第1講　空間幾何體的三視圖 表面積與體積

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1、二 輪 數(shù) 學(xué) 專 題 五 立 體 幾 何第 1講 空 間 幾 何 體 的 三 視 圖 、 表 面 積與 體 積 二 輪 數(shù) 學(xué) 考 向 分 析核 心 整 合熱 點(diǎn) 精 講 二 輪 數(shù) 學(xué) 考 向 分 析考 情 縱 覽 年 份考 點(diǎn) 2011 2012 2013 2014 2015 三 視 圖 與其 直 觀 圖 6 7 12由 三 視 圖求 面 積 、 體 積 7 8 6 11 6多 面 體 與球 綜 合 15 11 6 6 9 二 輪 數(shù) 學(xué)真 題 導(dǎo) 航1.(2011新 課 標(biāo) 全 國(guó) 卷 ,理 6)在 一 個(gè) 幾 何 體 的 三 視 圖 中 ,正 視 圖 和 俯 視 圖 如圖 所 示 ,

2、則 相 應(yīng) 的 側(cè) 視 圖 可 以 為 ( ) 解 析 :由 幾 何 體 的 正 視 圖 和 俯 視 圖 可 知 ,該 幾 何 體 的 底 面 為 半 圓 和 等 腰 三角 形 ,其 側(cè) 視 圖 可 以 是 一 個(gè) 由 等 腰 三 角 形 及 底 邊 上 的 高 構(gòu) 成 的 平 面 圖 形 ,故 應(yīng) 選 D. D 二 輪 數(shù) 學(xué)2.(2013新 課 標(biāo) 全 國(guó) 卷 ,理 7)一 個(gè) 四 面 體 的 頂 點(diǎn) 在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 O-xyz中 的 坐 標(biāo) 分 別 是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫 該 四 面 體 三 視 圖中 的 正 視 圖 時(shí) ,

3、以 zOx平 面 為 投 影 面 ,則 得 到 的 正 視 圖 可 以 為 ( )解 析 :在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 中 作 出 四 面 體 OABC的 直 觀 圖 如 圖 所 示 ,作 頂 點(diǎn) A、C在 zOx平 面 的 投 影 A ,C ,可 得 四 面 體 的 正 視 圖 .故 選 A. A 二 輪 數(shù) 學(xué)3.(2013新 課 標(biāo) 全 國(guó) 卷 ,理 8)某 幾 何 體 的 三 視 圖 如 圖 所 示 ,則 該 幾 何 體 的體 積 為 ( )(A)16+8 (B)8+8(C)16+16 (D)8+16A 二 輪 數(shù) 學(xué)4.(2015新 課 標(biāo) 全 國(guó) 卷 ,理 9)已 知 A,B是

4、 球 O的 球 面 上 兩 點(diǎn) , AOB=90 ,C為 該 球 面 上 的 動(dòng) 點(diǎn) ,若 三 棱 錐 O-ABC體 積 的 最 大 值 為 36,則 球 O的 表 面 積 為 ( )(A)36 (B)64 (C)144 (D)256C 二 輪 數(shù) 學(xué) B 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)備 考 指 要1.怎 么 考(1)考 查 角 度 : 給 出 三 視 圖 的 兩 種 視 圖 ,求 另 一 視 圖 . 由 三 視 圖 還 原 直 觀 圖 求 線 段 的 長(zhǎng) 度 、 面 積 、 體 積 等 . 給 出 空 間 幾 何 體 的 直 觀 圖 ,求 表 面 積 或 體 積 (特 別 是 求 體 積

5、). 與 球 有 關(guān) 的 “ 接 ” “ 切 ” 問(wèn) 題 .(2)題 型 難 易 度 :選 擇 題 、 填 空 題 ,中 、 低 檔 .2.怎 么 辦(1)熟 練 掌 握 簡(jiǎn) 單 幾 何 體 的 結(jié) 構(gòu) 特 征 及 其 表 面 積 、 體 積 計(jì) 算 . (2)熟 練 掌 握 與 球 有 關(guān) 的 “ 切 ” 、 “ 接 ” 問(wèn) 題 中 的 幾 何 關(guān) 系 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 核 心 整 合1.棱 柱 、 棱 錐(1)棱 柱 的 性 質(zhì)側(cè) 棱 都 相 等 ,側(cè) 面 是 平 行 四 邊 形 ;兩 個(gè) 底 面 與 平 行 于 底 面 的 截 面 是 全 等 的多 邊 形 ;過(guò) 不 相 鄰 的 兩 條

