2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第31講 不等式性質(zhì)及證明教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第31講 不等式性質(zhì)及證明教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.不等關(guān)系 通過(guò)具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景; 2.基本不等式:(a,b≥0) ①探索并了解基本不等式的證明過(guò)程; ②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(?。﹩?wèn)題。 二.命題走向 不等式歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本將來(lái)講,考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法,而且還考察邏輯推理能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí),要在思想方法上下功夫。 預(yù)測(cè)xx年的高考命題趨勢(shì): 1.從題型上來(lái)看,選擇題、填空題都有可能考察,把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來(lái)綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等,多以選擇題的形式出現(xiàn),解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主; 2.利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問(wèn)題是考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn),應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。 三.要點(diǎn)精講 1.不等式的性質(zhì) 比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法 ; ; 。 定理1:若,則;若,則.即。 說(shuō)明:把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向,稱為不等式的對(duì)稱性。 定理2:若,且,則。 說(shuō)明:此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù);定理2稱不等式的傳遞性。 定理3:若,則。 說(shuō)明:(1)不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得不等式與原不等式同向; (2)定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小,采用的是求差比較法; (3)定理3的逆命題也成立; (4)不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后,可以把它從一邊移到另一邊。 定理3推論:若。 說(shuō)明:(1)推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出;(2)這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加,即:兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;(3)同向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式;異向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式。 定理4.如果且,那么;如果且,那么。 推論1:如果且,那么。 說(shuō)明:(1)不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變;乘以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變;(2)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向;(3)推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說(shuō),兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向。 推論2:如果, 那么 。 定理5:如果,那么 。 2.基本不等式 定理1:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)。 說(shuō)明:(1)指出定理適用范圍:;(2)強(qiáng)調(diào)取“”的條件。 定理2:如果是正數(shù),那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) 說(shuō)明:(1)這個(gè)定理適用的范圍:;(2)我們稱的算術(shù)平均數(shù),稱的幾何平均數(shù)。即:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3.常用的證明不等式的方法 (1)比較法 比較法證明不等式的一般步驟:作差—變形—判斷—結(jié)論;為了判斷作差后的符號(hào),有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù),或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式,也可變形為幾個(gè)因式的積的形式,以便判斷其正負(fù)。 (2)綜合法 利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個(gè)證明方法叫綜合法;利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件。 綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是:,及從已知條件出發(fā),逐步推演不等式成立的必要條件,推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。 (3)分析法 證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種方法通常叫做分析法。 (1)“分析法”是從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,即“執(zhí)果索因”; (2)綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推,所以常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程。 四.典例解析 題型1:考查不等式性質(zhì)的題目 例1.(1)(06上海文,14)如果,那么,下列不等式中正確的是( ) (A) (B) (C) (D) (2)(06江蘇,8)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 解析:(1)答案:A;顯然,但無(wú)法判斷與的大?。? (2)運(yùn)用排除法,C選項(xiàng),當(dāng)a-b<0時(shí)不成立,運(yùn)用公式一定要注意公式成立的條件,如果,如果a,b是正數(shù),那么 點(diǎn)評(píng):本題主要考查.不等式恒成立的條件,由于給出的是不完全提干,必須結(jié)合選擇支,才能得出正確的結(jié)論。 例2.(1)(xx京春文,1)設(shè)a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是( ) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D. (2)(xx上海理,15)若a(b+)2均不能成立 D.