2019-2020年高考數(shù)學 考點14 利用導數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 考點14 利用導數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式 【考綱要求】 （1）了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）. （2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）. （3）會利用導數(shù)解決某些實際問題。 【命題規(guī)律】 導數(shù)綜合問題是高考中的難點所在，題型變化較多，尤其是利用導數(shù)證明不等式等相關(guān)知識. 熟練掌握利用導數(shù)這一工具，將試題進行分解，逐一突破，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題，這也是xx年考試的熱點問題.【典型高考試題變式】 （一）構(gòu)造函數(shù)在導數(shù)問題中的應(yīng)用 例1.【xx全國2卷（理）】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：考慮取特殊函數(shù)，是奇函數(shù)，且，，當時，>0，滿足題設(shè)條件.直接研究函數(shù)，圖象如下圖，可知選B答案. 【方法技巧歸納】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用和導數(shù)在研究函數(shù)的極值中的應(yīng)用，考查學生綜合知識能力，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，屬中檔題.其解題的方法運用的是特值法，將抽象問題具體化，找出與已知條件符合的特殊函數(shù)，分析其函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，進而得出所求的結(jié)果，其解題的關(guān)鍵是特值函數(shù)的正確選取. 【變式1】【改編例題條件，利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求最值】【xx河南鄭州三質(zhì)檢】設(shè)函數(shù)滿足，，則時，的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】對于等式，因為，故此等式可化為：，且.令，..當 時，，單調(diào)遞增，故，因此當時，恒成立.因為，所以恒成立.因此，在 上單調(diào)遞增，的最小值為.故本題正確答案為D. 【變式2】【改編例題條件，利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx河南息縣第一高級中學三質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于點中心對稱，其導函數(shù)，當時， ，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意設(shè)，則， 當時， ， 當時， ，則在上遞增， 函數(shù) 的定義域為，其圖象關(guān)于點中心對稱， 函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，令是上的偶函數(shù)，且在遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)在上遞減， 不等式化為： ，即，解得， 不等式解集是，故選C. 【變式3】【改編例題條件，利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx江西省鷹潭市高三第一次模擬考試數(shù)學（理）】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【變式4】【改編例題條件，構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題】【xx安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大整數(shù)值為( ) A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】令，依題意，對任意，當時， 圖象在直線下方，∴列表 得的大致圖象 則當時，∵，∴當時不成立； 當時，設(shè)與相切于點. 則，解得. ∴，故成立，∴當時, .故選B. （二）方程解（函數(shù)零點）的個數(shù)問題 例2.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù)，． （1）當為何值時，軸為曲線的切線； （2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. 【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得. 因此，當時，軸是曲線的切線. （Ⅱ）當時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點. 當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點. 當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù). （?。┤艋?，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點. （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=. ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點. ②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點； ③若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.…10分 綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. 【方法技巧歸納】1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 3. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題． 【變式1】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值】【xx江蘇卷】已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)性； （2）若（實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值. 【答案】（1）當時， 在上單調(diào)遞增； 當時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2） 【解析】 試題分析（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點大小討論函數(shù)單調(diào)性，注意需分三種情況討論，不要忽略相等的情況（2）首先轉(zhuǎn)化條件：函數(shù)有三個不同的零點，就是零在極大值與極小值之間，然后研究不等式以及解集情況，令，則當時且當時，因此確定，然后再利用函數(shù)因式分解驗證滿足題意 （2）由（1）知，函數(shù)的兩個極值為，，則函數(shù)有三個 零點等價于，從而或． 