B [法一:如圖,連接BD,取AC,BD,AD的中點(diǎn)分別為O,M,N,連接ON,OM,MN,則由三角形的中位線定理知ONCD,MNAB,所以∠ONM或其補(bǔ)角為所求的角.連接BO,OD,因?yàn)锳B=BC,所以BO⊥AC,因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,OB?平面ABC,所以BO⊥平面ACD,所以BO⊥OD.設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則BO=OD=,所以BD=2,所以O(shè)M=BD=1,所以O(shè)N=MN=OM=1,所以△OMN是等邊三角形,所以∠ONM=60°,即異面直線AB與
25、CD所成的角為60°,故選B. 法二:如圖,設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接DO,OB,因?yàn)锳D=DC,所以DO⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,OD?平面ACD,所以DO⊥平面ABC.延長(zhǎng)BO到E,使得EO=BO,連接DE,AE,CE,易證得四邊形ABCE為正方形,所以AB∥EC,所以∠DCE或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角.設(shè)AC=2a,則EC=ED=CD=a,所以△DCE為等邊三角形,所以∠DCE=60°,即異面直線AB與CD所成的角為60°,故選B. 法三:如圖,設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接BO,OD,因?yàn)锳D=CD,AB=BC,所以DO⊥AC,OB⊥AC.因
26、為平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,OD?平面ACD,所以O(shè)D⊥平面ABC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)AC=2a,則D(0,0,a),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),所以=(-a,a,0),=(-a,0,-a),所以cos〈,〉===,所以異面直線AB與CD所成的角為60°,故選B.] 11.[多選](2020·威海模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下面結(jié)論正確的是( ) A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥平面CB1D1 C.異面直線AC與A1B成60°角
27、 D.AC1與底面ABCD所成角的正切值是 ABC [對(duì)于A,BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,∴BD∥平面CB1D1,A正確;對(duì)于B,∵AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1,連接A1C1(圖略),又A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥平面AA1C1,∴B1D1⊥AC1,同理B1C⊥AC1,∴AC1⊥平面CB1D1,B正確;對(duì)于C,易知AC∥A1C1,異面直線AC與A1B所成的角為∠BA1C1,連接BC1,易知△A1C1B為等邊三角形,∴∠BA1C1=60°,即異面直線AC與A1B成60°角,C正確;對(duì)于D,AC1與底面ABCD所成角的正切值是=≠,故D
28、不正確.故正確的結(jié)論為ABC.] 12.[多選](2020·濰坊模擬)如圖,AB是圓錐SO的底面圓O的直徑,D是圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),以AO為直徑的圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為SD的中點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是( ) A.C為AD中點(diǎn) B.△SAC為直角三角形 C.平面SAD⊥平面SBD D.平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行 ABD [如圖,連接OC,易知OC⊥AD,AD⊥BD,又O為AB中點(diǎn),∴C為AD中點(diǎn),故A正確.∵SO垂直于底面圓O,AC?底面圓O,∴AC⊥SO.∵SO∩OC=O,∴AC⊥平面SOC.又SC?平面SOC,∴AC⊥SC,∴△SAC為
29、直角三角形,故B正確.由于點(diǎn)D是圓O上的動(dòng)點(diǎn),∴平面SAD不能總垂直于平面SBD,故C錯(cuò)誤.連接DO并延長(zhǎng)交圓O于E,連接SE,PO,∵P為SD的中點(diǎn),O為DE的中點(diǎn),∴OP∥SE.又OP?平面PAB,SE?平面PAB,∴SE∥平面PAB,故D正確.] 13.(2020·廈門模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為,P為A1C1的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別為A1D,BC1(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),則PE+PF的最小值為( ) A. B. C.2 D.2 B [如圖,連接A1B,C1D,易知△A1DC1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PE的最小值為點(diǎn)P到A1D的距離,故PEmin=A1Psi
