2019-2020年高考數(shù)學(xué)三模試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)三模試卷 理(含解析) 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=i(1﹣i)對應(yīng)的點位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.(5分)已知向量=(2,4),=(﹣1,1),則2﹣=() A. (3,7) B. (3,9) C. (5,7) D. (5,9) 3.(5分)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC=() A. B. C. D. 4.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,則輸出的值P=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5.(5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是() A. B. C. D. 6.(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是() A. B. C. D. 7.(5分)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為() A. B. C. D. 2 8.(5分)對于非空集合A,B,定義運算:A⊕B={x|x∈A∪B,且x?A∩B},已知M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中a、b、c、d滿足a+b=c+d,ab<cd<0,則M⊕N=() A. (a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D. (a,c]∪[d,b) 二、填空題:本大題共5小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分25分.(一)必做題(9~13題) 9.(5分)如圖是某xx高三學(xué)生進入高中三年來第1次到14次的數(shù)學(xué)考試成績莖葉圖,根據(jù)莖葉圖計算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為. 10.(5分)函數(shù)y=ln(x﹣2)+的定義域. 11.(5分)不等式|2x+1|﹣|5﹣x|>0的解集為. 12.(5分)某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有種. 13.(5分)已知Ω為不等式組所表示的平面區(qū)域,E為圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域,若“點(x,y)∈Ω”是“點(x,y)∈E”的充分條件,則區(qū)域E的面積的最小值為. (二)選做題:第14、15題為選做題,考生只能選做一題.(坐標系與參數(shù)方程選做題) 14.(5分)極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,點(1,0)關(guān)于直線2ρsinθ=1對稱的點的極坐標是. (幾何證明選講選做題) 15.如圖,AB是圓O的直徑,且AB=6,CD是弦,BA、CD的延長線交于點P,PA=4,PD=5,則∠COD=. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin(π+x)(sin(+x)﹣cos2x (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若θ∈[﹣,0],f(+)=,求sin(2θ﹣)的值. 17.(12分)某校xx高一年級有四個班,其中一、二班為數(shù)學(xué)課改班,三、四班為數(shù)學(xué)非課改班.在期末考試中,課改班與非課改班的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計如表. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 課改班 50 非課改班 20 110 合計 210 (1)請完成上面的22列聯(lián)表,并判斷若按99%的可靠性要求,能否認為“成績與課改有關(guān)”; (2)把全部210人進行編號,從編號中有放回抽取4次,每次抽取1個,記被抽取的4人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ. 18.(14分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD,E為PC的中點,F(xiàn)為PB上一點,且EF⊥PB. (1)證明:PA∥平面EDB; (2)證明:AC⊥DF; (3)求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值. 19.(14分)已知數(shù)列{an}滿足:a1=,3an+1﹣2an=1(n∈N*);數(shù)列{bn}滿足:bn=an+1﹣an(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn; (2)證明:數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列. 20.(14分)已知直線l:y=x+2與雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0)相交于B、D兩點,且BD的中點為M(1,3). (1)求雙曲線C的離心率; (2)設(shè)雙曲線C的右頂點為A,右焦點為F,|BF|?|DF|=17,試判斷△ABD是否為直角三角形,并說明理由. 21.(14分)已知函數(shù)f(x)=mx﹣(m+2)lnx﹣(m∈R),g(x)=. (1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)是否存在m<0時,對于任意的x1,x2∈[1,2],都有f(x1)﹣g(x2)≤1恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由. 