6、 側(cè) 棱 的 截 面 是 平 行 四 邊 形 ;直 棱 柱 的 側(cè) 棱 長(zhǎng) 與 高相 等 且 側(cè) 面 與 對(duì) 角 面 是 矩 形 .(2)正 棱 錐 的 性 質(zhì)側(cè) 棱 相 等 ,側(cè) 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 ,斜 高 (側(cè) 面 等 腰 三 角 形 底 邊 上 的 高 )相 等 ;棱 錐 的 高 、 斜 高 和 斜 高 在 底 面 內(nèi) 的 射 影 構(gòu) 成 一 個(gè) 直 角 三 角 形 ;棱 錐的 高 、 側(cè) 棱 和 側(cè) 棱 在 底 面 內(nèi) 的 射 影 也 構(gòu) 成 一 個(gè) 直 角 三 角 形 ;某 側(cè) 面 上 的 斜 高 、 側(cè) 棱 及 底 面 邊 長(zhǎng) 的 一 半 也 構(gòu) 成 一 個(gè)

7、直 角 三 角 形 ;側(cè) 棱 在 底 面 內(nèi) 的射 影 、 斜 高 在 底 面 內(nèi) 的 射 影 及 底 面 邊 長(zhǎng) 的 一 半 也 構(gòu) 成 一 個(gè) 直 角 三 角 形 . 二 輪 數(shù) 學(xué)2.三 視 圖(1)正 視 圖 、 側(cè) 視 圖 、 俯 視 圖 分 別 是 從 幾 何 體 的 正 前 方 、 正 左 方 、 正 上 方觀 察 幾 何 體 得 到 的 投 影 圖 .畫 三 視 圖 的 基 本 要 求 :正 俯 一 樣 長(zhǎng) ,俯 側(cè) 一 樣 寬 ,正 側(cè) 一 樣 高 ;(2)三 視 圖 排 列 規(guī) 則 :俯 視 圖 放 在 正 視 圖 的 下 面 ,長(zhǎng) 度 與 正 視 圖 一 樣 ;側(cè) 視 圖

8、放 在 正 視 圖 的 右 面 ,高 度 和 正 視 圖 一 樣 ,寬 度 與 俯 視 圖 一 樣 .3.幾 何 體 的 切 接 問(wèn) 題(1)解 決 球 的 內(nèi) 接 長(zhǎng) 方 體 、 正 方 體 、 正 四 棱 柱 等 問(wèn) 題 的 關(guān) 鍵 是 把 握 球 的 直徑 即 是 棱 柱 的 體 對(duì) 角 線 .(2)解 決 柱 、 錐 的 內(nèi) 切 球 問(wèn) 題 的 關(guān) 鍵 是 找 準(zhǔn) 切 點(diǎn) 位 置 ,化 歸 為 平 面 幾 何 問(wèn) 題 .4.柱 體 、 錐 體 、 臺(tái) 體 和 球 的 表 面 積 與 體 積 (不 要 求 記 憶 )(1)表 面 積 公 式 圓 柱 的 表 面 積 S=2 r(r+l);

9、 圓 錐 的 表 面 積 S= r(r+l); 圓 臺(tái) 的 表 面 積 S= (r 2+r2+r l+rl); 球 的 表 面 積 S=4 R2. 二 輪 數(shù) 學(xué)溫 馨 提 示 在 有 關(guān) 體 積 ,表 面 積 的 計(jì) 算 應(yīng) 用 中 注 意 等 積 法 的 應(yīng) 用 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 熱 點(diǎn) 精 講熱 點(diǎn) 一 空 間 幾 何 體 的 三 視 圖 二 輪 數(shù) 學(xué)(2)(2015江 西 九 江 二 模 )正 方 體 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分 別 是 棱 A1B1,A1D1的中 點(diǎn) ,如 圖 是 該 正 方 體 被 過(guò) A,M,N和 D,N,C1的 兩 個(gè) 截 面 截 去 兩 個(gè)

