2019-2020年高考數(shù)學 考點14 利用導數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 考點14 利用導數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式【考綱要求】（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.（3）會利用導數(shù)解決某些實際問題。 【命題規(guī)律】 導數(shù)綜合問題是高考中的難點所在，題型變化較多，尤其是利用導數(shù)證明不等式等相關(guān)知識.熟練掌握利用導數(shù)這一工具，將試題進行分解，逐一突破，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題，這也是xx年考試的熱點問題.【典型高考試題變式】（一）構(gòu)造函數(shù)在導數(shù)問題中的應用例1.【xx全國2卷（理）】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，當時，則使得成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：考慮取特殊函數(shù)，是奇函數(shù)，且，當時，0，滿足題設(shè)條件.直接研究函數(shù)，圖象如下圖，可知選B答案.【方法技巧歸納】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應用和導數(shù)在研究函數(shù)的極值中的應用，考查學生綜合知識能力，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，屬中檔題.其解題的方法運用的是特值法，將抽象問題具體化，找出與已知條件符合的特殊函數(shù)，分析其函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，進而得出所求的結(jié)果，其解題的關(guān)鍵是特值函數(shù)的正確選取.【變式1】【改編例題條件，利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求最值】【xx河南鄭州三質(zhì)檢】設(shè)函數(shù)滿足，則時，的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】對于等式，因為，故此等式可化為：，且.令，.當 時，單調(diào)遞增，故，因此當時，恒成立.因為，所以恒成立.因此，在 上單調(diào)遞增，的最小值為.故本題正確答案為D.【變式2】【改編例題條件，利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx河南息縣第一高級中學三質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于點中心對稱，其導函數(shù)，當時， ，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意設(shè)，則， 當時， 當時， ，則在上遞增， 函數(shù) 的定義域為，其圖象關(guān)于點中心對稱， 函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，令是上的偶函數(shù)，且在遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)在上遞減， 不等式化為： ，即，解得， 不等式解集是，故選C.【變式3】【改編例題條件，利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx江西省鷹潭市高三第一次模擬考試數(shù)學（理）】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【變式4】【改編例題條件，構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題】【xx安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大整數(shù)值為( )A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】令，依題意，對任意，當時， 圖象在直線下方，列表得的大致圖象則當時，當時不成立；當時，設(shè)與相切于點.則，解得.，故成立，當時, .故選B.（二）方程解（函數(shù)零點）的個數(shù)問題例2.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù)，（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)【答案】（）；（）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.【解析】試題分析：（）先利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值；（）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論.試題解析：（）設(shè)曲線與軸相切于點，則，即，解得.因此，當時，軸是曲線的切線.（）當時，從而，在（1，+）無零點.當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點.當時，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù).（）若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點.（）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=.若0，即0，在（0,1）無零點.若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；若0，即，由于，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.10分綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.【方法技巧歸納】1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.3. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題【變式1】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值】【xx江蘇卷】已知函數(shù).（1）試討論的單調(diào)性；（2）若（實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值.【答案】（1）當時， 在上單調(diào)遞增；當時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】試題分析（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點大小討論函數(shù)單調(diào)性，注意需分三種情況討論，不要忽略相等的情況（2）首先轉(zhuǎn)化條件：函數(shù)有三個不同的零點，就是零在極大值與極小值之間，然后研究不等式以及解集情況，令，則當時且當時，因此確定，然后再利用函數(shù)因式分解驗證滿足題意（2）由（1）知，函數(shù)的兩個極值為，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或又，所以當時，或當時，設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此此時，因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以，且，解得綜上【變式2】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)證明不等式】【xx天津卷（理）】已知函數(shù)，其中.