又，所以當時，或當時，． 設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是 ，則在上，且在上均恒成立， 從而，且，因此． 此時，， 因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根， 所以，且， 解得． 綜上． 【變式2】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)證明不等式】【xx天津卷（理）】已知函數(shù)，其中. （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有； （Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 【答案】（Ⅰ） 當為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）見解析. 【解析】（Ⅰ）由，可得，其中且， 下面分兩種情況討論： （1）當為奇數(shù)時： 令，解得或， 當變化時，的變化情況如下表： 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標為，則，，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有. （Ⅲ）證明：不妨設(shè)，由（Ⅱ）知，設(shè)方程的根為，可得 ，當時，在上單調(diào)遞減，又由（Ⅱ）知可得. 類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當， ，即對任意， 設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此. 由此可得. 因為，所以，故， 所以. 【變式3】【改編例題的條件和結(jié)論，函數(shù)零點與充要條件綜合】【xx北京卷（文）】設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍； （Ⅲ）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)，求切線方程； （Ⅱ）根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍； （Ⅲ）從兩方面必要性和不充分性證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點個數(shù). 試題解析：（Ⅰ）由，得． 因為，， 所以曲線在點處的切線方程為． （Ⅱ）當時，， 所以． 令，得，解得或． 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當且時，存在，， ，使得． 由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點． 綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有． 故是有三個不同零點的必要條件． 當，時，，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件． 因此是有三個不同零點的必要而不充分條件． （三）函數(shù)中的隱零點問題 例3.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個零點，求的取值范圍. 【解析】（1）由于， 故. 當時，，．從而恒成立． 在上單調(diào)遞減. 當時，令，從而，得． 極小值 綜上，當時，在上單調(diào)遞減； 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. （2）由（1）知， 當時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件． 當時，． 令． 令，則．從而在上單調(diào)增，而． 當時，．當時．當時 若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件． 若，則，故僅有一個實根，不滿足條件． 若，則，注意到．． 故在上有一個實根，而又． 且 ．故在上有一個實根． 又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根． 又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根． 綜上，． 【方法技巧歸納】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點. 【變式1】【改編例題的條件，根據(jù)零點個數(shù)不同，確定參數(shù)取值范圍】【xx山西孝義高三入學摸底考試】已知函數(shù). （1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性； （2）已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2） 試題解析：解：(1)由題得，所以. 當時， ，所以在上單調(diào)遞增； 當時， ，所以在上單調(diào)遞減； 當時，令，得， 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 綜上所述，當時， 在上單調(diào)遞增； 當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當時，所以在上單調(diào)遞減. (2) ， ， 設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由，可知在區(qū)間上不單調(diào)，則在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點. 由(1)知，當時， 在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意. 當時， 在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意，所以， 此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 因此， ， ，必有， . 由，得， . 又， ，解得. （4） 極值點偏移問題 例4.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù)有兩個零點. （Ⅰ）求a的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求導，根據(jù)導函數(shù)的符號來確定（主要要根據(jù)導函數(shù)零點來分類）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知等價于，即．設(shè)，則．則當時，，而，故當時，．從而，故． 試題解析：（Ⅰ）． （Ⅲ）設(shè)，由得或． 若，則，故當時，，因此在單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點． 