廣東省肇慶市xx高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=i(1﹣i)對應(yīng)的點位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考點: 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 專題: 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù). 分析: 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標得答案. 解答: 解:由z=i(1﹣i)=1+i, 得復(fù)數(shù)z=i(1﹣i)對應(yīng)的點的坐標為(1,1),位于第一象限. 故選:A. 點評: 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題. 2.(5分)已知向量=(2,4),=(﹣1,1),則2﹣=() A. (3,7) B. (3,9) C. (5,7) D. (5,9) 考點: 平面向量的坐標運算. 專題: 平面向量及應(yīng)用. 分析: 直接利用向量的坐標運算求解即可. 解答: 解:向量=(2,4),=(﹣1,1), 則2﹣=2(2,4)﹣(﹣1,1)=(5,7). 故選:C. 點評: 本題考查向量的坐標運算,考查計算能力. 3.(5分)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC=() A. B. C. D. 考點: 余弦定理. 專題: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出cos∠BAC,把三角形三邊長代入即可求出∠BAC的余弦值,求解即可. 解答: 解:∵c=AB=5,b=AC=3,a=BC=7, ∴根據(jù)余弦定理得: cos∠BAC===﹣. ∠BAC=. 故選:B. 點評: 此題考查了余弦定理,余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵. 4.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,則輸出的值P=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 考點: 程序框圖. 專題: 圖表型;算法和程序框圖. 分析: 模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的S,k的值,當(dāng)S=208時,不滿足條件S<100,退出循環(huán),輸出P的值為10. 解答: 解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得 k=1,S=0 滿足條件S<100,S=4,k=2 滿足條件S<100,S=16,k=3 滿足條件S<100,S=48,k=4 滿足條件S<100,S=208,k=5 不滿足條件S<100,退出循環(huán),得P=10,輸出P的值為10. 故選:B. 點評: 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的S,k的值是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識的考查. 5.(5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是() A. B. C. D. 考點: 由三視圖求面積、體積. 專題: 計算題;空間位置關(guān)系與距離. 分析: 根據(jù)幾何體的三視圖,得出該幾何體是一正方體去掉一個三棱錐,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積. 解答: 解:根據(jù)幾何體的三視圖,得; 該幾何體是一棱長為1的正方體,去掉一三棱錐, 如圖所示; ∴該幾何體的體積是V幾何體=13﹣121=. 故選:A. 點評: 本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目. 6.(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是() A. B. C. D. 考點: 等比數(shù)列的性質(zhì). 專題: 計算題. 分析: 根據(jù)已知的等式變形,利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q的值,然后分別根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,即可找出四個選項中數(shù)值不能確定的選項. 解答: 解:由8a2+a5=0,得到=q3=﹣8,故選項A正確; 解得:q=﹣2,則=q=﹣2,故選項C正確; 則==,故選項B正確; 而==,所以數(shù)值不能確定的是選項D. 故選D 點評: 此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì),靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡求值,是一道基礎(chǔ)題. 7.(5分)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為() A. B. C. D. 2 考點: 直線與圓錐曲線的關(guān)系;拋物線的簡單性質(zhì). 專題: 壓軸題. 分析: 設(shè)直線AB的傾斜角為θ,利用|AF|=3,可得點A到準線l:x=﹣1的距離為3,從而cosθ=,進而可求|BF|,|AB|,由此可求AOB的面積. 解答: 解:設(shè)直線AB的傾斜角為θ(0<θ<π)及|BF|=m, ∵|AF|=3, ∴點A到準線l:x=﹣1的距離為3 ∴2+3cosθ=3 ∴cosθ= ∵m=2+mcos(π﹣θ) ∴ ∴△AOB的面積為S== 故選C. 點評: 本題考查拋物線的定義,考查三角形的面積的計算,確定拋物線的弦長是解題的關(guān)鍵. 8.