10、角 后 所 得的 幾 何 體 ,則 該 幾 何 體 的 正 視 圖 為 ( )解 析 ： (2)該 幾 何 體 的 正 視 圖 應(yīng) 為 正 方 形 ,其 中 AM的 投 影 為 實(shí) 線 ,DC 1的 投影 是 虛 線 ,故 選 B. 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 將 三 視 圖 還 原 成 直 觀 圖 是 解 答 該 類 問(wèn) 題 的 關(guān) 鍵 ,其 解 題 技 巧 是熟 練 掌 握 常 見 簡(jiǎn) 單 幾 何 體 及 其 組 合 體 的 三 視 圖 ,特 別 是 正 方 體 、 長(zhǎng) 方 體 、圓 柱 、 圓 錐 、 三 棱 柱 、 三 棱 錐 等 幾 何 體 的 三 視 圖 . 二 輪 數(shù) 學(xué)舉 一

11、 反 三 1-1:如 圖 ,一 個(gè) 棱 柱 的 正 視 圖 和 側(cè) 視 圖 分 別 是 矩 形 和 正 三 角 形 ,則這 個(gè) 三 棱 柱 的 俯 視 圖 為 ( )解 析 :由 正 視 圖 和 側(cè) 視 圖 可 知 ,這 是 一 個(gè) 橫 放 的 正 三 棱 柱 ,一 個(gè) 側(cè) 面 水 平 放 置 ,則 俯 視 圖 應(yīng) 為 D. 二 輪 數(shù) 學(xué)熱 點(diǎn) 二 空 間 幾 何 體 的 表 面 積 和 體 積 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 求 解 幾 何 體 的 表 面 積 及 體 積 的 技 巧(1)求 三 棱 錐 的 體 積 ,等 體 積 轉(zhuǎn) 化 是 常 用 的 方 法 ,轉(zhuǎn) 換 原

12、則 是 底 面 放 在 已 知幾 何 體 的 某 一 面 上 ,其 高 易 求 .(2)求 不 規(guī) 則 幾 何 體 的 體 積 ,常 用 分 割 或 補(bǔ) 形 的 思 想 ,將 不 規(guī) 則 幾 何 體 轉(zhuǎn) 化為 規(guī) 則 幾 何 體 來(lái) 求 解 .(3)求 表 面 積 ,其 關(guān) 鍵 思 想 是 空 間 問(wèn) 題 平 面 化 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 答 案 : (1)A 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)熱 點(diǎn) 三 多 面 體 與 球 的 切 接 問(wèn) 題 答 案 : (1)A 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)方 法 技 巧 多 面 體 與 球 接 、 切 問(wèn) 題 的 求 解 策 略(1)涉 及 球 與 棱 柱

13、、 棱 錐 的 切 、 接 問(wèn) 題 時(shí) ,一 般 過(guò) 球 心 及 多 面 體 中 的 特 殊 點(diǎn)(一 般 為 接 、 切 點(diǎn) )或 線 作 截 面 ,把 空 間 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 平 面 問(wèn) 題 ,再 利 用 平 面 幾何 知 識(shí) 尋 找 幾 何 體 中 元 素 間 的 關(guān) 系 ,或 只 畫 內(nèi) 切 、 外 接 的 幾 何 體 的 直 觀 圖 ,確 定 球 心 的 位 置 ,弄 清 球 的 半 徑 (直 徑 )與 該 幾 何 體 已 知 量 的 關(guān) 系 ,列 方 程(組 )求 解 .這 也 是 解 決 此 類 問(wèn) 題 的 易 錯(cuò) 點(diǎn) .(2)若 四 點(diǎn) P,A,B,C在 球 面 上 ,且 線 段 PA,PB,PC兩 兩 互 相 垂 直 ,設(shè) PA=a,PB=b,PC=c,一 般 把 四 面 體 P-ABC“ 補(bǔ) 形 ” 成 為 一 個(gè) 球 內(nèi) 接 長(zhǎng) 方 體 ,則4R 2=a2+b2+c2求 解 . 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué)備 選 例 題 二 輪 數(shù) 學(xué) 二 輪 數(shù) 學(xué) 答 案 :4 二 輪 數(shù) 學(xué)點(diǎn) 擊 進(jìn) 入 專 題 組 合 練