《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、突破點(diǎn)2 解三角形
提煉1
常見解三角形的題型及解法
(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解．
(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一．
(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解．
(4)已知三邊，利用余弦定理求解.
提煉2
三角形形狀的判斷
(1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
(2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形，再判斷．
注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時(shí)候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.
提煉3
三角形的常用面積公式
設(shè)△AB
2、C的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c ，其面積為S.
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)．
回訪1 正、余弦定理的應(yīng)用
1．(2016·全國甲卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝
3、×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
2．(2015·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
(－，＋) 如圖所示，延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BF
4、，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________．
∵＝＝＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化為
(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cos A，∴∠A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取得)，
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.]
熱點(diǎn)題型1 正、余弦定理的應(yīng)用
題型分析：利用正、余弦定理解題是歷
5、年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.
(2016·四川高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且＋＝.
(1)證明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．
解] (1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)＝＝＝k(k>0)．
則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，2分
即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).4分
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
6、
所以sin Asin B＝sin C．6分
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有
cos A＝＝，8分
所以sin A＝＝.9分
由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋ sin B，11分
故tan B＝＝4.12分
關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口．
變式訓(xùn)練1] (1)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，
7、已知a＝2，c＝3，cos B＝，則＝__________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952013】
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝22＋32－2×2×3×＝10，所以b＝.
由余弦定理，得cos C＝＝＝.
因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角，
所以sin B＝＝.
由正弦定理＝，得sin A＝，所以＝.]
(2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0.
①證明：△ABC為等腰三角形；
②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．
解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0，
8、∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，3分
∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分
∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角，
∴A－B＝0，即A＝B，5分
∴△ABC是等腰三角形.6分
②由2(b2＋c2－a2)＝bc，
得＝，7分
由余弦定理得cos A＝，8分
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝.10分
∵A＝B，∴cos B＝cos A＝，11分
∴cos B＋cos C＝＋＝.12分
熱點(diǎn)題型2 三角形面積的求解問題
題型分析：三角形面積的計(jì)算
9、及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.
(2015·山東高考)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值．
【解題指導(dǎo)】 (1)
―→
(2)
解] (1)由題意知
f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.2分
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分
所以f(x)的單
10、調(diào)遞增區(qū)間是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).6分
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，7分
由題意知A為銳角，所以cos A＝.8分
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，10分
即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立．
因此bcsin A≤，
所以△ABC面積的最大值為.12分
1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝ta
11、n x)的圖象與性質(zhì)解決問題．
2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值．
變式訓(xùn)練2] (名師押題)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.
(1)若sin C＝，求a，c；
(2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積．
解] (1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝.1分
∵4cos C＝a＋，
∴＝a＋，解得a＝或a＝.3分
又＋a＝4cos C＝4×＝4×，
∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分
∴當(dāng)a＝時(shí)，c＝2；當(dāng)a＝時(shí)，c＝.6分
(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.
又△ABC為直角三角形，C不可能為直角．
①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1，
∴2c2－1＝c2＋1，
∴c＝，a＝，8分
∴S＝bc＝×1×＝.9分
②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.
∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1，
∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝，11分
∴S＝ac＝××＝.12分
高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題