(5分)對于非空集合A,B,定義運算:A⊕B={x|x∈A∪B,且x?A∩B},已知M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中a、b、c、d滿足a+b=c+d,ab<cd<0,則M⊕N=() A. (a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D. (a,c]∪[d,b) 考點: 子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換. 專題: 新定義;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 本題可先由知M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中a、b、c、d滿足a+b=c+d,ab<cd<0,得到a,b,0,c,d的大小關(guān)系,再由新定義M⊕N的意義即可求出. 解答: 解:由已知M={x|a<x<b},∴a<b,又ab<0,∴a<0<b, 同理可得c<0<d, 由ab<cd<0,c<0,b>0,∴,∴, 又∵a+b=c+d,∴a﹣c=d﹣b,∴, 又∵c<0,b>0,∴d﹣b<0,因此,a﹣c<0, ∴a<c<0<d<b, ∴M∩N=N,∴M⊕N={x|a<x≤c,或d≤x<b}=(a,c]∪[d,b). 故選D. 點評: 本題綜合考查了新定義、不等式的性質(zhì)、集合的子集與交集并集的轉(zhuǎn)換,充分理解以上概念及運算法則是解決問題的關(guān)鍵. 二、填空題:本大題共5小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分25分.(一)必做題(9~13題) 9.(5分)如圖是某xx高三學(xué)生進入高中三年來第1次到14次的數(shù)學(xué)考試成績莖葉圖,根據(jù)莖葉圖計算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為94.5. 考點: 莖葉圖. 專題: 概率與統(tǒng)計. 分析: 根據(jù)中位數(shù)的概念和莖葉圖中的數(shù)據(jù),即可得到數(shù)據(jù)中的中位數(shù). 解答: 解:從莖葉圖中可知14個數(shù)據(jù)排序為:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114, 所以中位數(shù)為94與95的平均數(shù)94.5. 故答案為:94.5. 點評: 本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用,以及中位數(shù)的求法,要注意在求中位數(shù)的過程中,要把數(shù)據(jù)從小到大排好,才能確定中位數(shù),同時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù). 10.(5分)函數(shù)y=ln(x﹣2)+的定義域(2,3]. 考點: 函數(shù)的定義域及其求法. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 根據(jù)函數(shù)y的解析式,列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組,求出解集即可. 解答: 解:∵函數(shù)y=ln(x﹣2)+, ∴, 解得2<x≤3; ∴函數(shù)y的定義域是(2,3]. 故答案為:(2,3]. 點評: 本題考查了利用函數(shù)的解析式求函數(shù)定義域的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目. 11.(5分)不等式|2x+1|﹣|5﹣x|>0的解集為(﹣∞,﹣6)∪. 考點: 絕對值不等式的解法. 專題: 不等式的解法及應(yīng)用. 分析: 把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的不等式,求解即得所求. 解答: 解:由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|>0,可得(2x+1)2>(5﹣x)2,即3x2+14x﹣24>0, 解得x<﹣6或x. 故答案為:(﹣∞,﹣6)∪. 點評: 本題主要考查絕對值不等式的解法,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題. 12.(5分)某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有10種. 考點: 計數(shù)原理的應(yīng)用. 專題: 排列組合. 分析: 本題是一個分類計數(shù)問題,一是3本集郵冊一本畫冊,讓一個人拿本畫冊就行了4種,另一種情況是2本畫冊2本集郵冊,只要選兩個人拿畫冊C42種,根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果 解答: 解:由題意知本題是一個分類計數(shù)問題 一是3本集郵冊一本畫冊,讓一個人拿本畫冊就行了4種 另一種情況是2本畫冊2本集郵冊,只要選兩個人拿畫冊C42=6種 根據(jù)分類計數(shù)原理知共10種, 故答案為:10. 點評: 本題考查分類計數(shù)原理問題,關(guān)鍵是如何分類,屬于基礎(chǔ)題, 13.(5分)已知Ω為不等式組所表示的平面區(qū)域,E為圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域,若“點(x,y)∈Ω”是“點(x,y)∈E”的充分條件,則區(qū)域E的面積的最小值為. 考點: 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用;二元一次不等式(組)與平面區(qū)域. 專題: 常規(guī)題型;數(shù)形結(jié)合法. 分析: ①由線性約束條件畫出可行域,②求出可行域內(nèi)兩點間的最大距離,③以最大距離為直徑求出圓的面積即為圓的最小面積. 解答: 解:根據(jù)約束條件畫出可行域 ∵“點(x,y)∈Ω”是“點(x,y)∈E”的充分條件 ∴陰影部分應(yīng)在圓內(nèi)或在圓上, 則r, 則圓的面積最小值為:=. 