若，則，故當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點． 綜上，的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即． 由于，而，所以 ． 設(shè)，則． 所以當時，，而，故當時，． 從而，故． 【方法技巧歸納】對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡.解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解. 【變式1】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明參數(shù)的大小】【xx廣東深圳高三入學摸底考試（文）】已知函數(shù). （1）求函數(shù)的極小值； （2）若函數(shù)有兩個零點，求證：. 【答案】（1）極小值為（2）見解析 【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù).再根據(jù)導函數(shù)是否變號進行分類討論：當時，導函數(shù)不變號，無極小值；當時，導函數(shù)先負后正，有一個極小值（2）先用分析法轉(zhuǎn)化要證不等式：因為. 令，所以只要證，即證，利用導數(shù)易得為增函數(shù)，即得所以原命題成立. 試題解析：解：（1）. 當時，在上為增函數(shù)，函數(shù)無極小值； 當時，令，解得. 若，則單調(diào)遞減； 若，則單調(diào)遞增. 故函數(shù)的極小值為. （2）證明：由題可知. 要證，即證， 不妨設(shè)，只需證，令， 即證，要證，只需證，令， 只需證，∵， ∴在內(nèi)為增函數(shù)，故，∴成立. 所以原命題成立. 【變式2】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明不等式】【xx廣東珠海高三9月摸底考試（理）】函數(shù) (1)討論的單調(diào)性； (2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求證： 【答案】(1) 時， 在上單減，在上單增； 時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增;(2)見解析. 【解析】試題分析：(1) ，分類討論，研究的符號情況，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且， 、是的二根 ，若證成立，只需證對恒成立.設(shè)，研究其最值即可. 試題解析： 解： 的定義域是, (1)由題設(shè)知， 令，這是開口向上，以為對稱軸的拋物線． 在時，當，即時， ，即在上恒成立． 2) 當時，即，即時 時， ，即 或時， ，即 綜上: 時， 在上單減，在上單增； 時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增． (2)若函數(shù)有兩個極值點，且 則必是，則，則， 且在上單減，在和上單增， 則 、是的二根 ，即， 若證成立，只需證 即證對恒成立 設(shè) 當時， ， ， 故,故在上單增 故 對恒成立 【變式3】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明不等式（乘積型）】【xx安徽六安市壽縣第一中學第一次月考】已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若方程 有兩個相異實根， ，且，證明： . 【答案】（Ⅰ）在(0,1)遞增， 在(1,+ 遞減（Ⅱ在此處鍵入公式。）見解析 【解析】試題分析：（1）求出， 可得函數(shù)得的增區(qū)間， 得可得函數(shù)得的減區(qū)間；（2）由(1)可設(shè) 的兩個相異實根分別為滿足 ，只需證明. 即可. 試題解析：（1）的定義域為 當時 所以 在遞增 當時 所以 在遞減 （2）由(1)可設(shè)的兩個相異實根分別為，滿足 且， 由題意可知 又有(1)可知在遞減 故 所以， 令 令， 則． 當時，，是減函數(shù)，所以． 所以當時，，即 因為， 在上單調(diào)遞增， 所以，故． 綜上所述： （5） 一元函數(shù)不等式的證明 例4.【xx山東（理）】已知. （1）討論的單調(diào)性； （2）當時，證明對于任意的成立. 【解析】（1）的定義域為，. 當時， 時，， 單調(diào)遞增； ，單調(diào)遞減. 當時，. （ii）若，則，在內(nèi)，，單調(diào)遞增； （iii）若，則， 當或時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減. 綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當時，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （2）由（1）知，時， ，， 令，. 則， 由可得，當且僅當時取得等號. 又， 設(shè)，則在單調(diào)遞減， 因為， 所以在上存在使得 時，時，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減， 由于，因此當時，，當且僅當時取得等號， 所以， 即對于任意的恒成立. 【方法技巧歸納】本題主要考查導數(shù)的計算、應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎(chǔ)，恰當分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等. 【變式1】【改編例題的條件，證明不等式】【xx廣東省廣州市海珠區(qū)高三測試一（理）】已知函數(shù). （1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍； （2）證明：當時， . 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論兩種情況，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，結(jié)合函數(shù)的圖象和零點定理即可求出的取值范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求出函數(shù)的最值，即可證明. 試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.由，得. ①當時， 恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域上有個零點. ②當時，則時， 時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當.當，即時，又，所以函數(shù)在定義域上有個零點. 綜上所述實數(shù)的取值范圍為. （2）要證明當時， ，即證明當時， ，即，令，則，當時， ；當時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時， .于是，當時， .①令，則.當時， ；當時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時， .于是，當時， .②顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立.故當時， ). 【變式2】【改編例題的條件，證明不等式（不等式右側(cè)是常數(shù)）】【xx吉林省松原市實驗高級中學等三校聯(lián)考（文）】設(shè)函數(shù)， (1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)當， 時，求證： . 【答案】(1)增區(qū)間為： ， .減區(qū)間為， .(2) 見解析。 試題解析：(1)函數(shù)的定義域為，當時， ， 令： ，得： 或，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為： ， . ，得： ，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為， . (2)若證， 成立，只需證： ， 即： 當時成立. 設(shè). ∴，顯然在內(nèi)是增函數(shù)， 且， ， ∴在內(nèi)有唯一零點，使得： ， 且當， ； 當， . ∴在遞減，在遞增. ， ∵，∴. ∴，∴成立. 【變式3】【改編例題的條件，證明參數(shù)不等式】【xx黑龍江省哈爾濱市第九中學高三二模（文）】已知，函數(shù)， ．（的圖象連續(xù)不斷） (1) 求的單調(diào)區(qū)間； (2) 當時，證明：存在，使； (3) 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明： ． 【答案】答案見解析 【解析】試題分析：（1）求的單調(diào)區(qū)間，由于函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)，因此求的單調(diào)區(qū)間，可用導數(shù)法，因此對函數(shù)求導得， ，令，解得，列表確定單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：存在，使，可轉(zhuǎn)化為在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到兩個，是得即可，故本題把代入得，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， ，故，取，則，即可證出；（3）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故，且在上的最小值為，而， ，只有，由單調(diào)性可知， ，從而可證得結(jié)論. 試題解析：（1）（1分） 令，解得（2分） 當變化時， 的變化情況如下表： ＋ 0 － 遞增 極大值 遞減 所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（5分） （2）證明：當時， ， 由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減． 令． （6分） 由于在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即（7分） 取，則. 所以存在，使， 即存在，使． （9分） （說明： 的取法不唯一，只要滿足，且即可．） （3）證明：由及（1）的結(jié)論知， 從而在上的最小值為， （10分） 又由， ，知（11分） 故即（13分） 從而（14分） （六）多元函數(shù)不等式的證明 例6 【xx天津卷（理）】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點， 為的導函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，求證： ； （Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足. 【答案】（Ⅰ）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（Ⅱ）見解析；（III）見解析. 試題解析：（Ⅰ）解：由，可得， 進而可得.令，解得，或. 當x變化時， 的變化情況如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， ，單調(diào)遞減區(qū)間是. （Ⅱ）證明：由，得， . 令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，當時， ，故當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.因此，當時， ，可得. 令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，故當時， ， 單調(diào)遞增；當時， ， 單調(diào)遞減.因此，當時， ，可得. 所以， . （III）證明：對于任意的正整數(shù) ， ，且， 令，函數(shù). 由（II）知，當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點； 當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點. 所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為，則. 由（I）知在上單調(diào)遞增，故， 于是. 因為當時， ，故在上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故. 又因為， ， 均為整數(shù)，所以是正整數(shù)， 從而. 所以.所以，只要取，就有. 【方法技巧歸納】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點問題，先利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點作出相應(yīng)的要求，可控制零點的個數(shù). 【變式1】【改編例題的條件，雙元不等式的證明】【xx江蘇省南京市溧水高級中學開學考試】已知函數(shù)． (1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程； (2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍； (3)設(shè)為正實數(shù)，且，求證： ． 【答案】(1) ；（2）；（3）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）求出導數(shù)，由題意可得代入可得，可得切線的斜率和切點，進而得到切線的方程；（2）由函數(shù)在上為增函數(shù)，可得恒成立，既有，當時， ，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到范圍；（3）運用分析法證明，要證，只需證，即證，設(shè)，求出導數(shù)判斷單調(diào)性，運用單調(diào)遞增，即可得證. 試題解析：（1） 由題意知，代入得，經(jīng)檢驗，符合題意. 從而切線斜率 ，切點為， 切線方程為 （3）要證，只需證， 即證只需證 設(shè)，由（2）知在上是單調(diào)函數(shù)，又， 所以，即成立，所以. 