不等式和(a+)2>(b+)2均不能成立 解析:(1)答案:A;∵a>b,c>d,∴a+c>b+d; (2)答案:B 解析:∵b<0,∴-b>0,∴a-b>a,又∵a-b<0,a<0,∴。 故不成立。 ∵a|b|,∴故不成立。由此可選B。 另外,A中成立.C與D中(a+)2>(b+)2成立。 其證明如下:∵a|b+|, 故(a+)2>(b+)2。 點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的基本性質(zhì)。 題型2:基本不等式 例3.(06浙江理,7)“a>b>0”是“ab<”的( ) (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不允分也不必要條件 解析:A;中參數(shù)的取值不只是指可以取非負(fù)數(shù)。均值不等式滿足。 點(diǎn)評(píng):該題考察了基本不等式中的易錯(cuò)點(diǎn)。 例4.(1)(xx京春)若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是( ) A.18 B.6 C.2 D.2 (2)(xx全國(guó),7)若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),則( ) A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q 解析:(1)答案:B;3a+3b≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)。故3a+3b的最小值是6; (2)答案:B;∵lga>lgb>0,∴(lga+lgb)>,即Q>P, 又∵a>b>1,∴, ∴(lga+lgb), 即R>Q,∴有P<Q<R,選B。 點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的平均值定理,要注意判斷等號(hào)成立的條件。 題型3:不等式的證明 例5.已知a>0,b>0,且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。 證法一: (分析綜合法) 欲證原式,即證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 即證4(ab)2-33(ab)+8≥0,即證ab≤或ab≥8 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2,∴ab≤,從而得證。 證法二: (均值代換法) 設(shè)a=+t1,b=+t2。 ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|<,|t2|<, 顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0,即a=b=時(shí),等號(hào)成立。 證法三:(比較法) ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤, 證法四:(綜合法) ∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤, 。 證法五:(三角代換法) ∵ a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin2α,b=cos2α,α∈(0,), 點(diǎn)評(píng):比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述:如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式,則考慮用判別式法證。 例6.求使≤a(x>0,y>0)恒成立的a的最小值。 分析:本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍,此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來(lái)對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元,即令=cosθ,=sinθ(0<θ<=,這樣也得a≥sinθ+cosθ,但是這種換元是錯(cuò)誤的 其原因是:(1)縮小了x、y的范圍;(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件,顯然這是不對(duì)的。 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系,a≥f(x),則amin=f(x)max 若 a≤f(x),則amax=f(x)min,利用這一基本事實(shí),可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問(wèn)題。還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處,可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化。 解法一:由于a的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方, 得:x+y+2≤a2(x+y),即2≤(a2-1)(x+y), ① ∴x,y>0,∴x+y≥2, ② 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),②中有等號(hào)成立。 比較①、②得a的最小值滿足a2-1=1, ∴a2=2,a= (因a>0),∴a的最小值是。 解法二:設(shè) ∵x>0,y>0,∴x+y≥2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立), ∴≤1,的最大值是1。 從而可知,u的最大值為, 又由已知,得a≥u,∴a的最小值為, 解法三:∵y>0, ∴原不等式可化為+1≤a, 設(shè)=tanθ,θ∈(0,)。 ∴tanθ+1≤a,即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+), ③ 又∵sin(θ+)的最大值為1(此時(shí)θ=)。 由③式可知a的最小值為。 點(diǎn)評(píng):本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力。該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目,所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來(lái),等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口,然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。 題型4:不等式證明的應(yīng)用 例7.(06浙江理,20)已知函數(shù)f(x)=x+ x,數(shù)列|x|(x>0)的第一項(xiàng)x=1,以后各項(xiàng)按如下方式取定:曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過(guò)(0,0)和(x,f (x))兩點(diǎn)的直線平行(如圖) . 求證:當(dāng)n時(shí),(Ⅰ)x(Ⅱ)。 證明:(I)因?yàn)? 所以曲線在處的切線斜率 因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率是 所以. (II)因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增, 而, 所以,即 因此 又因?yàn)榱顒t 因?yàn)樗? 因此故 點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及不等式的證明,同時(shí)考查邏輯推理能力。 例8.