故答案為:. 點評: 本題考查了線性規(guī)劃的相關(guān)知識,區(qū)域內(nèi)兩點間的最大距離的求法,及圓的面積公式;綜合性較強,同時也是對線性規(guī)劃問題考查方式的創(chuàng)新. (二)選做題:第14、15題為選做題,考生只能選做一題.(坐標系與參數(shù)方程選做題) 14.(5分)極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,點(1,0)關(guān)于直線2ρsinθ=1對稱的點的極坐標是(,). 考點: 簡單曲線的極坐標方程. 專題: 坐標系和參數(shù)方程. 分析: 求出點(1,0)關(guān)于直線2ρsinθ=1對稱的點的直角坐標,再把它化為極坐標. 解答: 解:直線2ρsinθ=1即y=,點(1,0)關(guān)于直線2ρsinθ=1對稱的點的直角坐標為(1,1), 故對稱點的極坐標為(,), 故答案為:(,). 點評: 本題主要考查點的極坐標與直角坐標的互化,求一個點關(guān)于直線的對稱點,屬于基礎(chǔ)題. (幾何證明選講選做題) 15.如圖,AB是圓O的直徑,且AB=6,CD是弦,BA、CD的延長線交于點P,PA=4,PD=5,則∠COD=60. 考點: 弦切角. 專題: 立體幾何. 分析: 直接利用圓的割線定理求出弦CD的長,利用AB的長確定三角形OCD為正三角形,進一步求出結(jié)果. 解答: 解:AB是圓O的直徑,CD是弦,BA、CD的延長線交于點P, 利用割線定理得:PA?PB=PD?PC, 由于:AB=6,PA=4,PD=5, 所以:PA?(PA+AB)=PD?(PD+CD), 解得:CD=3, 所以:△OCD為正三角形, 則:∠COD=60. 故答案為:60. 點評: 本題考查的知識要點:割線定理的應(yīng)用,正三角形的性質(zhì),主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin(π+x)(sin(+x)﹣cos2x (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若θ∈[﹣,0],f(+)=,求sin(2θ﹣)的值. 考點: 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象. 專題: 三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: (1)首先對函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換,把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù),進一步求出函數(shù)的周期. (2)利用函數(shù)的關(guān)系式,進一步通過恒等變換,求出,最后求出結(jié)果. 解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=sin(π+x)(sin(+x)﹣cos2x = = =, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期. (2)由(1)得==cosθ﹣, 由,得. 因為θ∈[﹣,0],所以, 所以:,, 所以:= =﹣. 點評: 本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的周期的應(yīng)用,利用函數(shù)的關(guān)系式求函數(shù)的值,主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力. 17.(12分)某校xx高一年級有四個班,其中一、二班為數(shù)學(xué)課改班,三、四班為數(shù)學(xué)非課改班.在期末考試中,課改班與非課改班的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計如表. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 課改班 50 非課改班 20 110 合計 210 (1)請完成上面的22列聯(lián)表,并判斷若按99%的可靠性要求,能否認為“成績與課改有關(guān)”; (2)把全部210人進行編號,從編號中有放回抽取4次,每次抽取1個,記被抽取的4人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ. 考點: 離散型隨機變量及其分布列;獨立性檢驗的應(yīng)用;離散型隨機變量的期望與方差. 專題: 應(yīng)用題;概率與統(tǒng)計. 分析: (1)確定22列聯(lián)表,計算K2,與臨界值比較,即可得出結(jié)論; (2)隨機變量ξ的所有取值為0,1,2,3,4,求出相應(yīng)的概率,可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ. 解答: 解:(1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 課改班 50 50 100 非課改班 20 90 110 合計 70 140 210 (2分) K2==23.86>6.635,(5分) 所以按照99%的可靠性要求,能夠判斷成績與課改有關(guān).(6分) (2)隨機變量ξ的所有取值為0,1,2,3,4.(7分) 由于是有放回的抽取,所以可知每次抽取中抽到優(yōu)秀的概率為=,(8分) P(ξ=0)=C40()0()4=;P(ξ=1)=C41()1()3=; P(ξ=2)=C42()2()2=;P(ξ=3)=C43()3()1=; P(ξ=4)=C44()4()0=. 所以ξ的分布列為: ξ 0 1 2 3 4 P (10分) Eξ=0+1+2+3+4=.(12分) 點評: 本題考查了獨立性檢驗、分布列及其數(shù)學(xué)期望,正確計算是關(guān)鍵,屬于中檔題. 18.(14分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD,E為PC的中點,F(xiàn)為PB上一點,且EF⊥PB. (1)證明:PA∥平面EDB; (2)證明:AC⊥DF; (3)求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值. 