30、n 60°=,同理,△A1BC1也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以PFmin=C1Psin 60°=,所以PE+PF的最小值為.故選B.] 14.[多選](2020·棗莊模擬)已知A,B,C三點(diǎn)均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的,則下列結(jié)論正確的是( ) A.球O的表面積為6π B.球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1 C.球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為 D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2 AD [設(shè)球O的半徑為r,△ABC的外接圓圓心為O′,半徑為R.易得R=.因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的,所以r2-r2=,得r2=.所以球O的表面積S=4π
31、r2=4π×=6π,選項(xiàng)A正確;球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)a滿足a=2r,顯然選項(xiàng)B不正確;球O的外切正方體的棱長(zhǎng)b滿足b=2r,顯然選項(xiàng)C不正確;球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)c滿足c=r=×=2,選項(xiàng)D正確.] 15.[多選](2020·濟(jì)寧模擬)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=,點(diǎn)P為△BDC1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),則△A1PC1可能為( ) A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形 BCD [連接AC,與BD交于點(diǎn)O,連接A1O,C1O,A1B,A1D(圖略). 依題意得,AC⊥BD,AA1⊥BD,又AC∩AA1=A,∴BD
32、⊥平面AA1C1C. ∴BD⊥A1O,BD⊥C1O,故∠A1OC1為二面角A1-BD-C1的平面角.易知A1O=C1O=2,A1C1=2,由勾股定理的逆定理,知∠A1OC1=90°,故平面A1BD⊥平面C1BD. 連接PO(圖略),若∠A1PC1為直角,即A1P⊥PC1,又A1O⊥PC1,A1P∩A1O=A1,∴C1P⊥平面POA1,則C1P⊥PO,此時(shí)P在△BDC1內(nèi)的一段圓弧(該圓弧所在的圓的直徑為C1O)上,符合題意;當(dāng)P在OC1上時(shí),△A1PC1為鈍角三角形;當(dāng)P無(wú)限接近B或D時(shí),△A1PC1為銳角三角形;若△A1PC1為等腰三角形,∵A1C1=2,BC1=,當(dāng)A1C1為等腰三角形
33、A1PC1的一個(gè)腰時(shí),C1P,A1P均不可能為2,不符合題意.當(dāng)A1C1為等腰三角形A1PC1的底邊時(shí),點(diǎn)P與A1C1中點(diǎn)的連線必垂直A1C1,此時(shí),在△BDC1內(nèi)部不存在這樣的點(diǎn)P.故選BCD.] 16.[多選](2020·泰安模擬)在長(zhǎng)方體A1B1C1D1-A2B2C2D2中,A1A2=2A1B1=2B1C1=2,如圖,A,B,C分別是所在棱的中點(diǎn),則下列結(jié)論中成立的是( ) A.異面直線D2C與AD1所成的角為60° B.平面A2BCD2與平面ABC1D1所成二面角的大小為120° C.點(diǎn)A1與點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離相等 D.平面A2BC1截長(zhǎng)方體所得的截面面積為
34、 AC [連接B2C和D2B2.易知AD1∥BC1∥B2C,則∠D2CB2為異面直線D2C與AD1所成的角.連接AB2,易知AB2⊥A2B,AB2⊥BC,A2B∩BC=B,所以AB2⊥平面A2BCD2.連接B1C,同理可證B1C⊥平面ABC1D1,所以平面A2BCD2與平面ABC1D1所成二面角即異面直線AB2與B1C所成的角或其補(bǔ)角.連接AD2,易知B1C∥AD2,所以異面直線AB2與B1C所成的角即∠D2AB2或其補(bǔ)角.又A1A2=2A1B1=2B1C1=2,所以△B2D2C與△B2D2A均為正三角形,所以∠D2CB2=60°,∠D2AB2=60°,即異面直線D2C與AD1所成的角為60°
35、,平面A2BCD2與平面ABC1D1所成的角為60°或120°,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)锽1C⊥平面ABC1D1,且B1C與BC1垂直平分,所以點(diǎn)B1與點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離相等,又A1B1∥平面ABC1D1,所以點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平面ABC1D1的距離相等,即點(diǎn)A1與點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離相等,故C正確;取D1D2的中點(diǎn)E,連接A2E,EC1,易知A2E∥BC1,EC1∥A2B,故平面A2BC1E為平面A2BC1截長(zhǎng)方體所得的截面,在△A2BC1中,A2B=BC1=,A2C1=,所以S=,截面面積為,故D錯(cuò)誤.] 17.[多選](2020·濱州模擬)如圖是一個(gè)直三棱柱ABC-A′B
36、′C′和三棱錐D-A′B′C′的組合體,其中AB⊥BC,BB′=BC=AB=1,=2,E,F(xiàn),M分別是AA′,CC′,BD上一點(diǎn),且AE=A′E,CF=C′F,則以下結(jié)論中可能成立的是( ) A.平面MEF⊥平面ACC′A′ B.三棱錐C′-MEF的體積為定值 C.平面MEF∥平面DA′C′ D.△MEF周長(zhǎng)的最大值為4+ ABC [對(duì)于A,當(dāng)M為BB′的中點(diǎn)時(shí),AA′⊥平面MEF,所以平面MEF⊥平面ACC′A′,所以A符合題意. 對(duì)于B,易知三角形C′EF的面積為定值,因?yàn)锽D∥平面ACC′A′,所以M到平面C′EF的距離為定值,所以三棱錐C′-MEF的體積為定值
