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1、
《二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像》典型例題
例1 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是如圖中的（ ）
例2 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（2）求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作出函數(shù)的圖像.
例3 求經(jīng)過(guò)A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線的解析式．
例4 已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，1)和點(diǎn)(2，1)且與x軸相切．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)x在什么范圍時(shí)，y隨x的增大而增大；
(3)當(dāng)x在什么范圍時(shí)，y隨x的增大而減?。?
例5 設(shè)拋物線y=x2+bx+c向下
2、平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，0)，求原拋物線的解析式．
例6 (遼寧省試題,2002) 看圖，解答下列問(wèn)題。
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）通過(guò)配方，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）用平滑曲線連結(jié)各點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)圖象。
參考答案
例1 解法一：直接法
，∴a的取值只有兩種可能：或.
當(dāng)時(shí)，有的圖像在第一、三象限；的圖像開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸的上方，四個(gè)選擇支無(wú)一適合.所以，沒(méi)有符合條件的圖像.
當(dāng)時(shí)，有的圖像在第二、四象限；的圖像開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在x軸的下方，符合條件的圖像有D.故應(yīng)選D.
解法二：排
3、除法
，函數(shù)的圖像頂點(diǎn)在y軸上，故排除A；
對(duì)于B，由反比例函數(shù)的圖像可知：，但由的圖像得，產(chǎn)生矛盾，故B排除；
對(duì)于C，由反比例函數(shù)的圖像可知：，但由的圖像與y軸交于負(fù)半軸得，產(chǎn)生矛盾，故C排除.故答案應(yīng)選D.
例2 解：（1）.
∴函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），對(duì)稱軸為.
（2）令，得；令，由，得.即函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于（－1，0），（3，0）.
（3），拋物線開(kāi)口向下，再依頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸及兩坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)作函數(shù)圖像如圖所示.
說(shuō)明：（1）對(duì)的頂點(diǎn)坐標(biāo)也可直接用教材中例題所給出的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，這里是直接配方而得.
（2）作二次函數(shù)的圖像主要抓住拋物線開(kāi)口
4、方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及兩軸的交點(diǎn)等主要環(huán)節(jié).
例3 分析：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸與y軸平行，所以拋物線解析式的形式可設(shè)為y=ax2+bx+c，要確定這個(gè)解析式必須求出三個(gè)系數(shù)a、b、c的值．已知A、B、C三點(diǎn)在拋物線上，因此它們的坐標(biāo)必須適合上面的函數(shù)式，即有
這是關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，可以求出a、b、c的值來(lái)．
解：設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，所以有
所以，所求拋物線的解析式為y=x2-2x-1．
例4 分析：因?yàn)閽佄锞€與x軸相切即與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以判別式b2-4ac=0．又由于拋物線過(guò)(-1，1)
5、和(2，1)點(diǎn)，所以可設(shè)解析式的形式為y=ax2＋bx＋c，列出方程組
解方程組求出a、b、c．
方法二：由于拋物線經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)（-1，1）和（2，1）的縱坐標(biāo)都是1，又根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知道對(duì)稱軸，畫(huà)出草圖：
可得頂點(diǎn)坐標(biāo)系，可以設(shè)解析式為將x=-1，y=1代入上式得出a值．(可由教師板演，學(xué)生在練習(xí)本上寫(xiě)出解題過(guò)程)．
解：（1）∵ 頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴ 將代入此式
1=，得
所求解析式為。
（2），圖象開(kāi)口向上
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大。
（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小。
例5 解：由題意知兩次平移后所得拋物線的解析式應(yīng)為：
y=(x+5)2+b(x+5)+c-
6、1
=x2+(b+10)x+(5b+c+24)．
0=(-2)2+(b+10)(-2)+(5b+c+24)．
解之得b=-6，c=10．原拋物線的解析式為
y=x2-6x+10．
說(shuō)明：關(guān)于二次函數(shù)圖象的平移是很重要的：一是上、下平移，如將y=ax2+bx+c的圖象上移h個(gè)單位，則新圖象的解析式為y=ax2+bx+c+h(如下移則改為-h)．二是左右平移，如將y=ax2+bx+c的圖象向左移k個(gè)單位，則新圖象解析式應(yīng)改寫(xiě)為：y=a(x+k)2+b(x+k)+c，如果是向右平移k個(gè)單位，則改寫(xiě)為y=a(x-k)2+b(x-k)+c．
分析：已知三點(diǎn)求拋物線的解析式，用待定系數(shù)法求解，先設(shè)出拋物線的解析式（一般式），
然后把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，列出一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知數(shù)的方程組，求解即可。
例6 解：
（1）由圖可知
設(shè)所求拋物線的解析式為
依題意，得 解得
∴
（2）
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為
（3）圖象略，畫(huà)出正確圖象。
說(shuō)明：求二次函數(shù)解析式的問(wèn)題，通常用待定系數(shù)法求解。首先要根據(jù)題目已知條件，選擇拋物線解析式的適當(dāng)形式，然后列出方程組求解。
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《二次函數(shù)的圖象》典型例題2