(xx江蘇,22)已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-bx2。 (1)當(dāng)b>0時(shí),若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2; (2)當(dāng)b>1時(shí),證明:對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2; (3)當(dāng)0<b≤1時(shí),討論:對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件。 (Ⅰ)證明:依設(shè),對(duì)任意x∈R,都有f(x)≤1, ∵f(x)=, ∴≤1,∵a>0,b>0,∴a≤2. (Ⅱ)證明:必要性:對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1-1≤f(x),據(jù)此可以推出-1≤f(1), 即a-b≥-1,∴a≥b-1; 對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1f(x)≤1,因?yàn)閎>1,可以推出f()≤1,即a-1≤1,∴a≤2; ∴b-1≤a≤2. 充分性:因?yàn)閎>1,a≥b-1,對(duì)任意x∈[0,1], 可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1; 因?yàn)閎>1,a≤2,對(duì)任意x∈[0,1], 可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1, 即ax-bx2≤1。 ∴-1≤f(x)≤1。 綜上,當(dāng)b>1時(shí),對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2. (Ⅲ)解:因?yàn)閍>0,0<b≤1時(shí),對(duì)任意x∈[0,1]: f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即f(x)≥-1; f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤b+1, a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即f(x)≤1。 所以,當(dāng)a>0,0<b≤1時(shí),對(duì)任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是a≤b+1. 22.解:原式(x-a)(x-a2)<0,∴x1=a,x2=a2。 當(dāng)a=a2時(shí),a=0或a=1,x∈,當(dāng)a<a2時(shí),a>1或a<0,a<x<a2, 當(dāng)a>a2時(shí)0<a<1,a2<x<a, ∴當(dāng)a<0時(shí)a<x<a2,當(dāng)0<a<1時(shí),a2<x<a,當(dāng)a>1時(shí),a<x<a2,當(dāng)a=0或a=1時(shí),x∈。 點(diǎn)評(píng):此題考查不等式的證明及分類討論思想。 題型5:課標(biāo)創(chuàng)新題 例9.(06上海理,12)三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式+25+|-5|≥在[1,12]上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說(shuō):“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”; 乙說(shuō):“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”; 丙說(shuō):“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”; 參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論,即的取值范圍是 。 答案:a≤10。 點(diǎn)評(píng):該題通過(guò)設(shè)置情景,將不等式知識(shí)蘊(yùn)含在一個(gè)對(duì)話情景里面,考查學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 例10.(06湖南文,20)在m(m≥2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m時(shí)Pi>Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)),則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù),排列321的逆序數(shù)。 (Ⅰ)求a4、a5,并寫(xiě)出an的表達(dá)式; (Ⅱ)令,證明,n=1,2,…。 解 (Ⅰ)由已知得,。 (Ⅱ)因?yàn)椋? 所以. 又因?yàn)椋? 所以 =。 綜上,。 點(diǎn)評(píng):該題創(chuàng)意新,知識(shí)復(fù)合到位,能很好的反映當(dāng)前的高考趨勢(shì)。 五.思維總結(jié) 1.不等式證明常用的方法有:比較法、綜合法和分析法,它們是證明不等式的最基本的方法。 (1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述:如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式,則考慮用判別式法證; (2)綜合法是由因?qū)Ч?,而分析法是?zhí)果索因,兩法相互轉(zhuǎn)換,互相滲透,互為前提,充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開(kāi)擴(kuò)視野。 2.不等式證明還有一些常用的方法:換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換,均值代換兩種,在應(yīng)用換元法時(shí),要注意代換的等價(jià)性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢,目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式,從正面證如果不易說(shuō)清楚,可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題,適宜用反證法。 證明不等式時(shí),要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)。 3.幾個(gè)重要不等式 (1) (2)(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)) (3)如果a,b都是正數(shù),那么 (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)) 最值定理:若則: 如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最小;如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大; 注意:前提:“一正、二定、三相等”,如果沒(méi)有滿足前提,則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境;還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓?;“和?積最大,積定 和最小”,可用來(lái)求最值;均值不等式具有放縮功能,如果有多處用到,請(qǐng)注意每處取等的條件是否一致。 (當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)); (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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