（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（）若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 【答案】（） 當為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （）見解析； （）見解析.【解析】（）由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當為奇數(shù)時：令，解得或，當變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（）證明：設(shè)點的坐標為，則，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，當時，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有.（）證明：不妨設(shè)，由（）知，設(shè)方程的根為，可得，當時，在上單調(diào)遞減，又由（）知可得.類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當，即對任意，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此.由此可得.因為，所以，故，所以.【變式3】【改編例題的條件和結(jié)論，函數(shù)零點與充要條件綜合】【xx北京卷（文）】設(shè)函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.【答案】（）;（）;（）見解析.【解析】試題分析：（）求函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)，求切線方程；（）根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（）從兩方面必要性和不充分性證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點個數(shù).試題解析：（）由，得因為，所以曲線在點處的切線方程為（）當時，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當且時，存在，使得由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有故是有三個不同零點的必要條件當，時，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件因此是有三個不同零點的必要而不充分條件（三）函數(shù)中的隱零點問題例3.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（1）由于，故.當時，從而恒成立在上單調(diào)遞減.當時，令，從而，得極小值 綜上，當時，在上單調(diào)遞減； 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件當時，令令，則從而在上單調(diào)增，而當時，當時當時若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件若，則，故僅有一個實根，不滿足條件若，則，注意到故在上有一個實根，而又 且故在上有一個實根又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根綜上，【方法技巧歸納】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.【變式1】【改編例題的條件，根據(jù)零點個數(shù)不同，確定參數(shù)取值范圍】【xx山西孝義高三入學摸底考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）試題解析：解：(1)由題得，所以.當時， ，所以在上單調(diào)遞增；當時， ，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上所述，當時， 在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，所以在上單調(diào)遞減.(2) ， ，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由，可知在區(qū)間上不單調(diào)，則在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點.由(1)知，當時， 在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當時， 在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意，所以，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因此， ， ，必有， .由，得， .又， ，解得.（4） 極值點偏移問題例4.【xx全國1卷（理）】已知函數(shù)有兩個零點.（）求a的取值范圍；（）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：.【答案】（）；（）見解析【解析】 試題分析：（）求導，根據(jù)導函數(shù)的符號來確定（主要要根據(jù)導函數(shù)零點來分類）；（）借助（）的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知等價于，即設(shè)，則則當時，而，故當時，從而，故試題解析：（）（）設(shè)，由得或若，則，故當時，因此在單調(diào)遞增又當時，所以不存在兩個零點若，則，故當時，；當時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又當時，所以不存在兩個零點綜上，的取值范圍為（）不妨設(shè)，由（）知，在單調(diào)遞減，所以等價于，即由于，而，所以設(shè)，則所以當時，而，故當時，從而，故【方法技巧歸納】對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡.解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.【變式1】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明參數(shù)的大小】【xx廣東深圳高三入學摸底考試（文）】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求證：.【答案】（1）極小值為（2）見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù).再根據(jù)導函數(shù)是否變號進行分類討論：當時，導函數(shù)不變號，無極小值；當時，導函數(shù)先負后正，有一個極小值（2）先用分析法轉(zhuǎn)化要證不等式：因為. 令，所以只要證，即證，利用導數(shù)易得為增函數(shù)，即得所以原命題成立.試題解析：解：（1）.當時，在上為增函數(shù)，函數(shù)無極小值；當時，令，解得.若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.故函數(shù)的極小值為.（2）證明：由題可知.要證，即證，不妨設(shè)，只需證，令，即證，要證，只需證，令，只需證，在內(nèi)為增函數(shù)，故，成立.所以原命題成立.【變式2】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明不等式】【xx廣東珠海高三9月摸底考試（理）】函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求證： 【答案】(1) 時， 在上單減，在上單增； 時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增;(2)見解析.【解析】試題分析：(1) ，分類討論，研究的符號情況，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且， 、是的二根 ，若證成立，只需證對恒成立.