2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.4 2導(dǎo)數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問題中的應(yīng)用教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.4 2導(dǎo)數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問題中的應(yīng)用教案 新人教A版選修2-2 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。導(dǎo)數(shù)是解決最值問題有力的工具之一，我們常用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定最優(yōu)解。但是除此之外，均值不等式在解決此類問題時也有其自身的特點，下面我將通過一些具體的例子來作簡單的說明。 【例1】學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1-1所示的豎向的海報，要求版心面積為128，上、下兩邊各空2，左右兩邊各空1，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白的面積最小？ 解：設(shè)版心的高為，則版心的寬為，此時四周空白的面積為 圖1-1 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：； 令，解得：， 于是寬為。 當(dāng)時，，當(dāng)時，， 因此，是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，所以，當(dāng)版心高為16，寬為8時，能使四周空白面積最小。 解法二：（均值不等式法）∵ ∴ （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時寬為， 所以，當(dāng)版心高為16，寬為8時，能使四周空白面積最小。 【例2】以長為10的線段為直徑作半圓，求它的內(nèi)接矩形面積的最大值。 解：如圖2-1所示，設(shè)，∴ ∴面積 （） A B 圖2-1 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： ， 令，解得：（舍去） 當(dāng)時，，當(dāng)時，； ∴在時，取得極大值，也是最大值； 因此當(dāng)時，它的內(nèi)接矩形面積最大，最大值為25。 解法二：（均值不等式法） ，（） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。 （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號） 【例3】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千 米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：（），已知甲乙兩地相距100千米，當(dāng)汽車以多大速度行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解：當(dāng)速度為千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升。 ∴，（） 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： ， 令，解得：， 當(dāng)時，，當(dāng)時，； ∴在時，取得極小值，也是最小值。 解法二：（均值不等式法） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。 （利用均值不等式：若，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號） 【例4】用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 解：設(shè)長方體的寬為m，則長為m，高為（m）， 故長方體的體積為：（） 解法一：（導(dǎo)數(shù)法）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得： 令：，解得：（）， 當(dāng)時，，當(dāng)時，； 故時，取得極大值，并且這個極大值就是最大值， 從而（）。 所以長為2m，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大值為3 解法二：（均值不等式法） ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時（）。 所以長為2m，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大值為3 通過上述的幾例可以發(fā)現(xiàn)，通過求導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解最值具有普遍性，對很多最值問題都可以求解，但有些題目用導(dǎo)數(shù)知識解題過程較為繁瑣，極值點求出后，極值情況有的還要與區(qū)間斷點值比較；而使用均值不等式進(jìn)行求解時，過程較為簡練，但均值不等式只能解決最值問題中的一類問題，有其自身的局限性，并且有的還要注意有陷阱的問題。例如：求函數(shù)的最小值時，要是直接使用均值不等式就會出現(xiàn)問題。 ， 取等號時，，此時。 用均值不等式解題時，要注意找到能消去自變量的最佳組合，這一點就不好做到，所以新教材改革中淡化了對均值不等式的應(yīng)用，而導(dǎo)數(shù)彌補(bǔ)了均值不等式的不足，其方法思路清晰，條理明確。在解決優(yōu)化問題時，兩種方法各有千秋，如果我們能對兩種方法都有所理解，針對具體問題具體分析，有選擇地運用，就能使思路開闊，方法簡捷，有利于學(xué)生解決問題能力的提高。 電子郵箱：huangyu8023@126