【變式2】【改編例題的條件，雙元不等式的證明（乘積形式）】【xx江西師范大學附屬中學（文）】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)若,當時,求函數(shù)的最大值; (3)若且,求證: . 【答案】（1）在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. （2）（3）見解析 【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的最大值；（3）化簡已知得, 即，然后利用分析法證明原不等式. 試題解析: (1) 的定義域為,且, 令, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2) , , 當時, ,, 當時, , 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. . (3) , 即. 由(1)知 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且, 則 要證,即證,即證,即證, 即證,由于,即證. 令 恒成立 在遞增, 在恒成立, 原不等式成立. 【變式3】【改編例題的條件，證明長串不等式】【xx江西省新余市第一中學模擬（理）】已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程； （2）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)， ，證明： ． 【答案】（1）（2） （3）見解析 【解析】試題分析：（1）本問考查導數(shù)的幾何意義， ， ，于是可得切線方程為；（2）本問考查利用導數(shù)研究恒成立問題，不等式恒成立，設(shè)函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為當時， 恒成立，對函數(shù)求導， ，再令，對求導， ，通過對分區(qū)間討論，使得恒成立，從而得到的取值范圍；（3）首先通過微積分定理求出，則，由（2）知，當時， ，即，構(gòu)造函數(shù)，通過證明該函數(shù)的單調(diào)性，易得出在上恒成立，令，于是通過不等式的放縮，可以得到待證明的結(jié)論. ②當即時， 遞減， ∴，∴，∴遞減 ∴（符合題意） ③當，即時，由 ，∴在上， ，使 且時， ，∴遞增，∴（不符合題意） 綜上： . （3） ∴，由（2）知，當時， ，∴， 又令， ，∴遞減 即在上恒成立，令 ∴原不等式 ∴左式右式 ∴得證. 【數(shù)學思想】 分類討論思想 1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”． 2.分類討論思想的常見類型 ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的； ⑵問題中的條件是分類給出的； ⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的； ⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的. 【處理證明不等式問題注意點】 解答此類問題，構(gòu)造合理的函數(shù)非常重要，要對具體的條件加以剖析。 【典例試題演練】 1．【xx黑龍江省大慶實驗中學開學考試（理）】設(shè)函數(shù)在上存在導數(shù)， ，有，在上，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令 ,則,所以為上單調(diào)遞減奇函數(shù), ，選B. 2.【xx陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學第八次模擬考試數(shù)學（理）】已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)共有（ ） A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個 【答案】C 【解析】由，可得，或者，由，化為，設(shè)， ， 在上遞增， ， ，在上有一個根， 滿足的值有兩個，若， ，設(shè)， ，設(shè)極值點為，則， ， ，不妨設(shè) 而函數(shù)在上遞增，在上遞減， 極小值為無實根，綜上所述，滿足的實數(shù)共有根. 3.【xx湖南省長沙市長郡中學臨考沖刺訓練理】已知函數(shù)，若對，使得方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ，所以 ，因此，選B. 4.【xx山西省晉中市3月高考適應(yīng)性調(diào)研考試理】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，是的導函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ， ，，因為在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，所以在 上有解，即 ，由零點存在定理可得 ，即，也即， 解得 且， 令則，當 時，當 時，因此，所以的取值范圍是，因此選A. 5.【xx湖南省衡陽市高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（文）】設(shè)定義域為的單調(diào)函數(shù)，對任意，都有，若是方程的一個解，且，則實數(shù)__________． 【答案】1 【解析】根據(jù)題意，對任意，都有，又是定義為的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設(shè)t= ,則= ，又，所以= ， =，又是方程的一個解，所以是函數(shù)的零點，分析易得， ，所以零點在（1,2）之間，所以 6.【xx江蘇省泰興中學高三12月階段性檢測】已知函數(shù),且對任意的恒成立,則實數(shù)的最大值為______. 【答案】1 7.【xx福建省泉州市高三高考考前適應(yīng)性模擬（一）】關(guān)于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】由得 ，可得在上遞增 ，在上 遞減， ， ，即 ，故答案為. 8.【xx黑龍江省大慶市大慶實驗中學入學考試（文）】已知函數(shù)其中 當時，求曲線在點處的切線方程； 討論函數(shù)的單調(diào)性； 若函數(shù)有兩個極值點且求證： 【答案】（1）（2）見解析（3）見解析 【解析】試題分析：（1），代入，求及，由點斜式寫出切線方程。（2），由于，所以分， 討論=0的情況，求得單調(diào)區(qū)間。（2）由（1）可知, ,又，所以。同時 不妨設(shè)。要證，只需證 ，下對g(x)求導，可證。 試題解析： 當時， ， ， ，所以切點為（1,0）,斜率k=1,由點斜率式得： ①當即時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是. ②當時，即時，令得 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 證明： 在單調(diào)遞增，且 ，不等式右側(cè)證畢 有兩個極值點， . 令 在單調(diào)遞增. 不等式左側(cè)證畢. 綜上可知： 9.【xx安徽省合肥市高三調(diào)研性檢測數(shù)學理】已知函數(shù). （Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）求證： . 