設(shè)，研究其最值即可.試題解析：解： 的定義域是,(1)由題設(shè)知， 令，這是開口向上，以為對稱軸的拋物線在時，當，即時， ，即在上恒成立2) 當時，即，即時時， ，即或時， ，即 綜上:時， 在上單減，在上單增；時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增 (2)若函數(shù)有兩個極值點，且則必是，則，則，且在上單減，在和上單增，則 、是的二根 ，即， 若證成立，只需證即證對恒成立 設(shè)當時， ， ， 故,故在上單增故 對恒成立 【變式3】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明不等式（乘積型）】【xx安徽六安市壽縣第一中學第一次月考】已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若方程 有兩個相異實根， ，且，證明： .【答案】（）在(0,1)遞增， 在(1,+ 遞減（在此處鍵入公式。）見解析【解析】試題分析：（1）求出， 可得函數(shù)得的增區(qū)間， 得可得函數(shù)得的減區(qū)間；（2）由(1)可設(shè) 的兩個相異實根分別為滿足 ，只需證明. 即可.試題解析：（1）的定義域為 當時 所以 在遞增 當時 所以 在遞減 （2）由(1)可設(shè)的兩個相異實根分別為，滿足且， 由題意可知 又有(1)可知在遞減故 所以， 令 令，則當時，是減函數(shù)，所以 所以當時，即 因為， 在上單調(diào)遞增，所以，故 綜上所述： （5） 一元函數(shù)不等式的證明例4.【xx山東（理）】已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明對于任意的成立.【解析】（1）的定義域為，.當時， 時， 單調(diào)遞增； ，單調(diào)遞減.當時，.（ii）若，則，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（iii）若，則，當或時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）由（1）知，時，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上存在使得 時，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此當時，當且僅當時取得等號，所以，即對于任意的恒成立.【方法技巧歸納】本題主要考查導數(shù)的計算、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎(chǔ)，恰當分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.【變式1】【改編例題的條件，證明不等式】【xx廣東省廣州市海珠區(qū)高三測試一（理）】已知函數(shù).（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當時， .【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論兩種情況，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，結(jié)合函數(shù)的圖象和零點定理即可求出的取值范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求出函數(shù)的最值，即可證明.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.由，得.當時， 恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域上有個零點.當時，則時， 時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當.當，即時，又，所以函數(shù)在定義域上有個零點.綜上所述實數(shù)的取值范圍為.（2）要證明當時， ，即證明當時， ，即，令，則，當時， ；當時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時， .于是，當時， .令，則.當時， ；當時， .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時， .于是，當時， .顯然，不等式、中的等號不能同時成立.故當時， ).【變式2】【改編例題的條件，證明不等式（不等式右側(cè)是常數(shù)）】【xx吉林省松原市實驗高級中學等三校聯(lián)考（文）】設(shè)函數(shù)， (1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當， 時，求證： .【答案】(1)增區(qū)間為： ， .減區(qū)間為， .(2) 見解析。試題解析：(1)函數(shù)的定義域為，當時， ，令： ，得： 或，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為： ， .，得： ，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為， .(2)若證， 成立，只需證： ，即： 當時成立. 設(shè).，顯然在內(nèi)是增函數(shù)，且， ，在內(nèi)有唯一零點，使得： ，且當， ；當， .在遞減，在遞增.，.，成立.【變式3】【改編例題的條件，證明參數(shù)不等式】【xx黑龍江省哈爾濱市第九中學高三二模（文）】已知，函數(shù)， （的圖象連續(xù)不斷）(1) 求的單調(diào)區(qū)間；(2) 當時，證明：存在，使；(3) 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明： 【答案】答案見解析【解析】試題分析：（1）求的單調(diào)區(qū)間，由于函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)，因此求的單調(diào)區(qū)間，可用導數(shù)法，因此對函數(shù)求導得， ，令，解得，列表確定單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：存在，使，可轉(zhuǎn)化為在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到兩個，是得即可，故本題把代入得，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， ，故，取，則，即可證出；（3）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故，且在上的最小值為，而， ，只有，由單調(diào)性可知， ，從而可證得結(jié)論.試題解析：（1）（1分）令，解得（2分）當變化時， 的變化情況如下表：0遞增極大值遞減所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（5分）（2）證明：當時， ，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減令 （6分）由于在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即（7分）取，則.所以存在，使，即存在，使 （9分）（說明： 的取法不唯一，只要滿足，且即可）（3）證明：由及（1）的結(jié)論知，從而在上的最小值為， （10分）又由， ，知（11分）故即（13分）從而（14分）（六）多元函數(shù)不等式的證明例6 【xx天津卷（理）】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點， 為的導函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證： ；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】（）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（）見解析；（III）見解析.