高中數學 第四章 數系的擴充與復數的引入章末復習提升課件 北師大版選修1-2.ppt

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第四章——,數系的擴充與 復數的引入,,1,知識網絡 整體構建,,2,要點歸納 主干梳理,,3,題型探究 重點突破,章末復習提升,1.復數的概念： (1)虛數單位i； (2)復數的代數形式z＝a＋bi(a,b∈R)； (3)復數的實部、虛部、虛數與純虛數.,2.復數集,復數a＋bi (a,b∈R),3.復數的四則運算,若兩個復數z1＝a1＋b1i,z2＝a2＋b2i(a1,b1,a2,b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；,(5)實數四則運算的交換律、結合律、分配律都適合于復數的情況；,題型一 分類討論思想的應用,當復數的實部與虛部含有字母時,利用復數的有關概念進行分類討論.分別確定什么情況下是實數、虛數、純虛數.當x＋yi沒有說明x,y∈R時,也要分情況討論.,例1 實數k為何值時,復數(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)滿足下列條件？ (1)是實數；(2)是虛數；(3)是純虛數. 解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當k2－5k－6＝0時,即k＝6或k＝－1時,該復數為實數. (2)當k2－5k－6≠0時,即k≠6且k≠－1時,該復數為虛數.,跟蹤訓練1 當實數a為何值時,z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)為實數； 解 z∈R?a2－3a＋2＝0,解得a＝1或a＝2. (2)為純虛數；,故a＝0.,(3)對應的點在第一象限內；,∴a的取值范圍是(－∞,0)∪(2,＋∞).,(4)復數z對應的點在直線x－y＝0. 解 依題設(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0,∴a＝2.,題型二 數形結合思想的應用,數形結合既是一種重要的數學思想,又是一種常用的數學方法.本章中,復數本身的幾何意義、復數的模以及復數加減法的幾何意義都是數形結合思想的體現.它們得以相互轉化.涉及的主要問題有復數在復平面內對應點的位置、復數運算及模的最值問題等.,例2 已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應的復數分別為1＋2i,－2＋6i,OA∥BC.求頂點C所對應的復數z. 解 設z＝x＋yi,x,y∈R,如圖. ∵OA∥BC,|OC|＝|BA|, ∴kOA＝kBC,|zC|＝|zB－zA|,,∵|OA|≠|BC|, ∴x2＝－3,y2＝4(舍去),故z＝－5.,跟蹤訓練2 已知復數z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|；,(2)若|z|＝1,求|z－z1|的最大值.,解 如圖所示,由|z|＝1可知,z在復平面內對應的點 的軌跡是半徑為1,圓心為O(0,0)的圓,而z1對應著坐 標系中的點Z1(2,－2).所以|z－z1|的最大值可以看成是點Z1(2,－2)到圓上的點的距離的最大值.,題型三 轉化與化歸思想的應用,在求復數時,常設復數z＝x＋yi(x,y∈R),把復數z滿足的條件轉化為實數x,y滿足的條件,即復數問題實數化的基本思想在本章中非常重要.,解 設z＝x＋yi(x,y∈R), 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實數,∴y＝－2.,∴x＝4.∴z＝4－2i, 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限.,∴實數a的取值范圍是(2,6).,跟蹤訓練3 已知x,y為共軛復數,且(x＋y)2－3xyi＝4－6i,求x,y. 解 設x＝a＋bi(a,b∈R),則y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i, ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i,,題型四 類比思想的應用,復數加、減、乘、除運算的實質是實數的加減乘除,加減法是對應實、虛部相加減,而乘法類比多項式乘法,除法類比根式的分子分母有理化,且要注意i2＝－1. 在運算的過程中常用來降冪的公式有 (1)i的乘方：i4k＝1,i4k＋1＝i,i4k＋2＝－1,i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1i)2＝2i；,課堂小結,高考對本章考查的重點 1.對復數的概念的考查是考查復數的基礎,要求準確理解虛數單位、復數、虛數、純虛數、共軛復數、實部、虛部、復數的模等概念.,2.對復數四則運算的考查可能性較大,要加以重視,其中復數的乘法運算與多項式的乘法運算類似；對于復數的除法運算,將分子分母同時乘以分母的共軛復數.最后整理成a＋bi(a,b∈R)的結構形式. 3.對復數幾何意義的考查.在高考中一般會結合復數的概念、復數的加減運算考查復數的幾何意義、復數加減法的幾何意義.,