【答案】（Ⅰ）在和上都是增函數(shù) （Ⅱ）證明見解析 【解析】試題分析：（1）先對題設(shè)條件中函數(shù)解析式進行求導，再構(gòu)造函數(shù)對所求得的導函數(shù)的值的符號進行判定；（2）先構(gòu)造函數(shù)，再對其求導得到，求出導函數(shù)的零點，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、、三種情形進行分析推證，使得不等式獲證。 試題解析：（Ⅰ）由已知的定義域為， , 設(shè)，則，得， ∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， ∴ ∴在和上都是增函數(shù). （Ⅱ）設(shè)， 則，得， ∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， ∴，即. ①當時， ， ∵在上是增函數(shù)， ∴，即，∴. ②當時， ，∵在上是增函數(shù)， ∴，即，∴. ③當時， 由①②③可知，對一切，有，即. 10.【xx云南師范大學附屬中學】設(shè)函數(shù) （1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍； （2）求證：當時， 【答案】(1);（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）求出， 討論兩種情況：，，分別令得增區(qū)間，令是其子集即可得結(jié)果；（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，由可得，化簡即可得結(jié)果. 試題解析：（1）解：， 當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增成立， 當時，由，解得， 易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 由題意有，，解得． 綜上所述，． （2）證明：由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增， 對任意，有成立， 所以，代入有， 整理得：. 11.【xx西藏自治區(qū)拉薩中學高三第八次月考數(shù)學（理）】已知函數(shù). （1）當時，討論的單調(diào)性； （2）當時，若，證明：當時， 的圖象恒在的圖象上方； （3）證明： . 【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為及，減區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）詳見解析. 【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時， ， ，設(shè)，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)性質(zhì)推導出恒成立，由此能證明的圖象恒在圖象的上方；（3）由，設(shè)，求出函數(shù)的導數(shù)，從而，令，得，從而證明結(jié)論成立即可. （2）當時，，令， 則， 當時，，遞減；當時，，遞增。 故，當時，，即恒成立， 所以的圖象恒在的圖象上方。 （3）由（2）知，即， 令，則，即， 12.【xx遼寧省錦州市質(zhì)量檢測（一）（理）】已知，設(shè)函數(shù)． （1）若，證明：存在唯一實數(shù)，使得； （2）若當時， ，證明： ． 【答案】（1）見解析（2）見解析 （Ⅱ），因為，所以在上單調(diào)遞增． 而，由（Ⅰ）得存在唯一實數(shù)，使得． 當時， ，當時， 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故有最小值 由（Ⅰ）得， ．所以． 設(shè)，當時， ， 在單調(diào)遞減， 所以， 因為恒成立， ，因此，故． 13.【xx山西省孝義市下學期高考考前質(zhì)量檢測三（理）】已知函數(shù) （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明： . 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】試題分析: （1）對函數(shù)求導,按和分別判斷導函數(shù)的正負,寫出函數(shù)的單調(diào)性; （2）要證，只需證，由（1）可知當時， ，即，當時，上式兩邊取以為底的對數(shù)，可得，用代替可得，又可得，所以,將原不等式放縮,即可證得. 試題解析:（1）解： ， ①若時， 在上單調(diào)遞減； ②若時，當時， 單調(diào)遞減； 當時， 單調(diào)遞增； 綜上，若時， 在上單調(diào)遞減； 若時， 在上單調(diào)遞減； 在上單調(diào)遞增； （2）證明：要證，只需證， 由（1）可知當時， ，即， 當時，上式兩邊取以為底的對數(shù)，可得， 用代替可得，又可得， 所以， ， 即原不等式成立. 14.【xx山東省日照市第二次模擬考試數(shù)學（理）】已知函數(shù)． (I)討論函數(shù)在上的單調(diào)性； (II)設(shè)函數(shù)存在兩個極值點，并記作，若，求正數(shù)的取值范圍； (III)求證：當=1時， （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)） 【答案】（1）當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）正數(shù)的取值范圍是．（3）見解析 【解析】試題分析:（1）先求函數(shù)導數(shù)，，再討論導函數(shù)在定義區(qū)間上符號變化規(guī)律：當時， ，即在上是增函數(shù)；當時，導函數(shù)有一個零點，符號先負后正，對應(yīng)區(qū)間先減后增，（2）由題意易得要使函數(shù)存在兩個極值點，必有，且極值點必為， ，因此，即正數(shù)的取值范圍是．再化簡條件，得，利用導數(shù)研究其單調(diào)性：為單調(diào)減，因此正數(shù)的取值范圍是．（3）要證不等式，即證，利用導數(shù)易得函數(shù)最小值為1，而,得證. 試題解析：（Ⅰ） ，（ ） 當時， ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)； 當時，由，得，解得（負值舍去），，所以 當時， ，從而，函數(shù)在上是減函數(shù)； 當時， ，從而，函數(shù)在上是增函數(shù)． 綜上，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)； 當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 由（）式可知， 不等式化為， 令，所以， 令， ． 當時， ， ，所以，不合題意； 當時， ， ，所以 在是減函數(shù)，所以，適合題意，即． 綜上，若，此時正數(shù)的取值范圍是． （Ⅲ）當時， ， 不等式可化為，所以 要證不等式，即證，即證， 設(shè)，則， 在上，h（x）＜0，h（x）是減函數(shù)； 在上，h（x）＞0，h（x）是增函數(shù)． 所以， 設(shè)，則是減函數(shù)， 所以， 所以，即， 所以當時，不等式成立．