試題解析：（）解：由，可得，進而可得.令，解得，或.當x變化時， 的變化情況如下表：x+-+所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， ，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（）知，當時， ，故當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.因此，當時， ，可得.令函數(shù)，則.由（）知， 在上單調(diào)遞增，故當時， ， 單調(diào)遞增；當時， ， 單調(diào)遞減.因此，當時， ，可得.所以， .（III）證明：對于任意的正整數(shù) ， ，且，令，函數(shù).由（II）知，當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點；當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點.所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故，于是.因為當時， ，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.又因為， ， 均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.【方法技巧歸納】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點問題，先利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點作出相應的要求，可控制零點的個數(shù).【變式1】【改編例題的條件，雙元不等式的證明】【xx江蘇省南京市溧水高級中學開學考試】已知函數(shù)(1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)為正實數(shù)，且，求證： 【答案】(1) ；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出導數(shù)，由題意可得代入可得，可得切線的斜率和切點，進而得到切線的方程；（2）由函數(shù)在上為增函數(shù)，可得恒成立，既有，當時， ，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到范圍；（3）運用分析法證明，要證，只需證，即證，設(shè)，求出導數(shù)判斷單調(diào)性，運用單調(diào)遞增，即可得證.試題解析：（1） 由題意知，代入得，經(jīng)檢驗，符合題意.從而切線斜率 ，切點為，切線方程為 （3）要證，只需證，即證只需證 設(shè)，由（2）知在上是單調(diào)函數(shù)，又，所以，即成立，所以.【變式2】【改編例題的條件，雙元不等式的證明（乘積形式）】【xx江西師范大學附屬中學（文）】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,當時,求函數(shù)的最大值;(3)若且,求證: .【答案】（1）在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.（2）（3）見解析【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的最大值；（3）化簡已知得, 即，然后利用分析法證明原不等式.試題解析: (1) 的定義域為,且,令, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2) ,當時, ,當時, ,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(3) , 即.由(1)知 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,則要證,即證,即證,即證,即證,由于,即證.令 恒成立在遞增, 在恒成立,原不等式成立.【變式3】【改編例題的條件，證明長串不等式】【xx江西省新余市第一中學模擬（理）】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)， ，證明： 【答案】（1）（2） （3）見解析【解析】試題分析：（1）本問考查導數(shù)的幾何意義， ， ，于是可得切線方程為；（2）本問考查利用導數(shù)研究恒成立問題，不等式恒成立，設(shè)函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為當時， 恒成立，對函數(shù)求導， ，再令，對求導， ，通過對分區(qū)間討論，使得恒成立，從而得到的取值范圍；（3）首先通過微積分定理求出，則，由（2）知，當時， ，即，構(gòu)造函數(shù)，通過證明該函數(shù)的單調(diào)性，易得出在上恒成立，令，于是通過不等式的放縮，可以得到待證明的結(jié)論.當即時， 遞減，遞減（符合題意）當，即時，由，在上， ，使且時， ，遞增，（不符合題意）綜上： .（3），由（2）知，當時， ，又令， ，遞減即在上恒成立，令原不等式左式右式得證.【數(shù)學思想】分類討論思想1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想” 2.分類討論思想的常見類型問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.【處理證明不等式問題注意點】解答此類問題，構(gòu)造合理的函數(shù)非常重要，要對具體的條件加以剖析?！镜淅囶}演練】1【xx黑龍江省大慶實驗中學開學考試（理）】設(shè)函數(shù)在上存在導數(shù)， ，有，在上，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ,則,所以為上單調(diào)遞減奇函數(shù), ，選B.2.【xx陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學第八次模擬考試數(shù)學（理）】已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)共有（ ）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個【答案】C【解析】由，可得，或者，由，化為，設(shè)， ， 在上遞增， ， ，在上有一個根， 滿足的值有兩個，若， ，設(shè)， ，設(shè)極值點為，則， ， ，不妨設(shè) 而函數(shù)在上遞增，在上遞減，極小值為無實根，綜上所述，滿足的實數(shù)共有根.3.【xx湖南省長沙市長郡中學臨考沖刺訓練理】已知函數(shù)，若對，使得方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，所以 ，因此，選B.4.【xx山西省晉中市3月高考適應性調(diào)研考試理】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，是的導函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，因為在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，所以在 上有解，即 ，由零點存在定理可得 ，即，也即，解得 且，令則，當 時，當 時，因此，所以的取值范圍是，因此選A.5.【xx湖南省衡陽市高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（文）】設(shè)定義域為的單調(diào)函數(shù)，對任意，都有，若是方程的一個解，且，則實數(shù)_【答案】1【解析】根據(jù)題意，對任意，都有，又是定義為的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設(shè)t= ,則= ，又，所以= ， =，又是方程的一個解，所以是函數(shù)的零點，分析易得， ，所以零點在（1,2）之間，所以6.【xx江蘇省泰興中學高三12月階段性檢測】已知函數(shù),且對任意的恒成立,則實數(shù)的最大值為_.