考點: 二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定. 專題: 空間位置關(guān)系與距離;空間角. 分析: (1)連接AC交BD于點G,連接EG.通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論; (2)由題易得AC⊥PD,通過線面垂直的性質(zhì)定理可得結(jié)論; (3)建立如圖所示的空間直角坐標系,所求值即為平面DEF的一個法向量與平面ABCD的一個法向量的夾角的余弦值,計算即可. 解答: 證明:(1)連接AC交BD于點G,連接EG. ∵四邊形ABCD是正方形,∴點G是AC的中點, 又∵E為PC的中點,因此EG∥PA. 而EG?平面EDB,所以PA∥平面EDB. (2)∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵PD⊥底面ABCD,AC?底面ABCD,∴AC⊥PD. 而PD∩BD=D,∴AC⊥平面PBD, 又DF?平面PBD,所以AC⊥DF. (3)建立如圖所示的空間直角坐標系,則有D(0,0,0),P(0,0,1), A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以E(0,,). 設(shè)F(k,k,l),(kl≠0),則=(k,k﹣,l﹣),=(1,1,﹣1). 由EF⊥PB,得=0,即, 即l=2k,故F(k,k,2k). 設(shè)平面DEF的一個法向量=(x,y,z), 由,得,解得,取=(﹣1,﹣1,1), 又=(0,0,1)是底面ABCD的一個法向量, ∴===, 故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值為. 點評: 本題考查二面角,空間中線線垂直、線面平行的判定定理,向量數(shù)量積運算,注意解題方法的積累,建立坐標系是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題. 19.(14分)已知數(shù)列{an}滿足:a1=,3an+1﹣2an=1(n∈N*);數(shù)列{bn}滿足:bn=an+1﹣an(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn; (2)證明:數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列. 考點: 等差關(guān)系的確定;數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式. 專題: 計算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)由已知條件得到數(shù)列{an﹣1}是以﹣為首項,為公比的等比數(shù)列.由此得到數(shù)列{an}的通項公式,然后利用前n項和的定義進行求和; (2)假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項br,bs,bt(r<s<t)按某種順序成等差數(shù)列,由于數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,于是有br>bs>bt,則只有可能有2bs=br+bt成立,代入通項公式,化簡整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故上式不可能成立,導(dǎo)致矛盾. 解答: 解:(1)由3an+1﹣2an=1,得an+1﹣1=(an﹣1). 因為a1=,所以a1﹣1=﹣, 因此數(shù)列{an﹣1}是以﹣為首項,為公比的等比數(shù)列. 所以an﹣1=﹣,即an=1﹣(n∈N*). 所以Sn=a1+a2+…+an=n﹣[1++…+], =n﹣=+n﹣(n∈N*). (2)由(1),得bn=an+1﹣an=[1﹣]﹣[1﹣]=. 下面用反證法證明:數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項br,bs,bt(r<s<t)按某種順序成等差數(shù)列,由于數(shù)列{bn}是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是有br>bs>bt,則只能有 2bs=br+bt成立. 所以2﹣=+, 兩邊同乘3t﹣1′21﹣r,化簡得2?2s﹣r?3t﹣s=3t﹣r+2t﹣r. 因為r<s<t,所以上式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故上式不可能成立,導(dǎo)致矛盾.故數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列. 點評: 本題主要考查了數(shù)列的遞推式.對于用遞推式確定數(shù)列的通項公式問題,??砂淹ㄟ^遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列. 20.(14分)已知直線l:y=x+2與雙曲線C:﹣=1(a>0,b>0)相交于B、D兩點,且BD的中點為M(1,3). (1)求雙曲線C的離心率; (2)設(shè)雙曲線C的右頂點為A,右焦點為F,|BF|?|DF|=17,試判斷△ABD是否為直角三角形,并說明理由. 考點: 直線與圓錐曲線的綜合問題;雙曲線的簡單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (1)直線y=x+2和雙曲線聯(lián)立方程,利用中點公式,求出雙曲線離心率. (2)利用(1)問關(guān)系列出|BF|、|DF|的關(guān)系式,進而解出a的值,然后利用圓的直徑所對的圓周角為直角得出結(jié)論. 解答: 解:(Ⅰ)由題設(shè)知,l的方程為:y=x+2, 化入C的方程,并化簡,得(b2﹣a2)x2﹣4a2x﹣4a2﹣a2b2=0, 設(shè)B(x1,y1)、D(x2,y2), 則,① 由M(1,3)為BD的中點知, 故,即b2=3a2,② 故,所以C的離心率. (Ⅱ)由①、②知,C的方程為:3x2﹣y2=3a2, A(a,0),F(xiàn)(2a,0),x1+x2=2,x1?x2=﹣, 故不妨設(shè)x1≤﹣a,x2≥a, ==a﹣2x1, =2x2﹣a, |BF|?