37、,所以B符合題意. 對(duì)于C,當(dāng)M為B′D的中點(diǎn)時(shí),可證得EM∥A′D,從而EM∥平面A′DC′,此時(shí)同理可證得FM∥平面A′DC′,又FM∩EM=M,所以平面MEF∥平面DA′C′,所以C符合題意. 對(duì)于D,顯然當(dāng)M與D重合時(shí),△MEF的周長(zhǎng)最大,此時(shí)在△A′EM中,∠MA′E=135°,A′E=,A′M=,由余弦定理得,ME==.所以此時(shí)△MEF的周長(zhǎng)為+<4+,所以D錯(cuò)誤.] 18.[多選](2020·日照模擬)如圖,在三棱錐S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,點(diǎn)D,E分別為SC,SA上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ) A.直線S
38、B⊥平面ABC B.若BD⊥SC,BE⊥SA,則∠BED為二面角B-SA-C的平面角 C.直線SC與平面ABC所成的角為45°時(shí),點(diǎn)B到平面ASC的距離是a D.∠SCB=45°時(shí),三棱錐S-ABC外接球的表面積為 ABD [在三棱錐S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,則SB⊥BA,SC⊥CA,因?yàn)椤鰽BC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,所以AC⊥BC,又BC∩SC=C,所以AC⊥平面SBC,故SB⊥AC,又SB⊥BA,BA∩AC=A,所以SB⊥平面ABC,故A正確;因?yàn)锳C⊥平面SBC,AC?平面SAC,所以平面SBC⊥平面SAC,所以BD⊥平面ASC,易知DE為BE在平面
39、ASC內(nèi)的射影,又BE⊥SA,所以易得DE⊥AS,所以∠BED為二面角B-SA-C的平面角,故B正確;若BD⊥CS,則BD⊥平面SAC,所以BD的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面ASC的距離,所以BD=BCsin 45°=a,所以C不正確;因?yàn)椤蟂BA=∠SCA=90°,所以SA為外接球的直徑,設(shè)外接球的半徑為R,則R===,所以三棱錐S-ABC外接球的表面積S=4π=,所以D正確.故選ABD.] 19.[多選](2020·煙臺(tái)模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)F是線段BC1上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( ) A.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)至BC1的中點(diǎn)時(shí),直線A1F與平面BDC1所成角最大且為6
40、0° B.無(wú)論點(diǎn)F在BC1上怎么移動(dòng),都有A1F⊥B1D C.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)至BC1的中點(diǎn)時(shí),才有A1F與B1D相交于一點(diǎn),記為點(diǎn)E,且=2 D.無(wú)論點(diǎn)F在BC1上怎么移動(dòng),異面直線A1F與CD所成角都不可能是30° BCD [設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,如圖,易知點(diǎn)A1到平面BDC1的距離為. 當(dāng)點(diǎn)F為BC1的中點(diǎn)時(shí),線段A1F的長(zhǎng)度最短,且為,此時(shí)直線A1F與平面BDC1所成角的正弦值最大,且為=≠,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;連接A1B,A1C1,易知B1D⊥平面A1BC1,又A1F?平面A1BC1,所以總有A1F⊥B1D,選項(xiàng)B正確;連接A1D,B1F,DF,當(dāng)F為BC1的中點(diǎn)
41、時(shí),A1D∥B1F,此時(shí)A1,D,B1,F(xiàn)四點(diǎn)共面,A1F,B1D為梯形A1DFB1的對(duì)角線,故其交于一點(diǎn)E,且==2,當(dāng)F不是BC1的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A1,D,B1,F(xiàn)不共面,A1F,B1D不可能相交,選項(xiàng)C正確;因?yàn)锳1B1∥CD,所以∠B1A1F即異面直線A1F與CD所成的角,該角的正切值為,易知A1B1≤B1F≤A1B1,所以≤≤1,不在該范圍內(nèi),故無(wú)論點(diǎn)F在BC1上怎么移動(dòng),異面直線A1F與CD所成的角都不可能是30°,選項(xiàng)D正確.] 20.(2020·南通模擬)如圖所示,棱長(zhǎng)為1的正方體木塊經(jīng)過(guò)適當(dāng)切割,得到幾何體K,已知幾何體K是由兩個(gè)底面相同的正四棱錐組合而成,底面ABCD平行于正
42、方體的下底面,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則幾何體K的體積的取值范圍是________. [由題意知四邊形ABCD為正方形,且?guī)缀误wK中兩個(gè)正四棱錐的高之和為1,則幾何體K的體積的取值范圍由正方形ABCD的面積來(lái)決定.連接AC,BD,由底面ABCD平行于正方體的下底面,可作平面ABCD所在截面的平面圖如圖所示.S正方形ABCD=AC·BD=AC2,當(dāng)A,B,C,D分別為截面正方形四邊的中點(diǎn)時(shí),AC取到最小值;當(dāng)A,B,C,D分別為截面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí),AC取到最大值. 故ACmin=1,ACmax=,∴S正方形ABCD∈,∴幾何體K的體積V=S正方形ABCD×1=S正方形ABCD∈.