【答案】17.【xx福建省泉州市高三高考考前適應性模擬（一）】關(guān)于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】由得 ，可得在上遞增 ，在上 遞減， ， ，即 ，故答案為. 8.【xx黑龍江省大慶市大慶實驗中學入學考試（文）】已知函數(shù)其中 當時，求曲線在點處的切線方程； 討論函數(shù)的單調(diào)性； 若函數(shù)有兩個極值點且求證： 【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（1），代入，求及，由點斜式寫出切線方程。（2），由于，所以分， 討論=0的情況，求得單調(diào)區(qū)間。（2）由（1）可知, ,又，所以。同時不妨設(shè)。要證，只需證，下對g(x)求導，可證。試題解析： 當時， ， ，所以切點為（1,0）,斜率k=1,由點斜率式得： 當即時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，即時，令得的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 證明： 在單調(diào)遞增，且，不等式右側(cè)證畢 有兩個極值點， .令在單調(diào)遞增.不等式左側(cè)證畢.綜上可知： 9.【xx安徽省合肥市高三調(diào)研性檢測數(shù)學理】已知函數(shù).（）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）求證： .【答案】（）在和上都是增函數(shù) （）證明見解析【解析】試題分析：（1）先對題設(shè)條件中函數(shù)解析式進行求導，再構(gòu)造函數(shù)對所求得的導函數(shù)的值的符號進行判定；（2）先構(gòu)造函數(shù)，再對其求導得到，求出導函數(shù)的零點，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、三種情形進行分析推證，使得不等式獲證。試題解析：（）由已知的定義域為，,設(shè)，則，得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在和上都是增函數(shù).（）設(shè)，則，得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即.當時， ，在上是增函數(shù)，即，.當時， ，在上是增函數(shù)，即，.當時， 由可知，對一切，有，即.10.【xx云南師范大學附屬中學】設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）求證：當時，【答案】(1);（2）見解析.【解析】試題分析：（1）求出， 討論兩種情況：，分別令得增區(qū)間，令是其子集即可得結(jié)果；（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，由可得，化簡即可得結(jié)果.試題解析：（1）解：，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增成立，當時，由，解得，易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意有，解得綜上所述， （2）證明：由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，對任意，有成立，所以，代入有，整理得：.11.【xx西藏自治區(qū)拉薩中學高三第八次月考數(shù)學（理）】已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，若，證明：當時， 的圖象恒在的圖象上方；（3）證明： .【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為及，減區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時， ， ，設(shè)，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)性質(zhì)推導出恒成立，由此能證明的圖象恒在圖象的上方；（3）由，設(shè)，求出函數(shù)的導數(shù)，從而，令，得，從而證明結(jié)論成立即可.（2）當時，令，則，當時，遞減；當時，遞增。故，當時，即恒成立，所以的圖象恒在的圖象上方。（3）由（2）知，即，令，則，即， 12.【xx遼寧省錦州市質(zhì)量檢測（一）（理）】已知，設(shè)函數(shù)（1）若，證明：存在唯一實數(shù)，使得；（2）若當時， ，證明： 【答案】（1）見解析（2）見解析 （），因為，所以在上單調(diào)遞增而，由（）得存在唯一實數(shù)，使得當時， ，當時， 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故有最小值由（）得， 所以設(shè)，當時， ， 在單調(diào)遞減，所以，因為恒成立， ，因此，故13.【xx山西省孝義市下學期高考考前質(zhì)量檢測三（理）】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明： .【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析: （1）對函數(shù)求導,按和分別判斷導函數(shù)的正負,寫出函數(shù)的單調(diào)性; （2）要證，只需證，由（1）可知當時， ，即，當時，上式兩邊取以為底的對數(shù)，可得，用代替可得，又可得，所以,將原不等式放縮,即可證得.試題解析:（1）解： ，若時， 在上單調(diào)遞減；若時，當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增；綜上，若時， 在上單調(diào)遞減；若時， 在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）證明：要證，只需證，由（1）可知當時， ，即，當時，上式兩邊取以為底的對數(shù)，可得，用代替可得，又可得，所以，即原不等式成立.14.【xx山東省日照市第二次模擬考試數(shù)學（理）】已知函數(shù)(I)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(II)設(shè)函數(shù)存在兩個極值點，并記作，若，求正數(shù)的取值范圍； (III)求證：當=1時， （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）正數(shù)的取值范圍是（3）見解析【解析】試題分析:（1）先求函數(shù)導數(shù)，再討論導函數(shù)在定義區(qū)間上符號變化規(guī)律：當時， ，即在上是增函數(shù)；當時，導函數(shù)有一個零點，符號先負后正，對應區(qū)間先減后增，（2）由題意易得要使函數(shù)存在兩個極值點，必有，且極值點必為， ，因此，即正數(shù)的取值范圍是再化簡條件，得，利用導數(shù)研究其單調(diào)性：為單調(diào)減，因此正數(shù)的取值范圍是（3）要證不等式，即證，利用導數(shù)易得函數(shù)最小值為1，而,得證.試題解析：（） ，（ ）當時， ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，由，得，解得（負值舍去），所以當時， ，從而，函數(shù)在上是減函數(shù)；當時， ，從而，函數(shù)在上是增函數(shù)綜上，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)由（）式可知， 不等式化為，令，所以，令， 當時， ， ，所以，不合題意；當時， ， ，所以在是減函數(shù)，所以，適合題意，即綜上，若，此時正數(shù)的取值范圍是 （）當時， ，不等式可化為，所以要證不等式，即證，即證，設(shè)，則，在上，h（x）0，h（x）是減函數(shù)；在上，h（x）0，h（x）是增函數(shù)所以，設(shè)，則是減函數(shù)，所以，所以，即，所以當時，不等式成立