|FD|=(a﹣2x1)(2x2﹣a)=﹣4x1x2+2a(x1+x2)﹣a2=5a2+4a+8, 又|BF|?|FD|=17, 故5a2+4a+8=17,解得a=1或a=(舍去), 故|BD|=, 連結(jié)MA,則由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 從而MA=MB=MD, 且MA⊥x軸,因此以M為圓心,MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點,且在點A處與x軸相切. 所以過A、B、D三點的圓與x軸相切.∴△ABD為直角三角形. 點評: 本題主要考查雙曲線的離心率的求解和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,xx高考中歷年常考.屬xx高考壓軸大題. 21.(14分)已知函數(shù)f(x)=mx﹣(m+2)lnx﹣(m∈R),g(x)=. (1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)是否存在m<0時,對于任意的x1,x2∈[1,2],都有f(x1)﹣g(x2)≤1恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由. 考點: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 專題: 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后在定義域內(nèi)借助于二次函數(shù)的圖象判斷導(dǎo)數(shù)值的符號,從而確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)本題涉及到兩個函數(shù)f(x)與g(x)的不等式恒成立,因此,只需f(x1)≤g(x2)+1恒成立即可,則問題轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)min+1的問題. 解答: 解:(1)函數(shù)的定義域為(0,+∞). , ①當(dāng)m=0時,令f′(x)=0,解得x=1. 當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)x>1時,f′(x)<0; 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞); ②當(dāng)m≠0時,令f′(x)=0,解得. 當(dāng)m<0時,當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)x>1時,f′(x)<0;所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞). 當(dāng)0<m<2時,當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)時,f′(x)<0;當(dāng)x>時,f′(x)>0;所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)與(,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1,); 當(dāng)m=2時,f,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)m>2時,當(dāng)0<x<時,f′(x)>0;當(dāng)時,f′(x)<0;當(dāng)x>1時,f′(x)>0;所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,)與(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(,1). 綜上,當(dāng)m≤0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞); 當(dāng)0<m<2時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)與(,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1,); 當(dāng)m=2時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)m>2時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,)與(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(,1). (2)對于任意的x1,x2∈[1,2],都有f(x1)﹣g(x2)≤1恒成立,等價于x∈[1,2]時,f(x)max≤g(x)min+1成立. 由(1)得當(dāng)m<0時,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)max=f(x)=m﹣2. , 令h(x)=,而. 所以在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 在[1,2]上,, 所以在[1,2]上,h(x)<0,g′(x)<0;所以g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈[1,2]時,. 故,即, 因為m<0,所以存在m<0時,對于任意的x1,x2∈[1,2],都有f(x1)﹣g(x2)≤1恒成立,且m的取值范圍是(﹣∞,0). 點評: 本題重點考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,然后研究函數(shù)的最值,從而解決不等式恒成立問題,注意本題中是兩個函數(shù)的最值進行比較,要注意準確理解題意.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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