43、] 21.(2020·成都模擬)在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且AB=4,AC=5,則BC的取值范圍是________. (3,) [如圖所示,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在長(zhǎng)方體中,PA=x,PB=y(tǒng),PC=z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范圍.由題可得,x2∈(0,16),則y2+z2=41-2x2∈(9,41),據(jù)此可得∈(3,),即BC的取值范圍是(3,).] 22.[一題兩空](2020·泰安模擬)已知點(diǎn)P為半徑等于2的球O球面上一點(diǎn),過(guò)OP的中點(diǎn)E作垂直于OP的平面截球O的截面圓為圓E.圓E的內(nèi)接三角形ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)B在AC上的射影為D,則A
44、C=________,三棱錐P-ABD體積的最大值為________. 2 [如圖1,PE是三棱錐P-ABD的高,且為1,AE==,所以VP-ABD=S△ABD×PE=S△ABD,截面圓的直徑AC=2. 圖1 圖2 如圖2,AB⊥BC,BD⊥AC,設(shè)AD=x(0<x<2),則CD=2-x, 所以BD=,所以S△ABD=x·=,令g(x)=2x3-x4(0<x<2), 則g′(x)=6x2-4x3,令6x2-4x3=0得x=或x=0(舍去), 令g′(x)>0得0<x<; 令g′(x)<0得<x<2. 所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為, 所以x=
45、時(shí),g(x)取得最大值,所以△ABD面積的最大值為×=, 則三棱錐P-ABD體積的最大值是×=.] 23.[一題兩空](2020·棗莊模擬)如圖,在棱長(zhǎng)均為3的正四棱錐P-ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是PA,PB,PC,PD上的點(diǎn),平面EFGH與平面ABCD平行,S為AC和BD的交點(diǎn),當(dāng)四棱錐S-EFGH的體積最大時(shí),=________,四棱錐S-EFGH外接球的表面積為________. [因?yàn)槠矫鍱FGH與平面ABCD平行,所以四邊形EFGH與四邊形ABCD相似,所以四邊形EFGH是正方形. 設(shè)=x(0<x<1),所以=x2,易知四棱錐S-EFGH與四棱錐P-ABCD的高的比值為(1-x),設(shè)VP-ABCD=V0,則VS-EFGH=x2(1-x)V0.設(shè)f (x)=x2(1-x)(0<x<1),則f ′(x)=2x-3x2,則當(dāng)0<x<時(shí),f ′(x)>0,當(dāng)<x<1時(shí),f ′(x)<0,所以當(dāng)x=,即=時(shí),f (x)取得最大值,此時(shí)VS-EFGH取得最大值. 連接PS,F(xiàn)H,EG,設(shè)FH與EG交于點(diǎn)M,易知點(diǎn)M在PS上,EF=2,SM=,HM=. 設(shè)四棱錐S-EFGH的外接球的球心為O,半徑為R,易知O在直線PS上,連接OH,易知點(diǎn)O在四棱錐S-EFGH的外部,則+2=R2,解得R=,所以四棱錐S-EFGH的外接球的表面積為4πR2=.]
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 建筑施工重大危險(xiǎn)源安全管理制度
- 安全培訓(xùn)資料:典型建筑火災(zāi)的防治基本原則與救援技術(shù)
- 企業(yè)雙重預(yù)防體系應(yīng)知應(yīng)會(huì)知識(shí)問(wèn)答
- 8 各種煤礦安全考試試題
- 9 危險(xiǎn)化學(xué)品經(jīng)營(yíng)單位安全生產(chǎn)管理人員模擬考試題庫(kù)試卷附答案
- 加壓過(guò)濾機(jī)司機(jī)技術(shù)操作規(guī)程
- 樹脂砂混砂工藝知識(shí)總結(jié)
- XXXXX現(xiàn)場(chǎng)安全應(yīng)急處置預(yù)案
- 某公司消防安全檢查制度總結(jié)
- 1 煤礦安全檢查工(中級(jí))職業(yè)技能理論知識(shí)考核試題含答案
- 4.燃?xì)獍踩a(chǎn)企業(yè)主要負(fù)責(zé)人模擬考試題庫(kù)試卷含答案
- 工段(班組)級(jí)安全檢查表
- D 氯化工藝作業(yè)模擬考試題庫(kù)試卷含答案-4
- 建筑起重司索信號(hào)工安全操作要點(diǎn)
- 實(shí)驗(yàn)室計(jì)量常見的30個(gè)問(wèn)問(wèn)答題含解析